M02136

2

Індивідуальні домашні завдання до підмодуля “Аналітична геометрія” для студентів денної форми навчання. /Укл. Хижняк В.К., Зарубіна Т.В. – Запоріжжя: ЗНТУ, 2006.-

с.27

Укладачі Хижняк В.К., доцент Зарубіна Т.В., асистент

Рецензент: Левада В.С., доцент

Відповідальний за випуск: Хижняк В.К.

Затверджено На засіданні кафедри

Прикладної математики

Протокол № 3

від 9.11.2005

3

ЗМІСТ

4

1 ПРЯМА НА ПЛОЩИНІ

1.1. Якій геометричний зміст параметрів:

а) k та b у рівнянні прямої з кутовим коефіцієнтом, б) m та n у канонічному та параметричному рівнянні, в) А та В у загальному,

г) a та b у рівнянні у відрізках на осях, д) α та p у нормальному рівнянні.

1.2. Записати рівняння цих прямих.

2.Як виражаються умови паралельності, перпендикулярності двох прямих, якщо їх задано рівняннями

а) з кутовим коефіцієнтом, б) загальним, в) канонічним

3.Укажіть на особливість у розміщенні прямих, заданих рівняннями:

а) Ах+Ву=0; б) Ву+С=0; в) х=а; г) у=0;

д) у=кх+в; е) у=кх.

ж) х−тх0 = у−пу0

4.1 Записати рівняння прямих li, використовуючи придатний до вихідних даних вид рівняння, якщо:

а) точка М є l1, пряма l1 N ,

б) точка М є l2 || S , в) точки М та Д є l3,

г) пряма l4 перетинає вісь у в т. С з ординатою ус и (l4, ох+)=α,

д) точка Д є l5 , (l5, ox+)=β,

е) пряма l6 відтинає від осей координат відрізки а та b, ж) точка Д є l7, (l7, l2)=45°

з) точка Д є l8 l5

5

6

4.2Привести рівняння прямих li (i=1 8) до загального вигляду.

4.3Записати нормальні рівняння цих прямих.

4.4Знайти відстань від початку координат до прямих.

4.5Скласти їх параметричні рівняння.

4.6Побудувати прямі.

5Розв’язати наступні задачі

5.1Через точку перетину прямих 3x + 2y +1 = 0 та

x+3y −7 = 0 проведена пряма перпендикулярно перший із заданих прямих. Яка відстань одержаної прямої від початку координат?

5.2Заданий трикутник А(-6;2), В(10;10), С(0;-10).

Скласти рівняння і знайти довжину медіани, проведеної із точки А.

5.3 Знайти точку, симетричну точці А(-5;2) відносно прямої

3x −4y −7 = 0

5.4 Задані рівняння двох сторін паралелограма x −2y = 0 , x − y −1 = 0 і точка перетину його діагоналей M (3;−1) . Знайти рівняння двох інших сторін.

5.5Показати, що точки А(1;2) і В(-2;3) лежать по різні боки від прямої 2х-у+4=0.

5.6Визначити відстань між двома паралельними прямими

5x −12y +26 = 0 і 5x −12y −13 = 0 .

5.7 Дан трикутник А(-1;6), В(-5;2), С(1;0). Показати, що трикутник прямокутний.

7

5.8Чому дорівнює площина трикутника, який відтинає на координатних осях пряма 2х-13у+52=0 ?

5.9Дано координати вершин трикутника А(-1;1), В(1;9), С(9;1). Знайти точку перетину його висот.

5.10В трикутнику АВС відомі координати середини його сторін М1(-1;5), М2(3;1), М3(-5;-1). Скласти рівняння АВ.

5.11Визначити кутовий коефіцієнт і відрізок, відтинаємий на вісі ординат прямою

x=2t-3 y=-4t+5

5.12Обчислити відстань від точки М(2;1) до прямої, яка відтинає на осях координат відрізки а=8, в=6.

5.13Заданий трикутник А(0;0), В(-1;-3), С(-5;-1). Знайти точку перетину прямих AN і BM, які паралельні відповідно СВ та СА.

