Вышмат
.pdfМІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ
Запорізький національний технічний університет
МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ
зорганізації самостійної роботи
звищої математики
СТУДЕНТІВ ТЕХНІЧНИХ СПЕЦІАЛЬНОСТЕЙ
ДЕННОЇ ФОРМИ НАВЧАННЯ
2009
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
2
Методичні вказівки з організації самостійної роботи з вищої математики студентів технічних спеціальностей.
Укладачі / ас. Засовенко А.В., доц. Засовенко В.Г.,( Розділ 1) доц. Гальченко Л.В., доц. Шаніна З.М.(Розділ 2) доц. Нагорний Ю.І., доц. Левицький І.А., ст. викл. Попригіна Т.Ф., ст. викл. Скуйбіда Л.Г.(Розділ 3), доц.Крапивний О.В., ас. Слюсарова Т.І. (Розділ 4), доц.. Онуфрієнко Л.М.(Розділ 5)– Запоріжжя: ЗНТУ, 2009 – 74 с.
УКЛАДАЧІ: доц. Засовенко В.Г. доц. Гальченко Л.В. доц. Шаніна З.М.
доц. Нагорний Ю.І. доц. Левицький І.А.
ст. викл Попригіна Т.Ф. доц.. Крапивний О.В. ас. Слюсарова Т.І.
доц. Онуфрієнко Л.М.
Комп′ютерна верстка: Давиденко С.І.
Рецензент: Онуфрієнко Л.М., к.ф.-м.н., доцент
Відповідальний за випуск:. Гальченко Л.В. , к.т.н.,
доцент
Затверджено на засіданні кафедри вищої математики ЗНТУ Протокол № 7 від 25.04.09
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
3
|
|
|
ЗМІСТ |
|
|
1. Потрійний інтеграл |
|
|
|
4 |
|
1.1 Теоретична частина |
|
|
|
4 |
|
1.2 Приклади розв’язків задач |
|
|
4 |
||
1.3 Завдання для самостійної роботи |
|
11 |
|||
2. Поверхневі інтеграли |
|
|
|
13 |
|
2.1 Теоретична частина |
|
|
|
13 |
|
2.2 Приклади розв′язків задач |
|
|
17 |
||
3. Ряди |
|
|
|
|
21 |
3.1 Числові знакододатні ряди |
|
|
21 |
||
3.2 Числові знакопочережні ряди |
|
|
|||
3.2.1 Ознака збіжності Лейбниця. |
|
31 |
|||
3.2.2 |
Абсолютна |
та |
умовна |
збіжність |
33 |
знакопочережного ряду |
|
|
35 |
||
3.3 Функціональні ряди |
|
|
|
||
3.3.1 Степеневі ряди. |
|
|
|
38 |
|
3.3.2 Розвинення функцій в степеневі ряди. |
|
40 |
|||
4. Ряди Фур`є |
|
|
|
49 |
|
4.1. Ряди Фур`є для функції з періодом 2π |
|
49 |
|||
4.2. Ряди Фур`є для функції з періодом 2l |
|
56 |
|||
4.3. Задачі для самостійного розв`язання |
|
64 |
|||
5. Елементи теорії поля |
|
|
|
66 |
|
5.1.Теоретична частина |
|
|
|
66 |
|
5.2. Приклади розв`язків задач |
|
|
66 |
||
Література |
|
|
|
74 |
|
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
4
1.ПОТРІЙНИЙ ІНТЕГРАЛ
1.1Теоретична частина
Законспектуйте теоретичний матеріал за одним з посилань: [1]
Гл.6, §7.11-7.13, с.528-529; [2] Гл.2, §2.1-2.13, с.136-193.
Підготуйте відповіді на наступні
Питання для перевірки засвоєння теорії:
1.Означення потрійного інтегралу.
2.Фізичний зміст потрійного інтегралу, якщо підінтегральна функція
– густина маси.
3.Формула переходу від потрійного до трьохкратного інтегралу.
4.Визначник Якобі.
5.Формула заміни змінних в потрійному інтегралі.
