3. Гамма-распределение.
Говорят, что
случайная величина
имеет гамма - распределение с параметрами
и
,
если ее плотность распределения
вероятностей имеет следующий вид:
где
- гамма - функция
Эйлера. На рис. 19 показан вид кривых
распределения вероятностей при значениях
параметра
и
(при
получаем экспоненциальное распределение,
см. п. 5,
рис. 20).
Рис. 20
Математическое ожидание и дисперсия случайной величины, подчиненной гамма - распределению, задаются формулами:
,
.
Отметим, что при
гамма - распределение имеет моду
(графически это
означает, что кривая распределения
имеет точку максимума
,
см. рис. 20).
4. Экспоненциальный закон.
Экспоненциальным
распределением называется частный
случай гамма - распределения с параметрами
,
,
т. е. плотность вероятности в этом случае
имеет вид:
Функцию распределения
можно
найти, используя свойство 2 плотности
распределения (глава 4, п. 4):
Основные
характеристики случайной величины
,
распределенной по экспоненциальному
закону, имеют вид:
,
.
Кривая распределения
вероятностей и график функции распределения
показаны на рис. 21.
Рис. 21
Статистический
смысл параметра
состоит в следующем:
есть среднее число событий в единицу
времени, т. е.
есть средний промежуток времени между
двумя последовательными событиями.
Показательное
распределение часто встречается в
теории массового обслуживания (например,
- время ожидания при техническом
обслуживании или
- длительность телефонных разговоров,
ежедневно регистрируемых на телефонной
станции) и в теории надежности (например,
- срок службы радиоэлектронной аппаратуры).
Пример
2. Случайная
величина
- время работы радиолампы - имеет
показательное распределение. Определить
вероятность того, что время работы лампы
будет не меньше
часов, если среднее время работы
радиолампы -
часов.
Решение. По условию
задачи математическое ожидание случайной
величины
равно
часам, следовательно,
.
Искомая вероятность
.
5. Равномерный закон.
Случайная величина
называется распределенной равномерно
на отрезке
,
если ее плотность распределения
вероятностей постоянна на данном отрезке
Все возможные
значения равномерно распределенной
случайной величины лежат в пределах
некоторого определенного интервала,
кроме того, в пределах этого интервала
все значения случайной величины одинаково
вероятны (обладают одной и той же
плотностью вероятности). Равномерное
распределение реализуется в экспериментах,
в которых наудачу ставится точка на
отрезке
(
- абсцисса поставленной точки). Также
равномерно распределенная случайная
величина встречается в измерительной
практике при округлении отсчетов
измерительных приборов до целых делений
шкал. Ошибка при округлении отсчета до
ближайшего целого деления является
случайной величиной
,
которая может принимать с постоянной
плотностью вероятности любое значение
между двумя соседними целыми делениями.
Математическое ожидание и дисперсия равномерно распределенной случайной величины соответственно равны:
,
.
График плотности равномерного распределения изображен на рис. 22.
Рис. 23 Рис. 24
Пример
3. Найти
вероятность попадания случайной
величины, имеющей равномерное распределение
на отрезке
,
на участок
,
представляющий собой часть отрезка
.
Решение. Воспользуемя свойством 3 плотности вероятности (глава 4, п. 4):
.
Графически
вероятность
представляется в виде площади
заштрихованного прямоугольника на рис.
24.
6.
-распределение.
Частный случай
гамма-распределения с параметрами
(
- натуральное число),
называется распределением хи-квадрат
с
степенями свободы (пишут
).
Если случайная величина
подчиняется закону
,
то ее плотность распределения вероятностей
записывается в виде:
Основные характеристики данного распределения:
,
.
Кривые распределения
(для различных
)
приведены на рис. 25.
Рис. 25
Случайная величина
,
подчиняющаяся
- распределению, равна сумме квадратов
независимых случайных величин
,
,
каждая из которых имеет стандартизованное
нормальное распределение, т. е.
.
Пусть
и
- независимые случайные величины, имеющие
распределение
с
и
степенями свободы соответственно. Сумма
этих случайных величин имеет распределение
с
+
степенями свободы:
.
Заметим, что
распределение
при больших значениях
(
)
с достаточной для практических расчетов
точностью аппроксимируется нормальным
распределением с математическим
ожиданием
и дисперсией
.
Поэтому при больших
расчет вероятностей производят по
нормальному закону.
Распределение
играет большую роль в математической
статистике. Подробнее об этом см. главу
11.