Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Запорожский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

M04225

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.02.2016

Размер:

338.84 Кб

Скачать

☆

1 / 61 2 3 4 5 6 > Следующая >>>

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ, МОЛОДІ ТА СПОРТУ УКРАЇНИ

Запорізький національний технічний університет

МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ

з вищої математики

для студентів технічних спеціальностей

ДЕННОЇ ФОРМИ НАВЧАННЯ

( 2-Й СЕМЕСТР) 2 ЧАСТИНА

2013

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Методичні вказівки з вищої математики для студентів технічних спеціальностей денної форми навчання (2-й семестр) 2 частина.Укладачі / Гальченко Л.В., Килимник І.М., Онуфрієнко Л.М., Шаніна З.М., – Запоріжжя:

ЗНТУ, 2013 – 58 с.

УКЛАДАЧІ:	доц. Гальченко Л.В.
	доц. Килимник І.М.
	доц. Онуфрієнко Л.М.
	доц. Шаніна З.М.

Комп′ютерна верстка: Давиденко С.І.

Відповідальний за випуск:. Килимник І.М. , к.т.н., доц.

Затверджено	на засіданні кафедри
вищої математики ЗНТУ
Протокол №	від 20.02.10

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

	ЗМІСТ
1. Кратні інтеграли		4
1.1	Аудиторні завдання	4
1.2	Індивідуальні завдання	6
2.	Криволінійні та поверхневі інтеграли	34
2.1	Аудиторні завдання.	34
2.2	Індивідуальні завдання	36
		36
Література		58

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

I. КРАТНІ ІНТЕГРАЛИ

1.1 Аудиторні завдання

1. Обчислити подвійний інтеграл по прямокутній області D

òòD	xdxdy	( 2	< x ≤ 4;1 ≤ y ≤ 3 )
	(x + 3y)2

2. Подати подвійний інтеграл у вигляді повторного інтеграла по області D, обмеженої вказаними лініями

а) D : y = x - 4, y2 = 2x; б) D : y = x , y = 0; x + y = 2

3. Змінити порядок інтегрування

0	−3 / 4y		1	x2 +1
а) òdy		ò f (x, y)dx;	б) òdx	ò f	(x, y)dy;
−3			0	−1
	−	9− y2

4. Обчислити подвійний інтеграл по області

вказаними лініями:

а) òò

y ö

dxdy D : y = 2, x = y,x =

;

è x ø

б) òò

ctg

x2 + y2

dxdy D : x2 + y2

= 1,

x2 + y2

D, обмеженої

³ -x, y £ 3x

5. Обчислити площу плоскої пластини D, обмеженої заданими лініями:

а) D : y = -1, y = -x, x2 + y2 = -2y б) D : x = 1, y = x3 , y = -3x

в) (x2 + y2 )3 = a2 (x4 + y4 )

6. Обчислити об′єм тіла, обмеженого заданими поверхнями:

а) x2 + y2 = z, x + y = 1, x = 0, y = 0, z = 0;

б) x + y + z = 4, x2 + y2 =1, x2 + y2 = 4, z = 0;

7. Обчислити площу поверхні I, відсіченою поверхнею II.

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

I: x2 + z2 = 4y, II: x2 = y, y = 3

8. Обчислити масу неоднорідної пластини D, обмеженої заданими лініями, якщо поверхнева щільність у кожній її точці g = g(x, y).

а) x = y2 , y = x2 , g = x2 + y;

б) x + y = 3, y = 0, y = 2x, g = x2 - y;

9.Знайти координати центра маси фігури, що обмежена лініями:

x= y, y = 2x, x = 2, густина γ =1.

10.Обчислити потрійний інтеграл

а) òòò(2x2 y - z + 3)dxdydz;

V :1 ≤ x ≤ 3, − 2 ≤ y ≤ 1, 2 ≤ z ≤ 3;

б) òòò(x + y -1)dxdydz;

V : z = x2 + y2 , y = 5x, x = 1, z = 0, y = 0;

в) òòòx2 + y2 dxdydz;

V : x2 + y2 = 44 - z, z = 64 - x2 - y2 ;

г) òòò	dxdydz	;

	4 - x2 - y2 - z2
V

V : x2 + y2 + z2 = 4, x ³ 0, y ³ 0, z ³ 0;

11. Знайти об′єм тіла, обмеженого поверхнями:

а)

в)

ìz = 4x2 + 2y2 +1
ï	+ y - 3 = 0
íx	+ y - 3 = 0
ï	= 0, y = 0, z = 0
ïx	= 0, y = 0, z = 0
î
ì	2x = x			2	+ y		2
ï	2x = x				+ y
í	2		2			2
ï	2	+ y	2	+ z		2	= 3
îx		+ y		+ z			= 3

ìx + y + z = 4, z = 0 б) ïíx2 + y2 = 1

ïîx2 + y2 = 4

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

1.2 Індивідуальні завдання.