6.Зв’язок між декартовими та циліндричними координатами.
7.Зв’язок між декартовими та сферичними координатами.
8.Обчислення об’єму тіла.
9.Обчислення маси тіла зі змінною густиною.
10.Статичні моменти відносно координатних площин.
11.Координати центру мас тіла.
1.2Приклади розв’язків задач
1. Обчислити òòòdxdydz , де область V обмежена площинами:
V
x = 0, y = 0, z = 0, x + y + z = 1 .
Для визначення границь інтегрування, потрібних при заміні потрійного інтегралу трьохкратним, зобразимо область V на малюнку, а також проекцію V на площину Oxy :
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
O |
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
O |
|
|
1 |
|
|
|
|
x |
|
|
||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
З малюнку слідує, що якщо обрати, як зовнішнє, інтегрування |
||||||||||||||||||||||
вздовж осі Ox , |
то x змінюється від 0 до 1 (зовнішнє інтегрування |
||||||||||||||||||||||
від числа до числа); |
якщо потім виконувати інтегрування по y |
, |
то |
||||||||||||||||||||
(дивись проекцію V |
на площину Oxy ) |
|
y |
змінюється від осі |
Ox |
||||||||||||||||||
( y = 0 ) до |
прямої, |
яка є перетином |
площини |
|
Oxy |
( z = 0 ) |
з |
||||||||||||||||
площиною |
|
|
x + y + z = 1, |
а |
отже |
має |
|
|
рівняння: |
||||||||||||||
ì z = 0 |
|
Þ x + y =1Þ y =1- x ; |
|
інтегрування |
|
по |
|
z |
|||||||||||||||
í |
|
|
1 |
|
|
|
|||||||||||||||||
îx + y + z = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
виконується від площини Oxy |
( z = 0 ) до площини x + y + z = 1Þ |
||||||||||||||||||||||
Þ z = 1- x - y . |
Замінивши потрійний інтеграл на трьохкратний та |
||||||||||||||||||||||
виконавши інтегрування отримаємо: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
1 |
|
1− x |
1− x− y |
1 |
1− x |
|
|
1 1− x |
|
|
|
|
|
|||||||
òòòdxdydz = òdx ò dy òdz =òdx ò z |
|
10− x− y dy = òdx |
ò(1- x - y)dy = |
|
|||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||
V |
|
|
0 |
|
0 |
0 |
|
0 |
0 |
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|||
|
1 |
1 |
|
|
2 |
|
1− x |
|
1 |
1 |
2 |
|
|
|
1 |
3 |
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
= - |
|
ò(1- x - y) |
|
0 |
dx = |
|
ò(1- x) dx = - |
|
(1- x) |
|
= |
|
. |
|
|
|
|||||||
2 |
2 |
6 |
6 |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
2.Знайти масу тіла V , обмеженого прямокутним
паралелепіпедом: −1≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2, − 3 ≤ z ≤ 3, якщо об’ємна густина маси γ = y × z2 .
