M04502

MІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ Запорізький національний технічний університет

Методичні вказівки

до виконання розрахункових робіт по

ТЕОРІЇ ЙМОВІРНОСТЕЙ

і

ВИПАДКОВИМ ВЕЛИЧИНАМ для студентів технічних спеціальностей

денної форми навчання

2013

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

2

Методичні вказівки до виконання розрахункових робіт по . теорії ймовірностей і випадковим величинам для студентів технічних спеціальностей./Укл.: Величко І.Г. , Нагорний Ю.І., Штефан Т.О. -Запоріжжя: ЗНТУ, 2013. 82 с.

Укладачі: Величко І.Г., проф., к.ф.-м.н. Нагорний Ю.І., доц., к.ф.-м.н. Штефан Т.О., асистент

Відповідальний за випуск: Штефан Т.О., асистент

Комп′ютерна верстка Давиденко С.І.

Затверджено на засіданні кафедри

вищої математики Протокол № 4 від 13.11.2013 р.

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

4

1. ТЕОРІЯ ЙМОВІРНОСТЕЙ

1.1Аудиторні завдання.

Елементи комбінаторики.

1)Скількома способами можна обрати чотиризначне число, всі цифри якого різні? (9×9×8×7=4536)

2)Скількома способами можна обрати чотиризначне число, в десятковому записі якого немає нуля? (9×9×9×9=6561)

3)Десять спортсменів розігрують одну золоту, одну срібну та одну бронзову нагороду. Скількома способами ці медалі можуть бути

розподілені між спортсменами? ( A103 = 720 )

4)Скількома способами із десяти спортсменів можна обрати команду з шести чоловік? ( C106 = 210 )

5)Скількома способами можна розставити на полиці 3 екземпляри підручника з алгебри, 2 екземпляри підручника з геометрії та один

екземпляр підручника з математичного аналізу? ( 3!×6!2!×1! = 60 )

6) В бригаді чотири жінки та три чоловіки. Серед членів бригади розподіляються чотири квитки в театр так що два квитки дістаються жінкам, а два чоловікам. Скільки варіантів розподілу квитків існує?

( C42 ×C32 = 18 )

Класичне означення ймовірності

1) Навмання обирається трьохзначне число, десятковий запис якого не містить нуля. Знайти ймовірність того, що у вибраного числа рівно дві

однакові цифри. Відповідь: (3 + 3) ×C92 93 = 0,2963 .

2) В коробці знаходиться 15 олівців, з яких 8 червоних. Навмання беруть олівець. Знайти ймовірність того, що олівець виявився 1) червоним; 2) не червоним. Відповідь: а) 0,533; б) 0,467.

Комбінаторний метод знаходження ймовірності

У записній книжці мобільного телефону студента 20 номерів телефонів хлопців та 15 дівчат. Студент набирає навпаки 5 телефонних номерів. Знайти ймовірність того, що з набраних номерів

3 належать дівчаткам. Відповідь: C202 ×C153 C355 =0,2663.

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

5

Геометрична ймовірність

1) В прямокутнику ABCD обрано точки M – середину сторони AB та N – середину сторони BC. Знайти ймовірність того, що точка, випадковим чином обрана всередині прямокутника ABCD, лежить всередині трикутника MND. Відповідь: 0,375.

Теореми суми та добутку

1)На поверсі 10 аудиторій. Два студенти незалежно один від одного шукають деканат. 1) Знайти ймовірність того, що з першої спроби хоча б один із студентів знайде деканат. 2) Знайти ймовірність того, що обидва студенти потраплять в одну аудиторію. Відп: 1) 0,19; 2) 0,1.

2)Ймовірність своєчасної сплати податків для 1-го підприємства дорівнює 0,8; для другого-0,6; для третього – 0,7 . Знайти ймовірність своєчасної сплати податків 1) тільки одним підприємством; 2) не менше, ніж двома підприємствами; 3) жодним підприємством; 4) хоча б одним підприємством. Відповідь:1) 0,188; 2) 0,788; 3) 0,024; 4) 0,976.