5.14Точка А(2;-5) є вершиною квадрата, одна зі сторін якого лежить на прямій х-2у-7=0. Обчислити площу квадрата.

5.15Знайти точку Q, симетричну до точки Р(-5;13) відносно прямої 2х-3у-3=0.

5.16Обчислити відстань між паралельними прямими

3х+ у −3 10 = 0 і 6х+2у +5 10 = 0

5.17Обчислити відстань від точки М(1;1) до прямої

x= −1+ 2t , y = 2 + t

5.18Дві вершини рівностороннього трикутника знаходяться у точках А(1;0) і В(2; 3 ). Знайти вершину С.

8

5.19 Дані рівняння двох сторін ромба х+2у-7=0, х+2у+13=0 і рівняння його діагоналі х-у+2=0. Знайти координати його вершин.

5.20 В паралелограмі відомі рівняння двох сторін 7х−24у +13 = 0 , 3х−4у + 20 = 0 і точка перетину діагоналей

O(−7;1) . Визначити довжину висот паралелограма.

5.21 В трикутнику АВС відомі рівняння АВ 4х+у=12,

висот BN 5х-4у=12 і АМ х+у=6. Знайти рівняння двох його інших сторін.

5.22Через точку М(1;2) провести пряму так, щоб вона пройшла на однаковій відстані від точок А(3;3) і В(5;2).

5.23Через точку перетину прямих 2х-5у-1=0 і х+4у-7=0 провести пряму, яка ділить відрізок між точками А(4;-3) і В(-1;2) у відношенні

λ=2/3.

5.24Дані вершини чотирикутника А(-9;0), В(-3;6), С(3;4), Д(6;-3). Знайти кут між діагоналями.

5.25На відстань 5 одиниць від точки С(4;3) провести пряму, яка відтинає рівні відрізки на координатних осях.

5.26Скласти рівняння прямої, яка проходить через точку Р(2;3) і відтинає на координатних осях рівні відрізки.

5.27Визначити при якому значені m дві прямі

(m −1)x +my −5 = 0 і mx +(2m −1) y +7 = 0 перетинаються в точці, яка лежить на осі абсцис.

5.28 Визначити значення m і n та записати рівняння прямої

(2m −n +5)x +(m +3n −2) y +2m +7n +19 = 0 паралельної осі ОУ,

якщо вона відтинає на осі абсцис відрізок, який дорівнює 5 (рахуючи від початку координат).

9

5.29Задані дві вершини трикутника АВС : А(-6;2), В(2;-2), і точка перетину його висот N(1;2). Знайти координати точки М перетину сторін АС і висоти BN.

5.30Переконатись у тому, що точки А(-4;-3), В(-5;0), С(1;1), D(1;0) є вершинами трапеції, та знайти її висоту.

10

2 ПРЯМА ТА ПЛОЩИНА У ПРОСТОРІ

1.Векторне рівняння площини та прямої в просторі.

2.Загальне рівняння площини:

а) геометричне тлумачення коефіцієнтів при змінних в рівнянні площини;

б) геометричне пояснення коефіцієнтів в рівнянні площини у відрізках;

в) рівняння площини, яка проходить через три точки; г) нормальне рівняння площини і зміст його коефіцієнтів і

вільного члену; д) відхилення точки від площини, та відстань її до площини.

3. Канонічне рівняння прямої:

а) який зміст мають сталі що входять у це рівняння; б) умова паралельності двох прямих; в) умова перпендикулярності двох прямих.

4.Параметричне рівняння прямої.

5.Пряма яка проходить через дві точки.

6.Записати рівняння прямої, що задана як перетин двох площин.

7.Сумісне розташування прямих і площин у просторі:

а) кут між площинами; б) кут між прямими;

в) кут між прямою і площиною; г) точка перетину прямої і площини;

д) умова належності прямої до площини.

8. Задані координати 4-х точок А, В, С, D. Знайти:

а) площину, яка проходить через точки A, B, C;

b)пряму, яка проходить через точку D паралельно прямій АВ;

c)пряму, яка проходить через точку D перпендикулярно площині АВС;

d)точку симетричну точці D відносно площини АВС.