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
|
6 |
Маса тіла |
m = òòòγ (x; y; z)dxdydz . Для прямокутного |
|
V |
паралелепіпеда в декартових координатах перехід до потрійного
інтегралу |
виконується |
дуже |
легко |
|
m = òòò yz2 dxdydz = ò1 dxò2 dy ò3 |
yz2dz , |
оскільки границі |
внутрішніх |
|
V |
−1 0 −3 |
|
|
|
інтегралів є сталими, а підінтегральна функція є добутком функцій, кожна з яких залежить лише від однієї змінної, то потрійний інтеграл можна представити у вигляді добутку трьох визначених інтегралів:
m = ò1 dxò2 dy ò3 yz2dz = ò1 dxò2 y dy ò3 z2dz = x |
|
1−1 × |
|
y2 |
|
2 |
× |
z3 |
|
|
3 = 2 × 2 ×18 = 72 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
−1 |
0 |
−3 |
|
|
|
|
−1 |
0 |
−3 |
|
|
|
|
2 |
|
0 |
|
|
3 |
|
|
|
−3 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
3. Знайти масу тіла V , обмеженого циліндром |
|
|
x2 + y2 |
= 2ax та |
||||||||||||||||||||||
|
z = 0, z = a , густина маси якого γ = z |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
площинами |
|
x2 + y2 . |
|
|||||||||||||||||||||||
Зобразимо |
область |
V та |
її проекцію |
на |
|
площину |
Oxy на |
|||||||||||||||||||
малюнку: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ρ=2аcosφ |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
2а |
|
O |
|
|
|
y |
O |
|
|
|
φ |
|
|
|
2а |
x ρ |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Досить |
часто, |
коли область |
V є |
частиною |
|
циліндру, |
зручно |
|||||||||||||||||||
виконувати обчислення в циліндричній системі координат, яка з
декартовою пов’язана формулами: |
|
|
x = ρ cosϕ, y = ρ sinϕ, z = z . |
|
Модуль визначника Якобі при цьому |
|
J |
|
= ρ . В циліндричній системі |
|
|
|||
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
7
- π £ ϕ £ |
π |
(дивись проекцію |
V на площину Oxy ), лінія входу |
2 |
2 |
|
|
ρ = 0 , а |
лінія виходу це коло |
x2 + y2 = 2ax , рівняння якого при |
|
переході до циліндричної системи координат набуває вигляду: |
|||
ρ 2 cos2 ϕ + ρ2 sin2 ϕ = 2aρ cosϕ Þ ρ = 2acosϕ . |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 ≤ z ≤ a . Густина маси в циліндричній системі γ = z |
x2 + y2 = zρ . |
|||||||||||||||||||||||||||||
Враховуючи |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
все |
|
|
|
π |
|
|
вищезгадане: |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2a cos ϕ |
a |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
||||
m = òòòγ (x; y; z)dxdydz = òòòzρ ρ dρ dϕ dz = ò dϕ |
ò |
|
ρ2dρòzdz = |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V |
|
|
|
|
|
|
|
−π |
0 |
|
0 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
2a cos ϕ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
||||
|
a |
2 |
|
2 |
|
|
|
4a |
5 |
|
2 |
|
|
|
|
4a |
5 |
2 |
|
|
|
|
||||||||
= |
|
|
ò dϕ |
òρ2dρ = |
|
|
|
òcos3 ϕ dϕ = |
|
ò(1- sin2 ϕ)d(sinϕ)= |
||||||||||||||||||||
2 |
|
3 |
|
|
|
3 |
|
|||||||||||||||||||||||
|
− |
π |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
− |
π |
|
|
|
|
|
− |
π |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
4a5 |
|
æ |
|
1 |
|
|
|
ö |
|
π |
|
|
|
|
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
= |
|
ϕ - |
sin |
3 |
|
|
2 |
|
|
= |
a |
5 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
3 |
|
|
çsin |
3 |
|
ϕ ÷ |
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
è |
|
|
|
|
ø |
|
− |
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
4. Знайти масу кулі радіусу R ( x2 + y2 + z2 £ R2 ), густина маси якої γ (x; y; z)= x2 .
