7. Распределение Стьюдента.
Случайная величина
есть отношение двух независимых случайных
величин
и
(см. обозначения п. 8),
т. е.
.
Распределение
случайной величины
называется распределением Стьюдента
с
степенями свободы. Его плотность задается
следующим образом:
.
Математическое
ожидание и дисперсия случайной величины
соответственно равны:
,
.
Кривые распределения
(для различных
)
приведены на рис. 26.
Как и в случае
-распределения,
при увеличении
распределение Стьюдента стремится к
нормальному, более того, к стандартизованному
нормальному (т. е. с нулевым математическим
ожиданием и единичной дисперсией).
Распределение
Стьюдента, как и
-распределение,
широко применяется в задачах математической
обработки результатов измерений.
Рис. 26
8. Распределение Фишера.
Пусть случайная
величина
равна отношению двух независимых
случайных величин
и
,
т. е.
.
Распределение
случайной величины
называется распределением Фишера с
и
степенями свободы. Оно имеет плотность
вероятности следующего вида:
Математическое
ожидание случайной величины
определяем по формуле:
,
.
Графики плотностей
вероятностей распределения Фишера (для
различных
,
)
изображены на рис. 27.
Рси. 27
Между случайными
величинами, имеющими нормальное
распределение, распределения
,
Сьюдента и Фишера, имеют место соотношения:
,
,
.
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ
1. Что называется характеристической функцией случайной величины ?
2. Какое распределение случайной величины называется стандартизованным нормальным распределением ?
3. Изобразите графически плотность нормального закона распределения случайной величины. Выясните геометрический смысл параметров нормального закона.
4. Определите
вероятностный смысл параметров
и
нормального закона распределения.
5. Какая связь между характеристической функцией случайной величины и ее основными числовыми характеристиками ?
6. Что такое логнормальное распределение ?
7. Где используется распределение Вейбула ?
8. Какая связь
между гамма - распределением и показательным
распределением ? Гамма - распределением
и распределением
?
9. Какой геометрический
смысл имеет вероятность
,
где случайная величина
распределена равномерно на
?
10. Где применяются
распределения
,
Стьюдента, Фишера ? Как связаны
перечисленные распределения со
стандартизованным нормальным ?
Задачи для самостоятельного решения
1. Измеряемая
случайная величина
подчиняется нормальному закону с
параметрами
,
.
Найти симметричный относительно
интервал, в который с вероятностью
попадет измеренное значение. Рассмотреть
следующие числовые значения: а)
;
б)
;
в)
.
Ответ: а)
;
б)
;
в)
.
2. Деталь,
изготовленная автоматом, считается
годной, если отклонение ее контролируемого
размера от номинала не превышает
.
Случайные отклонения контролируемого
размера от номинала подчиняются
нормальному закону с параметрами
,
.
а) Сколько процентов годных деталей
изготовляет авомат ? б) Сколько необходимо
изготовить деталей, чтобы с вероятностью
не менее
среди них оказалась хотя бы одна
бракованная деталь ?
Ответ: а)
;
б)
.
3. Браковка шариков
для подшипников производится следующим
образом: если шарик проходит через
отверстие диаметра
,
но не проходит через отверстие диаметра
,
то шарик считается годным. Если какое
- либо из этих условий нарушается , то
шарик бракуется. Считается, что диаметр
шарика
- случайная величина, распределенная
по нормальному закону с параметрами
,
,
где коэффициент
(
)
определяет точность изготовления
шариков. а) Определить вероятность того,
что шарик будет забракован. б) Какую
точность изготовления следует установить
(т. е. каким следует выбрать коэффициент
),
чтобы брак составлял не более
всей продукции ?
Ответ: а)
;
б)
.
4. Время безотказной
работы радиоаппаратуры является
случайной величиной
,
распределенной по экспоненциальному
закону с параметром
.
Вычислить математическое ожидание,
дисперсию и вероятность того, что
радиоаппаратура не выйдет из строя в
течение времени
.
Ответ:
,
,
.
5. Время ожидания
у бензоколонки автозаправочной станции
является случайной величиной
,
распределенной по экспоненциальному
закону со средним временем ожидания,
равным
.
Найти вероятности следующих событий:
,
.
Ответ:
,
.
6. Для равномерно
распределенной на
случайной величины
вычислить функцию распределения,
медиану, коэффициент эксцесса.
Ответ:
,
7. Шкала рычажных
весов, установленных в лаборатории,
имеет цену делений
.
При измерении массы химических компонентов
смеси отсчет делается с точностью до
целого деления с округлением в ближайшую
сторону. Какова вероятность, что
абсолютная ошибка определения массы:
а) не превысит величины среднеквадратичного
отклонения возможных ошибок определения
массы; б) будет заключена между значениями
и
?
Ответ: а)
;
б)
.
8. Случайная
величина
распределена по закону
.
Вычислить ее математическое ожидание
и дисперсию.
Ответ:
,
.