Elektrodinamika
.pdf
Електромагнетизм
пронизуватиме його. Отже,
ФB = ФB , ФB |
= 0 . |
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
Тоді |
|
|
|
|
A = −IФB = − pm B . |
|
|
||
При повертанні рамки на кут 180° |
її кінцеве і початкове положення відрізнятимуться |
|||
лише напрямком вектора B відносно вектора магнітного моменту контуру |
R |
і ФB = ФB , |
||
pm |
||||
1
ФB2 = −ФB . Тоді
A = −2 pm B = −2IФB .
§75. Магнітні моменти атомів. Намагніченість. Атом в магнітному полі
Розглянемо процеси, що відбуваються в речовині під впливом зовнішнього магнітного поля на атоми і молекули речовини. В будь-якій речовині, вміщеній у зовнішнє магнітне поле, виникає особливий стан намагніченості і створюється внутрішнє магнітне поле.
Розглянемо причини цього явища з погляду будови атомів і молекул, поклавши в основу гіпотезу Ампера, згідно з якою в будь-якому тілі існують мікроскопічні струми, обумовлені рухом електронів в атомах і молекулах.
Електрони в атомах рухаються по деяких замкнених орбітах. Електрон, що рухається
pml |
|
|
по одній з таких орбіт (рис. 183), еквівалентний коловому струму, тому |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
R |
|
|
|
він має орбітальний магнітний момент |
pml = ISn , модуль якого |
|||||||||||||
|
r |
I |
p |
ml |
= IS , де S – площа орбіти електрона: S = π r 2 . |
|
|||||||||||
+ |
- e |
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
Вектор |
|
напрямлений в |
той самий |
бік, що й індукція |
||||||||||
|
|
υ |
|
|
|
pm |
|||||||||||
R |
|
магнітного поля в центрі колового струму І. Кількість обертів електронів |
|||||||||||||||
Ll |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
υ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Рис. 183 |
|
в секунду ν = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
. Тоді сила струму |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
2π r |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
I = eν = |
eυ |
і |
pml = |
eυ |
π r 2 = |
eυ r |
. |
|
|
|||
|
|
|
|
|
2π r |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2π r |
2 |
|
|
|
||||
З іншого боку, кожний електрон, що рівномірно рухається по орбіті, має орбітальний |
|||||||||||||||||
механічний момент імпульсу, який числово дорівнює Ll |
= mυ r . Тоді |
|
|||||||||||||||
pml = e . Ll 2m
R
Вектори pml і Ll напрямлені у взаємно протилежні сторони. Тому
R |
|
e R |
R |
R |
||
pml = − |
|
Ll , |
pml = −gLl , |
|||
2m |
||||||
де gl = |
e |
– гіромагнітне відношення орбітальних моментів. |
||||
|
||||||
2m
Гіромагнітне відношення, яке експериментально визначили Ейнштейн і де Гааз, виявилось в два рази більшим від гіромагнітного відношення орбітальних моментів.
125
Електромагнетизм
Щоб пояснити результат експерименту, припустили, що електрон, крім орбітальних
R
моментів pml і Ll , має власний механічний момент імпульсу Ls , що називається спіном електрона. Спін є невід’ємною властивістю електрона, подібно до того, як заряд е і маса m.
Спін електрона виявляється в багатьох експериментальних фактах. Спіну електрона Ls
R
відповідає власний (спіновий) магнітний момент pms , який дорівнює:
R |
R |
e |
R |
|
pms = −gs Ls = − |
|
Ls |
||
m |
||||
|
|
|
||
де g s – гіромагнітне відношення спінових моментів.
Магнітний момент електрона складається з його орбітального і спінового магнітних моментів. Відповідно магнітний момент атома дорівнює сумі магнітних моментів електронів, що входять до складу атома, і магнітного моменту ядра, який значно менший від моментів електрона. Тому магнітним моментом ядра, як правило, нехтують. Отже,
R Z R Z R
Pma = ∑ pmli + ∑ pmsi , i=1 i=1
де Z – атомний номер хімічного елемента.
За відсутності зовнішнього магнітного поля магнітні моменти орієнтовані хаотично, внаслідок чого сумарний магнітний момент речовини дорівнює нулю і результуюча магнітна індукція поля, яке створене мікроскопічними струмами, дорівнює нулю. Під дією зовнішнього магнітного поля магнітні моменти орієнтуються в певному напрямку і виникає внутрішнє магнітне поле, сумарний магнітний момент відмінний від нуля і речовина намагнічується.
Для кількісного опису намагнічування магнетиків введемо векторну величину –
R
намагніченість J , яка числово дорівнює магнітному моменту одиниці об’єму магнетика:
|
|
R |
N |
|
|||
R |
|
Pm |
|
1 |
R |
||
J |
= |
= |
∑ Pmai , |
||||
|
|
||||||
|
|
V V i=1 |
|
||||
R
де N – кількість атомів (молекул), що знаходяться в об`ємі V , Pmai - магнітний момент і-го атома (молекули). Об`єм V повинен бути настільки малим, щоб в його межах магнітне поле можна вважати однорідним.
