M02198

2

Індивідуальні завдання за ІІІ навчальний модуль з дисципліни “Дискретна математика” студентів факультету ІОТ денної форми навчання / Укл.: Т.І. Левицька, І. С. Пожуєва, Я. В. Чумаченко. – Запоріжжя: ЗНТУ, 2007. - 67 с.

Експерт спеціальності: М.М. Кас`ян, доцент, к.т.н.

Рецензент: В. С. Левада, доцент, к.т.н.

Відповідальний за випуск: І. С. Пожуєва, доцент, к.т.н.

3

ЗМІСТ

4

ВСТУП

Індивідуальні завдання складені у відповідності до програми третього навчального модулю з курсу дискретна математика багатоступеневої підготовки фахівців і призначені для студентів денної форми навчання, що навчаються на факультеті інформатики і обчислювальної техніки.

У вказівках приведені основні теоретичні питання, на які студентам необхідно знати відповіді для виконання індивідуальних завдань. Приведено 30 варіантів індивідуальних завдань, кожне з котрих має 14 практичних задач за темою множини, та 7 практичних завдань за темою комбінаторика за третій навчальний модуль з курсу дискретна математика. Номер варіанту визначається за останніми двома цифрами номера залікової книжки студента.

5

ТЕОРЕТИЧНІ ПИТАННЯ МНОЖИНИ. ВІДНОШЕННЯ. АЛГЕБРИ.

1.Що таке множина?

2.Які існують способи завдання множин?

3.Що таке порожня множина?

4.Що таке підмножина?

5.Чим відрізняється поняття включення ( ) від поняття належності

( )?

6.Що таке розбиття із позиції теорії множин?

7.Коли множини є рівними?

8.Чи завжди будь-яка множина містить порожню множину як підмножину?

9.Що таке скінчена множина?

10.Що таке потужність множини?

11.Що таке рівнопотужні множини?

12.Які множини називають континуальними?

13.Що таке злічена множина?

14.Властивості злічених множин.

15.Дати означення основних булевих операцій над множинами.

16.Перелічить небулеві операції над множинами та запишіть їх через булеві.

17.Теорема Кантора.

18.Що таке універсум?

19.Наведіть основні закони алгебри множин: комутативний, асоціативний, дистрибутивний, закон поглинання та

універсума: A =K, A ∩ =K, A U =K, A ∩U =K,

A A = K, A ∩ A = K .

21.Принцип двоїстості.

22.Що таке булеан деякої множини та чому дорівнює потужність булеана скінченої множини?

23.Що таке декартовий добуток множин А і В?

24.Що таке декартовий степінь деякої множини А?

25.Що таке бінарне відношення, задане на множині А?

26.Що таке область визначення та область значень відношення?

6

27.Способи завдання бінарних відношень.

28.Що таке композиція двох відношень?

29.Що таке степінь відношення?

30.Яке відношення називають зворотним до заданого?

31.Яке відношення називається рефлексивним, антирефлексивним, симетричним, антисиметричним, транзитивним, лінійним?

32.Які властивості буде мати матриця рефлексивного, симетричного, антисиметричного відношення, заданого на деякій непорожній скінченій множині?

33.Що таке відношення еквівалентності? Наведіть приклади.

34.Що таке клас еквівалентності?

35.Чи існують різні способи розбиття множини на класи еквівалентності?

36.Множина класів еквівалентності називається .... .

37.Чи можна за матрицею відношення дійти висновку про те, що це матриця саме відношення еквівалентності?

38.Які відношення називають відношеннями строгого та нестрогого порядку? Наведіть приклади.

39.Що таке відношення часткового порядку та повного порядку?

40.Чи буде відношенням часткового порядку відношення, обернене до відношення часткового порядку?

41.Яке відношення називається функцією? Наведіть приклади.

42.Що таке сюр'єкція, ін'єкція, бієкція?

43.Що називають n-арною операцією на множині?

44.Що таке алгебра, чи алгебраїчна структура?

45.Що називають типом та сигнатурою алгебри. Наведіть приклади.

46.Яка алгебра називається булевою?

47.Дати означення підалгебри та навести приклад.

48.Перелічить властивості бінарних операцій.

49.Що таке гомоморфізм алгебри А в алгебру В? Наведіть приклади.

50.Які алгебри є ізоморфними? Наведіть приклади.

51.Довести, що відношення ізоморфізму на множині однотипних алгебр є відношенням еквівалентності?

52.Що таке півгрупа та моноїд? Наведіть приклади.