Повна ймовірність. Теорема Байєса

1)В вузі доктори наук складають 10% педагогічного составу, кандидати наук – 60%, а решта викладачів без наукового ступеня. Ймовірність того, що доктор опублікував наукову статтю в вузівському журналі складає 85%. Для кандидатів наук та викладачів без ступеня відповідні ймовірності складають 50% та 30%. 1) Знайти ймовірність того, що випадковим чином обраний викладач має статтю в вузівському науковому журналі. 2) Випадковим чином обраний викладач має статтю в вузівському науковому журналі. Знайти ймовірність того, що він є кандидатом наук.

Відповідь: 1) 0,475; 2) 0,632.

2)Лектор читає лекції в трьох групах, в яких відповідно 20, 25 та 30 студентів. В кожній із груп по 15 дівчат. Викладач випадковим чином обирає групу і серед студентів цієї групи випадковим чином обирає студента, який отримує автоматом відмінну оцінку на екзамені. 1) Знайти ймовірність того, що відмінну оцінку отримає хлопець. 2) З’ясувалось, що відмінну оцінку отримала дівчина. Яка ймовірність того, що вона не навчається в третій групі.

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

6

Відповідь: 1) 0,383; 2) 0,729.

3) На склад поступає однотипна продукція від двох постачальників А та В, причому кількість продукції від постачальника А складає a%. Відомо, що в продукції від постачальника А пофарбовані вироби складають 50%, а в продукції від постачальника В – 60%. Відомо, що якщо випадковим чином обраний виріб виявився пофарбованим, то з ймовірність 3/13 він поступив від виробника В. Знайти а.

Відповідь: а=80.

Схема Бернуллі

1) Монета підкидається 10 разів. Знайти ймовірність того, що герб випаде 1) шість разів; 2) від 4 до 7 разів; 3) хоча б один раз.

Відповідь: 1) 0,21; 2) 0,77; 3) 0,99.

Локальна та інтегральна теореми Муавра-Лапласа

1)В групі вчиться 15 хлопців та 10 дівчат. Протягом 30 днів випадковим чином обирається один із студентів для чергування. 1) Знайти ймовірність того, що хлопці будуть чергувати 20 днів. 2) Знайти ймовірність того, що дівчата будуть чергувати 12 днів.

Відповідь: 1) 0,11; 2) 0,15.

2)120 верстатів працюють незалежно один від одного, причому ймовірність безперебійної роботи кожного з них дорівнює 0,8. Знайдіть ймовірність того, що впродовж зміни безперебійно пророблять 1) 100 верстатів; 2) від 95 до 115 верстатів.

Відповідь: 1) 0,06; 2) 0,5909.

Теорема Пуассона

1)Із натуральних чисел від 1 до 1000 випадковим чином обирається одно. Цей опит повторюється 500 разів. Яка з подій більш ймовірна: число 17 не буде обране жодного разу, число 17 буде обрано один раз або число 17 буде обрано принаймні два рази.

Відповідь: жодного разу.

2)Підручник виданий тиражем 10000 екземплярів. Ймовірність того, що екземпляр підручника зброшурований правильно, дорівнює 0,0001. Знайдіть ймовірність того, що тираж містить 1) рівно 5 бракованих книг; 2) не менше 3 бракованих книг; 3) хоча б одну браковану книгу.

Відповідь: 1) 0,00307; 2) 0,0803; 3) 0,63212.

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

7

1.2 Індивідуальні завдання Варіант №1

1.Команда космічної орбітальної станції складається з командира корабля, двох бортінженерів, одного спеціаліста з питань зв’язку та трьох біологів. В розпорядженні командування знаходиться п’ять претендентів на посаду командира корабля, 18 інженерів, 12 спеціалістів з питань зв’язку та вісім біологів. Скільки різних команд космічної станції можна зібрати вказаним чином?

2.Навмання взятий телефонний номер складається з 7 цифр. Знайдіть ймовірність того, що всі цифри номеру різні.

3.В коробці 15 новорічних прикрас, з них 5 у формі зірочок. Обчислити ймовірність того, що із 8 взятих навмання прикрас 3 будуть у вигляді зірочок.

4.Точка кинута у круг радіусом 5 см. Знайти ймовірність того, що вона потрапить в середину вписаного квадрату.

5.Стрілок веде вогонь по цілі, що віддаляється. Ймовірність влучити при першому пострілі 0,85 та зменшується на 0,1 при кожному наступному пострілі. Стрілок зробив три постріли. Знайти ймовірність того, що ціль уражена 1) двома кулями; 2) не менше ніж двома кулями; 3) хоча б однією кулею; 4) ціль залишилася неушкодженою.

