3. Формулы умножения вероятностей.
Пусть события
и
независимые, причем вероятности этих
событий известны. Найдем вероятность
совмещения событий
и
.
Теорема 2.3. Вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:
.
Следствие 2.1. Вероятность совместного появления нескольких событий, независимых в совокупности, равна произведению вероятностей этих событий.:
.
Пример
5. Имеется
три ящика, содержащих по
деталей. В первом ящике -
,
во втором -
,
в третьем -
стандартных деталей. Из каждого ящика
наудачу вынимается по одной детали.
Найти вероятность того, что все три
вынутые детали окажутся стандартными.
Решение. Вероятность
того, что из первого ящика вынута
стандартная деталь (событие
)
равна
.
Вероятность того, что из второго ящика
вынута стандартная деталь (событие
)
равна
.
Вероятность того, что из третьего ящика
вынута стандартная деталь (событие
)
равна
.
Так как события
,
и
независимые в совокупности, то искомая
вероятность (по теореме умножения) равна
.
Пусть события
и
зависимые, причем вероятности
и
известны. Найдем вероятности совмещения
этих событий, т. е. вероятность того, что
появится и событие
,
и событие
.
Теорема 2.4. Вероятность совместного появления двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило:
,
.
Следствие 2.2. Вероятность совместного появления нескольких зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности всех остальных, причем вероятность каждого последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие события уже появились:
Пример
6. В урне
находится
белых,
черных и
синих шара. Каждое испытание состоит в
том, что наудачу извлекают один шар, не
возвращая его в урну. Найти вероятность
того, что при первом испытании появится
белый шар (событие
),
при втором - черный (событие
)
и при третьем - синий (событие
).
Решение. Вероятность появления белого шара при первом испытании равна
.
Вероятность появления черного шара при втором испытании, вычисленная в предположении, что при первом испытании появился белый шар, т. е. условная вероятность равна
.
Вероятность появления синего шара при третьем испытании, вычисленная в предположении, что при первом испытании появился белый шар, а при втором - черный, равна
.
Искомая вероятность равна
.
4. Формула полной вероятности.
Теорема 2.5.
Если событие
может наступить только при условии
появления одного из событий
,
образующих полную группу несовместных
событий, то вероятность события
равна сумме произведений вероятностей
каждого из событий
на
соответствующую условную вероятность
события
:
. (2.1)
Эта формула носит название формулы полной вероятности.
Пример
7. На сборочный
конвейер поступают детали с трех станков.
Производительность станков неодинакова.
Первый дает
% программы, второй -
%, а третий -
%. Если в сборку попадает деталь, сделанная
на первом станке, то вероятность получения
годного узла равна
.
Для продукции второго и третьего станков
соответствующие вероятности равны
и
.
Определить вероятность того, что узел,
сходящий с конвейера, годный.
Решение. Обозначим
через
событие, означающее годность собранного
узла; через
,
и
события, означающие, что детали сделаны
соответственно на первом, втором, третьем
станках. Тогда имеем:
;
;
;
;
.
Искомая вероятность равна:
.