- •Міністерство освіти і науки україни
- •1. Лінійна алгебра
- •1.1 Аудиторні завдання
- •1.2 Індивідуальні завдання
- •1.2.1 Розвязати рівняння
- •1.2.3. Обчислити визначник 4-го порядку.
- •1.2.4 Розвязати систему рівнянь :
- •1.2.6 Виконати дії над матрицями
- •1.2.8. Розвязати матричне рівняння.
- •2.Векторна алгебра
- •2.1 Аудиторні завдання
- •2.2 Індивідуальні завдання
- •2.2.2 Знайти модулі суми та різниці векторів і ,.
- •2.2.3. Вектор розкладено за базисомI, ,. Знайти розклад за цим базисом вектораd, протилежно напрямленого до вектора с, якщо відомий модуль вектора d.
- •2.2.4. Дано чотири вектори: . Якщо вектори утворюють базис, знайти розвинення вектораm за цим базисом.
- •2.2.6. Скалярний добуток векторів
- •2.2.9 Знайти роботу, яку виконує сила f , рухаючись прямолінійно із точки а в точку в.
- •2.2.11 Обчислити площу паралелограму, побудованого на векторах m та n і знайти скалярний добуток .
- •2.2.12 Дано вектори а та. Знайти координати векторного добутку.
- •2.2.13 Знайти момент сили p відносно точки с, якщо сила прикладена до точки а.
- •2.2.14 Дано координати вершин трикутника авс. Знайти ,, довжину висоти вd та внутрішній й зовнішній кут при вершині а.
- •2.2.15 Дано вектори а, с. Знайти їх мішаний добуток і зясувати, праву чи ліву трійку утворюють дані вектори.
- •2.2.16 Зясувати, чи знаходяться чотири точки, координати яких задані, на одній площині.
- •2.2.17 Обчислити обєм тетраедра з вершинами у точках а, в, с, d та його висоту, опущену з вершини d на грань авс.
- •3. Аналітична геометрія на площині
- •3.1 Аудиторні завдання
- •3.2. Індивідуальні завдання
- •3.2.1 Трикутник авс задано координатами його вершин. Зробити креслення і знайти:
- •3.2.2 Знайти рівняння прямих, , які проходять через т.M і розташовані паралельно та перпендикулярнодо відомої прямоїl. Рівняння прямої l записати у «відрізках» та побудувати її.
- •3.2.5 Перейшовши до полярних координат, побудувати криву, задану рівнянням у декартових координатах.
- •4. Пряма та площина у просторі
- •4.1 Аудиторні завдання
- •4.2 Індивідуальні завдання
- •Варіанти індивідуальних завдань
- •5.Поверхні другого порядку
- •6. Лінійні оператори
- •6.1 Аудиторні завдання
- •6.2 Індивідуальні завдання
- •Варіанти індивідуальних завдань
- •Література
3. Аналітична геометрія на площині
3.1 Аудиторні завдання
1. Задане загальне рівняння прямої 12х-5у-65=0.Написати:
1)рівняння з кутовим коефіцієнтом
2) рівняння у відрізках
3) нормальне рівняння.
2. Написати рівняння прямої, яка проходить через початок координат:
1) паралельно прямій у=4х-3
2) перпендикулярно до прямої у=1/2 х+1.
3) нахиленої під 60 до прямої у=х-1.
3. Визначити відстань від точки М(2, -1) до прямої , що відсікає на вісях координат відрізки а=8, b=6.
4. Задані вершини трикутника А (2, -3) і В (5, 1), рівняння сторони ВС: х+2у=7 і медіани АМ: 5х-у-13=0. Скласти рівняння висоти, опущеної з вершини С на сторону АВ і відшукати її довжину.
5. Задані вершини трикутника: А(1, 1), В(10, 13), С (13,6). Скласти рівняння:
1) бісектриси кута А
2) медіани, проведеної з вершини В
3) висоти, що опущено з вершини С.
Обчислити площу трикутника.
6. Задана пряма l: 4х-3у-7=0. Які із точок А(5/2, 1), В(3, 2), С ( 1, -1), D (0, -2), Е (4, 3), F (5, 2) лежать на цій прямій
А є l, В l, C є l, Dl, Е є l, F є l .
7. Задані сторони трикутника: х+у-6=0, 3х-5у+14=0 та 5х-3у-14=0. Скласти рівняння його висотх-у=0, 5х+3у-26=0, 3х+5у-26=0.
8. А ( 2, -5) є вершиною квадрата, одна із сторін якого лежить на прямій х-2у-7=0. Обчислити площу квадрата 5.