53.Що таке комутативна півгрупа? Наведіть приклади.

54.Що таке група? Наведіть приклади.

55.Що таке абелева група? Наведіть приклади.

56.Які є приклади абелевої групи?

7

57.Що таке підстановка? Теорема Келі.

58.Що таке таблиця Келі та яку важливу особливість вона має для груп?

59.Наведіть означення кільця. Які є приклади комутативних та некомутативних кілець?

60.Що таке дільник нуля у кільці?

61.Дати означення поля та навести його приклади.

КОМБІНАТОРИКА

1.У чому полягає основна задача комбінаторики.

2.Сформулюйте правило суми в комбінаториці для двох неперетинних множин.

3.Сформулюйте правило добутку в комбінаториці для вибору впорядкованої пари (х,у).

4.Якщо Х1, Х2…Хn попарно неперетинні множини, то правило суми комбінаториці запишеться у вигляді …

5.Якщо х1 - може бути вибраний n1 способами, після чого х2 – n2 способами, и т. д., хk - nk способами, то вибір впорядкованої послідовності (х1, х2…хk) може бути вибраним … способами.

6.Як називається і обраховується число впорядкованих (n,m) вибірок, в якій елементи не повторюються?

7.Як називається і обраховується число впорядкованих (n,m) вибірок, в якій елементи можуть повторюватись?

8.Як називається і обраховується число невпорядкованих (n,m) вибірок, в якій елементи не повторяються?

9.Як називається і обраховується число невпорядкованих (n,m) вибірок, в яких елементи повторюються?

10.Що таке перестановка, запишіть формулу знаходження числа перестановок n-елементної множини.

11.Запишіть формулу для обчислення числа перестановок з повтореннями.

12.Що таке розбиття множини Х на k-впорядкованих підмножин.

13.Запишіть формулу обрахування числа розбиттів множини Х на k- впорядкованих підмножин.

8

14. Запишіть формулу обрахування числа розбиттів множини Х (|x|=n) на підмножини, серед яких для i=1, 2…n існує mi≥0 підмножин з i

n

елементами, де ∑i mi = n (Набор підмножин невпорядкований).

i=1

15.Запишіть формулу бінома Ньютона.

n

16. Чому дорівнює ∑ C nm ? (Довести).

m= 0

17.Як будується трикутник Паскаля? Що означають його елементи?

18.Як записується поліноміальна формула.

19.Запишіть формулу включень та виключень для двох скінчених множин.

20.Запишіть формулу включень та виключень для n>2 скінчених множин.

21.Якщо Х- скінчена множина, Х1…Хn- підмножини Х, тоді: |X/(Х1U…UХn)|=…

22.Якщо |X|=N та елементи множини Х можуть мати, чи не мати властивості: α1 ,α2 …αn , то кількість елементів в Х, немаючих ні однієї з цих властивостей обраховується за формулою…

23.Перелічить властивості біноміальних коефіцієнтів.

24.Дати означення твірної функції.

25.В чому полягає метод невизначених коефіцієнтів.

9

ІНДИВІДУАЛЬНІ ЗАВДАННЯ

Варіант № 1

Множини. Відношення. Алгебри.

Знайти його потужність.

3. Нехай маємо множини: N - множина натуральних чисел, Z - множина цілих чисел, Q - множина раціональних чисел, R - множина дійсних чисел; А, В, С - будь-які множини. Перевірити які твердження є вірними (в останній задачі у випадку невірного твердження достатньо навести конрприклад, якщо твердження вірне - навести доведення):

а) {2,3} {{1, 2}, 2,3};

б) Q R ;

в) Q N N ;

г) N ∩ Z Z ∩ Q ;

д) якщо C A B , то A ∩ B C .

4. Логічним методом довести тотожність:

A ∩ (B \ C)= (A ∩ B)\ (A ∩ C).

5. Зобразити на діаграмі Ейлера-Венна множину:

((A ∩ B)∆C) \ (A C) .

6. Множину зображено на діаграмі. Записати її за допомогою операцій.

10

7. Спростити вигляд множини, яка задана за допомогою операцій, застосовуючи закони алгебри множин (у відповідь множини можуть входити не більше одного разу):

A ∩ B ∩C (A ∩ B) C .

8. Чи є вірною рівність (A×B) ∩(A×C) = A×(B ∩C) ?

9. Знайти матрицю відношення R M ×2M , де M ={1, 2,3} :

R ={(x, y) x M & y M & y = x}.

10.Зобразити відношення графічно:

α={(x, y) (x, y) R2 & x −2y ≤3},