6.Група з 15 студентів виконує контрольну роботу. Троє з них підготовленні відмінно, п’ятеро добре, ще п’ятеро посередньо та двоє погано. Ймовірність виконати роботу без помилок для студента, який підготовлений відмінно, складає 85%, для добре підготовлено студента – 70%, для підготовленого посередньо – 50% та для погано підготовленого – 20%. Викладач навмання обирає роботу для перевірки. Знайти ймовірність того, що 1) обрана робота виконана без помилок; 2) робота виконана студентом, який був добре підготовлений, якщо відомо, що вона не містить помилок.

7.Ймовірність появи події А в кожному з 10 однакових дослідів дорівнює 35%. Знайти ймовірність того, що подія А відбудеться 1) 5 разів; 2) від 2 до 4 разів; 3) не менше 3 раз; 4) хоча б один раз.

8.Ймовірність того, що людина, яка подає заяву про вступ до приймальної комісії університету є громадянином іншої держави, дорівнює 20%. Знайти ймовірність того, що з 400 заяв отримано 1) 85 заяв від іноземців; 2) від 75 до 90 заяв від іноземців.

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

8

9. На виробництві працює 500 співробітників. Знайти ймовірність того, що 1) рівно 5 робітників народилися 1 березня; 2) не менше 2 робітників народилися 1 березня. Ймовірність народження в певний день року вважати рівно ймовірною з будь-яким іншим днем. Всі роки вважати не високосними.

Варіант №2

1.В танцювальній студії займаються 24 дівчинки та 16 хлопчиків. На конкурс необхідно відправити команду з п’яти пар учасників, якщо будь-яка дівчинка може стати в пару до кожного хлопчику. Скільки варіантів команди можна скласти вказаним чином?

2.В коробці 7 білих й 5 чорних куль. Яка ймовірність того, що навмання витягнута з цієї коробки куля виявиться білою?

3.В піраміді 14 гвинтівок, 11 з них з прицілом. Знайти ймовірність того, що серед взятих навмання 10 гвинтівок 8 будуть з прицілом.

4.Точку кинуто в круг радіусом 3 см. Знайти ймовірність того, що вона потрапила в середину вписаного трикутника.

5.Для сигналізації про аварію встановлено три незалежно працюючих сигналізатори. Ймовірність того, що при аварії спрацює перший сигналізатор – 90%, другий сигналізатор – 80%, третій – 95%. Знайти ймовірність того, що при аварії спрацюють 1) рівно 2 сигналізатори; 2) хоча б один сигналізатор; 3) жоден не спрацює.

6.У команді чотири відмінних, десять гарних та шість посередніх стрілків. Ймовірність влучити в ціль при одному пострілі для відмінного стрілка складає 90%, для гарного – 75%, для посереднього – 50%. Знайдіть ймовірність того, що 1) навмання обраний стрілок влучить в ціль; 2) в результаті пострілу ціль виявилась ураженою. Яка ймовірність того, що стріляв гарний стрілок?

7.Ймовірність народження хлопчика 0,512. Обчислити ймовірність того, що в родині з п’яти дітей 1) 2 дівчинки; 2) від 2 до 4 хлопчиків; 3) хоча б один хлопчик; 4) не менше 3 дівчинок.

8.Ймовірність того, що студент відвідає лекцію з філософії для кожного студента дорівнює 80%. В потоці 120 студентів. Знайти ймовірність того, що на певній лекції з філософії присутні 1) 95 студентів; 2) від 86 до 106 студентів.

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

9

9. Ймовірність помилки в книзі 0,002. Обчислити ймовірність того, що при перевірці 500 книжок виявиться 1) 2 книги з помилками; 2) не менше 3книжок з помилками; 3) хоча б одна книга з помилкою.

Варіант №3

1.До складу футбольної команди входить чотири нападники, по три півзахисники та захисники, один голкіпер. В розпорядженні тренера десять нападників, 7 захисників, 8 півзахисників та 4 голкіпера. Знайдіть кількість можливих складів футбольної команди, якщо порядок вибору гравців не є важливим.

2.Навмання обране двозначне число. Яка ймовірність того, що це число виявиться кратним п’яти?

3.Ящик містить 62 придатних і 8 дефектних деталей. Збирач послідовно без повернення дістає з ящика десять деталей. Яка ймовірність того, що серед взятих деталей виявиться дві дефектні?

