3.2 Выбор системы счисления компьютера
При разработке компьютера производится выбор системы счисления, методов выполнения арифметических и логических операций, элементной базы и др.
Выбор системы счисления обуславливается следующими причинами:
- основание системы определяет число знаков представимых в одном разряде. Здесь преимущество имеет двоичная система, а не десятичная т.к. она требует всего два знака (0,1).
- система счислений должна обеспечить точность арифметики, большой диапазон, и простоту представления чисел. Сигнал передачи бита информации и почти все радиоэлементы имеют двоичную природу и легко отображают числа в двоичной системе.
Рассмотрим пример поразрядного сложения двоичных чисел.
0+0=0 1+0=1
0+1=1 1+1=10
Сложение целых чисел без знака можно представить по схеме рисунка 3.1.
4 Методы перевода чисел из одной позиционной системы счисления в другую
Ранее мы отмечали, что любое число N можно представить полиномом с основанием q1, но это же число можно представить другим полиномом с основанием q2, иначе: N(q1)= N(q2). Представим это следующим выражением
Таким
образом, для перевода числа в другую
систему счисления, необходимо определить
новые весовые коэффициенты, умножить
их на новое основание в степени веса
разряда и просуммировать слагаемые.
4.1 Методы перевода целых чисел
Существует несколько методов перевода чисел из одной системы счисления в другую. Перевод чисел из десятичной системы в двоичную осуществляется раздельно. Сначала переводят целую часть, а затем отдельно дробную часть. Результаты соединяют через запятую. Рассмотрим основные методы.
4.1.1 Метод подбора коэффициентов
Задача перевода числа с основанием q1 в число с основанием q2 сводится к отыскиванию коэффициентов полинома нового основания. Эту задачу можно решить методом подбора коэффициентов полинома.
Правило. Выбираем число со степенью основания два так, чтобы оно не превышало данное число, но было близким к нему снизу, ставим коэффициент равный 1, затем подбираем коэффициенты меньших степеней полинома для остатков, так чтобы сумма давала исходное число.
На местах степеней (весов разрядов), входящих в сумму числа, ставим коэффициенты равные 1, на остальных местах - 0.
Все действия должны выполняться по правилам арифметики исходной системы счисления.
Пример. Перевести десятичное число 96 в двоичную систему.
Решение. 96 = 1*26+1*25+0*24+0*23+0*22+0*21+0*20= 1100000(2)
Проведем проверку методом подстановки значений веса разрядов, умножения его на подобранный коэффициент и вычисления общей суммы.
96= 1*64 + 1*32.
Этот прием применим при "ручных" переводах и соответствующих навыках.
4.1.2 Метод перевода делением на основание новой системы
Полином числа можно записать по схеме Горнера.
.
Если правую часть разделить на q2 , то получим целую часть и остаток bo. Повторить деление k+1 раз получая каждый раз остатки b1 ,Ь2,... Ьк и целые части. Последний остаток является старшим разрядом остатка числа, представленного в основании q2 ( неделимый остаток).
Пример. 12(10) перевести в бинарную систему счисления. Решение. Делим на q=2:
В скобках стоят остатки от деления на основание 2. Последнее частное 1 является также остатком, так как оно меньше основания. Достигнув значения частного меньше основания, прекращаем дальнейшее деление. Результат записываем, начиная с этого частного, так как это старший разряд, а затем идут последовательно все остальные остатки.
Ответ: 12(10) = 1100(2)