1.2.1 Обчислити подвійний інтеграл по прямокутній області інтегрування D

10.

11.

12.

òò(2x + 3y)dxdy

òò xy dxdy

òòD 1 +xy2 dxdy òò(3x − y)dxdy

òòex+ y dxdy

òò(x2 + 2y)dxdy

òò ( dxdy)2 D x + y

òòx2 2 dxdy

D 1 + y

òò(x + y3 )dxdy

òò(3x2 − y)dxdy

òò(x3 − y )dxdy

òòex− y dxdy

(0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 3) (0 ≤ x ≤ 2 , 0 ≤ y ≤1) (0 ≤ x ≤1, 0 ≤ y ≤ 2) (0 ≤ x ≤ 2 , 0 ≤ y ≤1) (0 ≤ x ≤1, 0 ≤ y ≤ 2) (0 ≤ x ≤1, 0 ≤ y ≤ 2) (3 ≤ x ≤ 4 , 1≤ y ≤ 2)

(0 ≤ x ≤1, 0 ≤ y ≤1)

(1≤ x ≤ 2 , 0 ≤ y ≤ 2) (0 ≤ x ≤1, 1≤ y ≤ 2) (0 ≤ x ≤1, 0 ≤ y ≤ 1) (0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤1)

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

dxdy

òòD (x + 2y)2

òò xy2dxdy

òò4(x + 5y)dxdy

òòx3 2 dxdy

D 1 + y

òòe2x+ y dxdy

òò(x − y )dxdy

dxdy

òòD (2x - y)3

òò(xy3 − y)dxdy

òòex−2 y dxdy

D
	æ x		ö
òòç			+ 4yx÷dxdy
òòç		2	+ 4yx÷dxdy
D	è	2	ø
D

òò(3xy + xy)dxdy

òòD (1 +xy)3 dxdy

òò(x + xy )dxdy

òòe2x+3y dxdy

(2 ≤ x ≤ 5, 1≤ y ≤ 3) (0 ≤ x ≤1, 0 ≤ y ≤1) (2 ≤ x ≤ 3 , 3 ≤ y ≤ 4)

(1≤ x ≤ 2 , 0 ≤ y ≤1)

(0 ≤ x ≤1, 0 ≤ y ≤1) (0 ≤ x ≤ 2 , 1≤ y ≤ 2) (0 ≤ x ≤1, 1≤ y ≤ 3)

(2 ≤ x ≤ 3 , 1≤ y ≤ 2) (1≤ x ≤ 2 , 0 ≤ y ≤1)

(1≤ x ≤ 3 , 1≤ y ≤ 2)

(0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤1) (0 ≤ x ≤1, 1≤ y ≤ 2) (1≤ x ≤ 2 , 0 ≤ y ≤ 2) (0 ≤ x ≤1, 0 ≤ y ≤ 1)

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

										8
27.	òòsin(x + y)dxdy									(0 ≤ x ≤1, 0 ≤ y ≤ 1)

28.	D	(xy							)dxdy
	òò			2	+ y			5		(2 ≤ x ≤ 3 , 0 ≤ y ≤1)

29.	D
	òò		y			dxdy				(1≤ x ≤ 2 , 0 ≤ y ≤1)
			1 + x2
30.	D		y2
	òòD						dxdy			(0 ≤ x ≤1, 0 ≤ y ≤ 1)
		(1+ x)3

1.2.2 Подати подвійний інтеграл у вигляді повторного інтеграла по області D, обмеженої вказаними лініями.