4.В квадрат з вершинами в точках (0;0), (0;1), (1;0), (1;1) навмання кинута точка. Знайти ймовірність того, що координати цієї точки задовольняють нерівності y ≤ 2x.

5.Чотири спортсмени ведуть вогонь по цілі. Ймовірність влучення в ціль для кожного спортсмена відповідно дорівнюють 0,8; 0,85; 0,75 та 0,9. Знайти ймовірність того, що ціль уражена 1) двома кулями; 2) не менше ніж трьома кулями; 3) хоча б однією кулею; 4) ціль залишилася неушкодженою.

6.У супермаркет надходять овочі від чотирьох фермерських господарств. З господарства «Зоря» надходить 30% продукції, з «Веселки» - 25%, з «Сонечка» - 30% та з «Гаю» 15%. Ймовірність того, що овоч надходить неушкодженим для «Зорі» складає 96%, для «Веселки» - 90%, для «Сонечка» - 94% та для «Гаю» - 98%. В супермаркеті був придбаний деякий овоч. 1) Знайти ймовірність того, що він виявився неушкодженим; 2) овоч виявився неушкодженим, яка ймовірність того, що він надійшов з ферми «Веселка»; 3) відомо, що придбаний овоч надійшов або з господарств «Зоря» або «Сонечко». Яка ймовірність того, що він пошкоджений?

7.Монета підкидається 8 разів. Знайти ймовірність того, що герб випав 1) рівно п’ять разів; 2) від 4 до 6 разів; 3) не менше 5 разів; 4) хоча б один раз; 5) жодного разу.

8.Ймовірність того, що покупцеві знадобиться пальто п’ятдесятого розміру дорівнює 20%. Знайдіть ймовірність того, що

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

10

серед 100 покупців пальто п’ятдесятого розміру зажадають 1) 25 осіб;

2)від 10 до 30 осіб.

9.Ймовірність появи події А в кожному з 900 незалежних дослідів дорівнює 1%. Знайти ймовірність того, що подія А з’явиться

1)5 раз; 2) від 3 до 9 раз; 3) хоча б один раз; 4) жодного разу.

Варіант №4

1.Групу з 17 студентів потрібно розділити на три бригади, причому в першу бригаду повинні входити 5 чоловік, до другої 7 чоловік, а решта до третьої. Скількома способами можна виконати вказаний розподіл?

2.Навмання обране чотиризначне число. Знайти ймовірність того, що всі цифри числа різні.

3.В коробці 20 олівців, з яких 6 червоних. З коробки навмання виймають 9 олівців. Яка ймовірність того, що серед відібраних олівців виявиться 4 червоні.

4.В правильний трикутник навмання кинута точка. Знайдіть ймовірність того, що вона потрапить всередину вписаного в цей трикутник кола.

5.В трьох ящиках по 25 різнокольорових куль. Відомо, що в першому ящику 20 білих, в другому – 18 білих, в третьому – 10 білих.

Зкожного ящика дістають по одній кулі. Знайти ймовірність того, що виявиться 1) дві білі кулі; 2) хоча б одна біла куля; 3) не менше однієї білої кулі; 4) жодної білої кулі.

6.На фабриці машина А виготовляє 40% всієї продукції, а машина В – 60%. У середньому 9 з 1000 одиниць продукції, зробленою машиною А, виявляється браком, а в машини В – брак 2 одиниці з 500. Деяка одиниця продукції, обрана випадковим образом, виявилася браком. На якій машині найімовірніше вона була вироблена?

7.Ймовірність народження дівчинки складає 0,48. Знайти, що в родині з дев’яти дітей 1) 5 дівчинок; 2) від 4 до 7 хлопчиків; 3) не менше двох дівчинок; 4) жодного хлопчика; 5) хоча б одна дівчинка.

8.Зерно сходить з ймовірністю 0,85. Знайдіть ймовірність того, що з 500 висіяних зерен зійде: 1) 425 зерен, 2) від 425 до 450 зерен.

9.На факультеті навчається 500 студентів. Ймовірність того, що студент сирота 0,002. Знайти ймовірність того, що на факультеті навчається 1) 3 сироти; 2) від 1 до 4 сиріт; 3) не менше 2 сиріт; 4) жодної сироти.

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com