3. Функция распределения вероятностей и ее свойства.

Функция распределения является наиболее общей формой задания закона распределения. Она используется для задания как дискретных, так и непрерывных случайных величин. Обычно ее обозначают .Функция распределения определяет вероятность того, что случайная величина принимает значения, меньшие фиксированного действительного числа, т. е.. Функция распределения полностью характеризует случайную величину с вероятностной точки зрения. Ее еще называют интегральной функцией распределения.

Геометрическая интерпретация функции распределения очень проста. Если случайную величину рассматривать как случайную точку оси(рис. 6), которая в результате испытания может занять то или иное положение на этой оси, то функция распределенияесть вероятность того, что случайная точкав результате испытания попадет левее точки.

Рис. 6.

Для дискретной случайной величины , которая может принимать значения,, … ,, функция распределения имеет вид

,

где неравенство под знаком суммы означает, что суммирование распространяется на все те значения, которые по своей величине меньше. Из этой формулы следует, что функция распределения дискретной случайной величиныразрывна и возрастает скачками при переходе через точки,, … ,, причем величина скачка равна вероятности соответствующего значения (рис. 7). Сумма всех скачков функции распределения равна единице.

Непрерывная случайная величина имеет непрерывную функцию распределения, график этой функции имеет форму плавной кривой (рис. 8).

Рис. 7. Рис. 8.

Рассмотрим общие свойства функций распределения.

Свойство 1. Функция распределения есть неотрицательная функция, заключенная между нулем и единицей:

.

Справедливость этого свойства вытекает из того, что функция распределения определена как вероятность случайного события, состоящего в том, что.

Свойство 2. Вероятность попадания случайной величины в интервал равна разности значений функции распределения на концах этого интервала, т. е.

.

Отсюда следует, что вероятность любого отдельного значения непрерывной случайной величины равна нулю.

Свойство 3. Функция распределения случайной величины есть неубывающая функция, т. е. при .

Свойство 4. На минус бесконечности функция распределения рана нулю, а на плюс бесконечности функция распределения рана единице, т. е. ,.

Пример 1. Функция распределения непрерывной случайной величины задана выражением

Найти коэффициент и построить график. Определить вероятность того, что случайная величинав результате опыта примет значение на интервале.

Решение. Так как функция распределения непрерывной случайной величины непрерывна, то приполучим:. Отсюда. График функцииизображен на рис. 9.

Рис. 9.

Исходя из второго свойства функции распределения, имеем:

.

4. Плотность распределения вероятности и ее свойства.

Функция распределения непрерывной случайной величины является ее вероятностной характеристикой. Но она имеет недостаток, заключающийся в том, что по ней трудно судить о характере распределения случайной величины в небольшой окрестности той или другой точки числовой оси. Более наглядное представление о характере распределения непрерывной случайной величины дает функция, которая называется плотностью распределения вероятности или дифференциальной функцией распределения случайной величины.

Плотность распределения равна производной от функции распределения, т. е.

.

Смысл плотности распределения состоит в том, что она указывает на то, как часто появляется случайная величинав некоторой окрестности точкипри повторении опытов. Кривая, изображающая плотность распределенияслучайной величины, называетсякривой распределения.

Рассмотрим свойства плотности распределения.

Свойство 1. Плотность распределения неотрицательна, т. е.

.

Свойство 2. Функция распределения случайной величины равна интегралу от плотности в интервале от до, т. е.

.

Свойство 3. Вероятность попадания непрерывной случайной величины на участокравна интегралу от плотности распределения, взятому по этому участку, т. е.

.

Свойство 4. Интеграл в бесконечных пределах от плотности распределения равен единице:

.

Пример 2. Случайная величина подчинена закону распределения с плотностью

Определить коэффициент ; построить график плотности распределения; найти вероятность попадания случайной величины на участок отдо; определить функцию распределения и построить ее график.

Решение. Площадь, ограниченная кривой распределения, численно равна

.

Учитывая свойство 4 плотности распределения, находим: . Следовательно, плотность распределения может быть выражена так:

График плотности распределения изображен на рис. 10. По свойству 3 имеем

.

Для определения функции распределения воспользуемся свойством 2:

.

Таким образом, имеем

График функции распределения изображен на рис. 11.

Рис. 10 Рис. 11