1.	D:	y =	4 − x2			,	y =	3x	,

2.	D:	x2 + y2 = 9,					3x - 2y - 6 £ 0 ,

							y ³ 0,
3.	D:	x = 8 − y2 ,
4.	D:	y = ln x,					x ³ 0;
5.	D:	x2 = 2 − y,					x + y = 0
							y ³ x2 ;
6.	D:	y =	2 − x2	,
7.	D:	y = x2 − 2,					y = x;
8.	D:	y = 2x ,					y = x;
9.	D:	y2 = 2x,					x2 = 2y ,

10.	D:	y =	9 − x2		,		x ³ 0 ,
11.	D:	y2 = 2 − x,					y = x;
						,	x = y2 ,
12.	D:	x =	2 − y2

x ³ 0;
y £	0;
y = x
y ³	0,	y £ 1;

y = 1,

y = 3;

x £1;

y ³ x ;

y ³ 0 ;

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

13.D:

14.D:

15.D:

16.D:

17.D:

18.D:

19.D:

20.D:

21.D:

22.D:

23.D:

24.D:

25.D:

26.D:

27.D:

28.D:

29.D:

30.D:

y2 = 4x , y = x,

y = −2 − x2 , y = 6 − x2 ,

y = −x,

y= 4 − x2 , xy =1,

x= 2 − y2

y2 = 6 − x,

y2 = x,

y= 4 − x2 ,

x2 + y2 = 4,

y− 2 = x2 ,

y= x2 ,

x + y - 6 = 0,

4 − y = (x −1)2 ,

2x + 3y £ 6,

4 − x = y2 ,

x+ 2y −12 = 0,

y= 2x,

y ³ x ,

x= y ,

y2 = x + 2 ;

0 £ x £ 2,

x = y,

x2 = − y,

x = y,

y2 = 4x ,

y= x2 ;

x- y + 2 = 0,

y= −4 − x2 , 4y = x2 ,

y= x2 ,

3x - y - 3 = 0,

y= 4 − x2 ,

x = −4 − y2 ;

y³ 0 ; x = 1;

y= 0 ;

y ³ 0 ;

y= 4 ; x = 2;

y£ 0,

y = 0 ; y = 2 ;

y ³ 0

0 £ x £ 2 ;

x = 2; y ³ 0;

y ³ 0 ;

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

1.2.3 Змінити порядок інтегрування

1.	1	x3 +1		2.	2 / 3	y+3
	ò dx		ò f (x, y)dx		ò dy	ò f (x, y)dx
	−1				0	2y	2
		− 1−x2

f (x, y)dy

òdx

2−x

f (x, y)dy

ò dx

−6

−1

2x−x2

òdx

f (x,y)dy

x−2

e y

f (x, y)dx

òdy

11.

1− y

f (x, y)dx

òdy

−

1− y2

13.

1− y2

òdy

f (x, y)dx

15.

f (x,y)dx

òdy

ln y

17.

3−x

(x, y)dy

òdx

4.	1		3− y					(x,y)dx
	òdy		ò				f	(x,y)dx
	0		2y2
6.	1		y2 +1					f (x,y)dx
	òdy			ò				f (x,y)dx
	0		−	4− y2
8.	1		2−x2					f (x, y)dy
	ò dx			ò				f (x, y)dy
	−1		−		1−x			2
10.			−		1−x
10.	3		2x					(x,y)dy
	òdx		ò				f	(x,y)dy
	0		x2 −x
12.	1		3x				f (x, y)dy
	òdx		ò				f (x, y)dy
	0		2x
14.	1		2−x2
	òdx		ò				f (x, y)dy
	0		x3
16.	1	2+
16.	1	2+				y	f (x,y)dx
	òdy		ò				f (x,y)dx
	0		y
18.
18.	1		3−			1−y2
	òdy			ò				f (x, y)dx
	0					y

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

1 / 61 2 3 4 5 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
07.02.2016490.82 Кб50M04057 Основи електроприводу.pdf
#
07.02.2016339.44 Кб52M04073.pdf
#
07.02.2016198.63 Кб17M04091.pdf Контрольная ст и подстанции.pdf
#
07.02.2016187.97 Кб7M04160.pdf
#
07.02.20162 Mб14M04190мас_лааг.pdf
#
07.02.2016338.84 Кб5M04225.pdf
#
07.02.201611.74 Mб5M04235_1.pdf
#
07.02.2016169.93 Кб16M04252.“Електромагнітні перехідні процеси.К.Р.unlocked.pdf
#
07.02.2016208.41 Кб11M04358 Ярымбаш.pdf
#
07.02.20161.32 Mб17M04498.pdf Техника безопасности.pdf
#
07.02.2016586.15 Кб16M04502.pdf