Обчислення зручно виконувати в сферичній системі координат,
яка |
|
|
|
|
|
зв’язана |
|
з |
|
декартовою |
|
|
|
формулами: |
||||||||||
x = r sinθ cosϕ, y = r sinθ sinϕ , |
z = r cosθ , |
|
|
|
J |
|
= r2 sinθ . |
|
Для |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
нашого |
|
тіла |
0 ≤ θ ≤ π , 0 ≤ ϕ ≤ 2π , 0 ≤ r ≤ R , |
|
а |
|
густина |
маси в |
||||||||||||||||
сферичних |
координатах |
|
γ = r2 sin 2 θ cos2 ϕ , |
|
|
тому |
||||||||||||||||||
m = òòòγ |
|
J |
|
drdϕdθ = πòsin3 θ dθ |
2òπcos2 ϕ dϕòR r4dr = |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
V |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
π |
2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
2π |
|
|
r5 |
|
R |
|
æ 1 |
|
|
3 |
ö |
|
π |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
= ò(cos |
|
θ -1)d(cosθ ) |
|
ò(1+ cos2ϕ)dϕ |
|
|
|
= |
ç |
|
cos θ - cosθ ÷ |
|
× |
|||||||||||
|
2 |
5 |
|
|
|
|||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
è 3 |
|
|
|
|
ø |
|
0 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
æ |
1 |
ö |
|
2π |
|
R5 |
|
4 |
|
R5 |
|
4 |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
× |
|
çϕ + |
|
sin 2ϕ ÷ |
|
|
× |
|
= |
|
×π × |
|
= |
|
|
πR |
|
. |
2 |
2 |
|
|
5 |
3 |
5 |
15 |
|
||||||||||
|
è |
ø |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
5. Знайти координати центру мас верхньої півкулі радіусу R , якщо її густина маси пропорційна відстані від центру.
За умовою густина маси γ = k 
x2 + y2 + z2 , а в сферичних координатах - γ = kr ( k - деяка стала).
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Маса тіла m = òòòdv =2òπ dϕ ò2 dθ òR kr × r2 sinθ dθ = k |
2òπ dϕ × |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
V |
|
0 0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|||||
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
× ò2 sinθ dθ × òR r3dr = k ×ϕ |
|
02π ×(- cosθ ) |
|
0π2 × |
r4 |
|
|
|
= |
|
1 |
kπR4 . |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
4 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= òòòz ×γ dv . |
|||||||||||
Статичний момент відносно площини Oxy - |
M xy |
|||||||||||||||||||||||||||||||
Перейдемо |
до |
|
|
|
|
сферичних |
|
|
|
|
|
|
V |
координат: |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
M xy = òòòr cosθ × kr × r2 sinθ dv = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2ϕ |
π |
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2 |
|
|
|
2π |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
R |
|
1 |
|
|
|||||||||
= k òdϕ òcosθ sinθ dθ òr |
4 |
dr = kϕ |
|
× |
sin |
2 |
θ |
r |
5 |
= |
kπR |
5 |
||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
0 |
2 |
|
|
0 × |
5 |
|
0 |
|
5 |
|
||||||||||||||||||||
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Отже координата центру мас zC = |
|
M xy |
= |
1 |
5 |
kπR5 |
= |
2 |
|
R . |
|
|
||||||||||||||||||||
|
m |
|
|
|
12 kπR4 |
5 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
9
Статичний |
момент відносно площини |
Oxz |
- M xz = òòò y ×γ dv = |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V |
|
|||
|
|
2ϕ |
π |
|
R |
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|||
|
|
2 |
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|||||
= k òsin ϕ dϕ òsin 2 θ dθ òr4dr = k × (- cosϕ) |
|
02π |
ò(1- cos2θ )dθ × |
|
|||||||||||||
|
|
||||||||||||||||
|
2 |
|
|||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||
|
|
0 |
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
× |
1 |
r5 |
|
R = 0 Þ y = |
M xz |
= 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
5 |
|
|
0 |
C |
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
2ϕ |
π |
R |
|
|
|
M yz |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||
M yz = òòòx ×γ dv = k òcosϕ dϕ òsin2 θ dθ òr4dr = 0 Þ xC |
= |
|
= 0. |
||||||||||||||
m |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
V |
|
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
æ 2 ö
Таким чином центр мас тіла розташований в точці Cç0;0; R÷ .
è 5 ø
6. Знайти координати центру мас однорідної призми обмеженої площинами x = 0, z = 0, y = 1, y = 2, x + 2z = 2 .
|
z |
|
|
|
|||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
O |
|
|
y |
|||
|
1 |
|
3 |
||||
|
|
|
|||||
x |
2 |
|
|
|
|
|
γ = Const , то |
|
|
|
|
|
|||
Оскільки призма однорідна тобто густина маси |
|||||||
при обчисленнях знаходячи m, M xy , M xz , M yz |
|
можна |
обрати γ = 1, |
||||
тому що координати центру ваги є відношеннями відповідних моментів до маси і γ = Const скоротиться при діленні.
