Алгебраические критерии устойчивости

Критерии устойчивости позволяют судить об устойчивости или неустойчивости системы непосредственно по коэффициентам характеристического уравнения без вычисления его корней.

Пусть характеристическое уравнение линейной системы D()=0 имеет вид:

.

Необходимым условием устойчивости системы является положительность всех коэффициентов характеристического уравнения, т. е.

(этому условию удовлетворяет и случай всех отрицательных коэффициентов, если a₀<0, так как можно поменять все знаки на обратные).

Однако положительность коэффициентов уравнения недостаточна для устойчивости системы. Положительные коэффициенты уравнения могут получиться и при положительных вещественных частях комплексных корней. Но все вещественные корни при положительных коэффициентах уравнения будут обязательно отрицательными.

Только, если имеется уравнение первой или второй степени, положительность коэффициентов оказывается необходимым и достаточным условием устойчивости (это легко проверить). При n  3 это условие лишь необходимо, но недостаточно, ибо оно обеспечивает отрицательность только вещественных корней.

Критерий устойчивости Гурвица

Приведем теперь критерий устойчивости Гурвица без доказательства.

Для устойчивости линейной системы n-ого порядка необходимо и достаточно, чтобы были положительными n главных определителей матрицы Гурвица, составленной по коэффициентам характеристического уравнения данной системы:

.

В первой строке матрицы пишутся коэффициенты с нечетными индексами, во второй – с четными. Концы строк заполняются нулями, так чтобы матрица имела n столбцов, где n – порядок уравнения системы. Третья и четвертая строки получаются сдвигом первых двух на одно место вправо и т. д.

Указанные главные определители называются определителями Гурвица и имеют вид:

Последний определитель Гурвица, как видно из приведенной выше матрицы, равен _n =_n-1a_n, Поэтому его положительность сводится при _n-1>0 к условию a_n>0.

С помощью критерия Гурвица удобно проверять устойчивость линейных до четвертого порядка включительно.

Для систем первого и второго порядка критерий Гурвица сводится просто к положительности коэффициентов a₀ , a₁ , a₂ .

Для системы третьего порядка характеристическое уравнение имеет вид

,

а условие устойчивости по Гурвицу будет _n-1= ₂= a₁a₂ – a₀a₃>0 (n=3), причем остальные неравенства сводятся к требованию положительности коэффициентов a₀ , a₁ , a₂ , a₃ .

Для системы четвертого порядка

условием устойчивости по Гурвицу будет положительность всех коэффициентов характеристического уравнения a₀ , a₁ , a₂ , a₃ , a₄  и выполнение неравенства

.

Найдем границы устойчивости.

Апериодическая граница устойчивости (нулевой корень) будет в том случае, когда a_n=0, по при условии положительности всех определителей Гурвица (кроме последнего).

Колебательная граница устойчивости (пара чисто мнимых корней в характеристическом уравнении) появляется при _n-1=0, если при этом все остальные определители Гурвица положительны.

Пример. Передаточная функция разомкнутой цепи системы имеет вид:

Характеристическое уравнение замкнутой системы будет

Коэффициенты его положительны. Условие устойчивости по критерию Гурвица получит вид

, .

Границы устойчивости:

1) a_n=0,    K=0; 2) _n-1=0,    K_гр=1/T₁+1/T₂.

Эти две границы устойчивости можно изобразить графически в пространстве параметра K и найти области устойчивости системы.

Пространство параметров здесь одна прямая линия, а границы устойчивости – точки на ней: K=0 и K= K_гр . Область устойчивости лежит между этими точками.