[TAK] / Leczii / Lek4_mul_E

Структурные преобразования

Для удобства расчетов САУ бывает необходимо преобразовать структурную схему системы к какому-либо желаемому виду. Приведем простейшие правила преобразования структурных схем разомкнутой цепи.

1. Можно использовать любую из трех формул для разных случаев соединения звеньев.

Пусть задана структурная схема цепи звеньев:

Э ту структурную схему можно преобразовать к виду:

где , .

.

2. Можно переносить внешнее (входное) воздействие вперед или назад по цепи таким образом, чтобы не менялась передача сигнала на выход этой цепи.

При переносе внешнего (входного) воздействия по цепи вперед следует добавлять передаточную функцию тех звеньев, через которые сделан перенос.

При переносе внешнего воздействия по цепи назад следует добавлять передаточ­ную функцию, обратную передаточной функции звеньев, через которые сделан перенос.

3. Последовательно соединенные звенья можно менять местами без изменения общей передаточной функции цепи.

4. Можно производить перенос звена параллельного контура вперед или назад по цепи с соответствующими добавлениями.

При переносе звена вперед следует добавить передаточную функцию, обратную передаточной функции звеньев, через которые сделан перенос.

При переносе звена назад надо добавить передаточную функцию тех звеньев, через которые сделан перенос.

5. Можно переносить место включения звена обратной связи вперед или назад.

Перенося место включения звена обратной связи вперед или назад, поступаем точно так же в случае 4.

П ример.

Пусть имеется сложная разомкнутая цепь

Сначала сделаем перенос по внешнему воздействию. Затем по правилу 4 и 5 получим:

, 9

Второй шаг преобразования по правилу 1:

,

С нова произведем преобразование:

:

Окончательно получим общие передаточные функции по каждой из двух входных величин

,

.

Передаточные функции и уравнения замкнутой системы

Из цепи звеньев любой сложности получатся замкнутая система при помощи единичной отрицательной обратной связи. Эту обратную связь называют главной. Местная обратная связь может быть внутри в составе разомкнутой цепи.

Пусть имеются внешние воздействия: задающее g(t) и возмущающее f(t),

и задана передаточная функция разомкнутой цепи:

где N(s) и L(s) – многочлены с единичными коэффициентами при младших членах;

K – общий коэффициент усиления всей разомкнутой цепи.

Передаточные функции замкнутой системы записываются отдельно для каждой комбинации входа и выхода и для каждого внешнего воздействия в отдельности.

Возмущающее воздействие f(t) может быть приложено в любом месте. Но, используя правила структурных преобразований, всегда можно выделить ту часть схемы, через которую проходят сигналы от f(t) на выход х, в виде передаточной функции М(s). Для задающего воздействия схема прохождения сигналов сохраняется в полном виде W(s). Н а выходе имеем x = x₁ + x₂.

Основные соотношения в изображениях Лапласа будут иметь вид

E = G – X

X = W(s)E + M(s)F

В расчетах САУ применяют три основных вида передаточных функций замкнутой системы

1. Главная передаточная функция замкнутой системы – отношение выхода к задающему воздействию при f(t) = 0:

при F=0 имеем X = W(s)E, Х=(G – X)W(s), .

окончательно, , или .

2. Передаточная функция замкнутой системы для ошибки – отношение ошибки к задающему воздействию при f(t) = 0:

или .

3. Передаточная функция замкнутой системы по возмущающему воздействию – отношение выхода к возмущающему воздействию при g(t)= 0

При G=0 имеем

X = W(s)(–Х)+M(s)F,

.

Окончательно

, или .

Так как при g(t) = 0 имеем Е = –Х, то передаточная функция замкнутой системы для ошибки по возмущающему воздействию

.

Отметим, что знаменатели во всех передаточных функциях одинаковые. Для замкнутой системы в целом имеем

.

Или

.

Зная передаточные функции звеньев, можно чисто алгебраическим путем найти общее дифференциальное уравнение всей замкнутой системы в целом при любой ее сложности.

где КN(р) и L(р) – числитель и знаменатель передаточной функции разомкнутой цепи, М(р) – зависит от места приложения возмущающего воздействия.

Характеристическое уравнение замкнутой системы будет .

Корни этого уравнения есть полюса передаточной функции замкнутой системы.

Частотные характеристики замкнутой системы

АФЧХ замкнутой системы ,

причем – АФЧХ разомкнутой системы.

АФЧХ можно представить в виде

– для замкнутой системы,

– для разомкнутой системы.

Из этого равенства можно получить амплитуду и фазу замкнутой цепи через амплитуду и фазу разомкнутой цепи.

– амплитуда замкнутой цепи

– фаза замкнутой цепи