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
10
|
Маса |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
призми |
|
|
|
|
|
|
: |
|||||
|
|
|
|
|
1− |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
3 |
|
|
2 |
|
3 |
|
1− 2 |
|
2 |
æ |
x ö |
æ |
x |
2 |
ö |
|
|
|||
|
|
|
|
2 |
|
0 |
x |
|
|
|
|
ç |
|
÷ |
|
|
|||||||
|
ò |
|
ò |
|
ò |
|
|
1 ò |
|
|
ò |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
m = |
|
dx |
|
dy |
|
|
dz = y |
|
z |
|
|
dx = (3 -1) |
|
ç1- |
2 |
÷dx = 2ç x - |
4 |
÷ |
|
= 2 . |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
ø |
è |
ø |
|
0 |
||||
|
0 |
|
1 |
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Статичні моменти відносно координатних площин:
|
|
|
|
1− |
|
x |
|
|
||
|
2 |
|
3 |
2 |
|
|
||||
M yz |
= òx dxòdy òdz |
|||||||||
|
0 |
|
1 |
0 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
1− |
x |
|
||||
|
2 |
3 |
|
2 |
|
|||||
M xz |
= òdxò y dy òdz |
|||||||||
|
0 |
1 |
|
0 |
|
|
||||
|
|
|
1− |
x |
|
|||||
|
2 |
3 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
M xy |
= òdxòdy |
òz dz |
||||||||
|
0 |
1 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ |
|
x |
3 |
ö |
|
2 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
= |
ò |
(2x - x2 )dx =ç x2 |
- |
|
÷ |
|
|
|
= |
, |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
|
|
3 |
÷ |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
ø |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
3 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
y2 |
|
æ |
|
|
|
x ö |
æ |
|
|
|
|
|
|
x2 ö |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
ò |
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
= |
2 |
|
× |
|
ç1 |
- |
2 |
|
÷dx =4ç x |
- |
|
|
4 |
÷ |
|
= 4 , |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
1 |
0 è |
|
|
ø |
è |
|
|
|
|
|
|
|
ø |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
æ |
|
|
|
|
x |
2 |
ö |
|
æ |
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
x |
3 |
ö |
|
2 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
= |
ò |
ç1- x + |
|
|
|
÷dx = ç x |
- |
|
|
+ |
|
÷ |
|
= |
. |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
ç |
|
|
|
|
4 |
|
÷ |
|
ç |
|
|
|
2 |
|
|
12 |
÷ |
|
|
3 |
|
|||||||||||||||
|
0 |
è |
|
|
|
|
|
ø |
|
è |
|
|
|
|
|
ø |
|
0 |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
æ 2 |
|
1 |
ö |
|
|
Центр мас розташований в точці Cç |
|
;2; |
|
÷ . |
|
|||
|
3 |
|
||||||
|
|
|
è 3 |
|
ø |
|
||
|
7. Знайти координати центру мас однорідного тіла розташованого |
|||||||
в |
першому |
октанті |
і |
обмеженого |
площинами: |
|||
y = 0, y = x, z = 0, круговим циліндром x2 + y2 =1 та параболоїдом обертання z = x2 + y2 .
В циліндричній системі координат рівняння площин матимуть вигляд: y = 0 Þ ϕ = 0, y = x Þ ϕ = π4 , z = 0 ; кругового циліндра -
ρ = 1; параболоїда - |
z = ρ2 . |
Оскільки тіло однорідне можна взяти |
||||||||||
γ = 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
1 |
ρ 2 |
π |
1 |
π |
|
|
|
|
π |
|
|
4 |
4 |
|
1 |
|
|
|
||||||
Маса тіла m = òdϕòρ dρ |
òdz = òdϕòρ3 dρ = |
× |
= |
|
. |
|||||||
4 |
4 |
16 |
||||||||||
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Статичні моменти відносно координатних площин:
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com