9. Скласти рівняння сторін трикутника, якщо відома одна із його вершин А (-4, 2) і рівняння двох медіан: 3х-2у+2=0 та 3х+5у-12=0. 2х+у-8=0, х-3у+10=0, х+4у-4=0 .
10. Знайти координати центру тяжіння рівнобедреного трикутника, якщо рівняння його бічних сторін 7 х- у-9=0 і 5х+5у-35=0, а точка D (-3, 8 ) лежить на його основі.
11. Скласти рівняння кола, описаного біля трикутника, сторони якого задані рівняннями 9х-2у–41=0, 7 х+4 у + 7= 0, х-3у+1=0.
12. Встановити, які криві визначаються нижчеслідуючими рівняннями. Зробити малюнок.
1)
2)
3)
4)
5)
13. Скласти рівняння прямої, що проходить через лівий фокус і нижню вершину еліпса . 4х+3у+12=0.
14. Знайти рівняння гіперболи, вершини і фокуси якої знаходяться у відповідних фокусах і вершинах еліпса.
.
15. На параболі знайти точку, відстань якої від директриси дорівнює 4.
3.2. Індивідуальні завдання
3.2.1 Трикутник авс задано координатами його вершин. Зробити креслення і знайти:
а) довжину і рівняння сторони АВ
б) точку перетину медіан, що проведені з вершин В і С
в) довжину і рівняння висоти, що проведена із вершини С на сторону АВ
г) рівняння середньої лінії паралельної стороні ВС
д) рівняння бісектриси, яку проведено із вершини В
е) тангенс кута при вершині А.
1. А ( 3 ,-2 ) В ( 5 , 4 ) С (-3 , 1 ).
2. А ( 2 ,-2 ) В ( 5 , 3) С ( 1 , 5 ).
3. А ( 2 ,-3 ) В (-1 , 2 ) С ( 3 , 4 ).
4. А ( -1 , 1 ) В ( 1 , 6 ) С ( 3 , 1 ).
5. А (-1 , 6 ) В ( 5 ,-2 ) С ( 3 , 2 ).
6. А ( 3 , 4 ) В ( 5 ,-2 ) С ( 0 , 6 ).
7. А ( 4 ,-6 ) В ( 2 ,-8 ) С (-1 , 2 ).
8. А (-3, 1 ) В (-2 , 2 ) С ( 2 , 4 ).
9. А ( 3 , 5 ) В (-1 ,-1 ) С (-4 , 2 ).
10. А ( 1 ,-1 ) В ( 4 , 8 ) С (-2 , 3 ).
11. А (-2 , 4 ) В (-6 , 4 ) С ( 2 , 2 ).
12. А ( 1 , 1 ) В (-6 , 2 ) С ( 2 ,-4 ).
13. А (-1 , 4 ) В ( 4, 4 ) С ( 2,-5 ).
14. А (-2 ,-1 ) В (-6 , 1 ) С ( 2 ,-8 ).
15. А ( 2 ,-8 ) В ( 2 , 1 ) С (-6 , 0 ).
16. А ( 2 , 3 ) В (-2 ,-1 ) С (-4 ,1 ).
17. А (-6 ,-2 ) В ( 4 ,-1 ) С ( 0 , 4 ).
18. А ( 2 , 1 ) В ( 3 , 8 ) С (-4 , 5 ).
19. А (-1 , 4 ) В ( 6 ,-8 ) С (-2 , 1 ).
20. А ( 2 ,-6 ) В ( 3 , 3 ) С (-4 , 8 ).
21. А ( 3 , 8 ) В ( 6 ,-2 ) С (-2 , 0).
22. А (-1 , 4 ) В (-6 ,-8 ) С ( 3 , 6 ).
23. А ( 2 ,-4 ) В (-6 , 1 ) С ( 3 , 4 ).
24. А ( 2 ,-8 ) В (2 ,-5 ) С (-4 , 8 ).
25. А ( 2 , 3 ) В (-6 ,-4 ) С (-2 , 1 ).
26. А (-3 , 8 ) В ( 4 , 6 ) С (-6 ,-8 ).
27. А ( 1 , 2 ) В (-8 , 1 ) С (-3 ,-1 )
28. А (-6 ,-1 ) В ( 1, 2 ) С (-4 , 8 ).
29. А ( 1 ,-1 ) В ( 6 , 4 ) С (-2 , 3 ).
30. А (-6 , 2 ) В ( 2 ,-2 ) С (-4 ,-5 ).