R
Розглянемо вплив зовнішнього магнітного поля B на рух електронів в атомах речовини.
Нехай навколо ядра атома рівномірно рухається по коловій орбіті електрон. Якщо магнітне поле відсутнє, то кулонівська сила є доцентровою і
Ze2 |
|
mu2 |
||
|
= |
|
0 |
= mω 2r , |
4πε0 r 2 |
|
|
||
|
r |
0 |
||
|
|
|
||
де u0 - лінійна швидкість електрона, ω0 - кутова швидкість, r - радіус орбіти.
В однорідному магнітному полі, лінії індукції якого перпендикулярні до площини орбіти електрона, на кожен електрон діятиме ще сила Лоренца
126
Електромагнетизм
|
|
|
|
|
|
Fл = euB = eω rB |
|
|
|
|
||||||||
де |
ω |
- |
|
|
кутова |
|
|
швидкість |
при |
наявності |
||||||||
магнітного поля (рис. 184) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Тепер |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ze2 |
− eω rB = mω 2r |
, |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
4πε0 r 2 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
mr(ω 2 − ω 2 )= −eω rB , |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(ω − ω0 )(ω + ω0 ) = − |
e |
Bω . |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
R |
|
|
pml |
|
|
pml |
|
|
r´ |
|
||||||
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
Fл |
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 184 |
|
|
|
I´ |
|
S´ |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p′ |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ml |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 185 |
|
|
||||
Оскільки ω + ω0 ≈ 2ω , то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
ωL = ω − ω0 |
= − |
e |
B . |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|||
Отже, магнітне поле викликає зміну кутової швидкості обертання електрона по орбіті. |
||||||||||||||||||
У |
випадку, |
R |
перпендикулярне площині |
орбіти, то дія поля |
полягає у |
|||||||||||||
коли B не |
||||||||||||||||||
збудженні процесії орбіти навколо поля (рис. 185). Магнітний момент електрона |
R |
|||||||||||||||||
pml описує |
||||||||||||||||||
|
R |
В цьому випадку кутова швидкість ωL |
|
|
||||||||||||||
конус навколо B . |
такої процесії теж виражається |
|||||||||||||||||
формулою |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ωL = − |
e |
B . |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|||||
Кутова швидкість ωL називається кутовою швидкістю прецесії Лармора. Вона є |
||||||||||||||||||
однаковою для всіх електронів атома, тому нахилу орбіти |
|
R |
||||||||||||||||
α відносно вектора B , ні від |
||||||||||||||||||
радіуса орбіти або швидкості електрона. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Теорема Лармора: єдиним наслідком впливу магнітного поля на орбіту електрона в |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
R |
з кутовою швидкістю ωL навколо осі, що проходить |
|||||||||||
атомі є прецесія орбіти і вектора pml |
||||||||||||||||||
R
через ядро атома і паралельна вектору B індукції магнітного поля.
Прецесія орбіти обумовлює додатковий рух електрона навколо напрямку поля. Якщо б відстань r електрона від осі, що проходить через центр орбіти, не змінювалась, то додатковий рух електрона відбувався би по колу радіуса r. Йому відповідав би коловий
127
Електромагнетизм
струм
|
I ′ = e ωL |
= |
e2 B |
, |
|||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
2π |
|
|
|
4π m |
||||||
магнітний момент якого дорівнює |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
p′ |
= I ′S′ |
= |
|
|
e2 |
S′B |
||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
ml |
|
|
|
|
|
|
4π m |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
і напрямлений в сторону, протилежну до вектора |
|
R |
|
|
|||||||||||
B : |
|
|
|||||||||||||
|
R |
|
|
|
|
|
e2 |
|
|
|
R |
||||
|
p′ |
|
= − |
|
|
|
|
|
|
|
S′B . |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
ml |
|
|
4π m |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
R |
називається індукованим магнітним моментом. |
||||||||||||||
Магнітний момент p′ |
|||||||||||||||
ml |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Розрахунок показує, |
що S′ = |
2 |
π r 2 . |
|
В |
результаті отримуємо середнє значення |
|||||||||
|
|||||||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
індукованого магнітного моменту одного електрона: |
|
|
|||||||||||||
|
|
p′ |
|
= |
e2 B |
r 2 . |
|||||||||
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
ml |
|
|
|
6 m |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
При отриманні виразу для p′ |
передбачалось, що електрони рухаються по колових |
||||||||||||||
|
ml |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
орбітах. В загальному випадку, наприклад для еліптичної орбіти, потрібно замість r 2 у
виразі для p′ |
брати r 2 , тобто середній квадрат відстані електрона від ядра. |
|||||
ml |
|
|
|
|
|
|
Індукований магнітний момент атома дорівнює сумі індукованих моментів |
||||||
електронів, що входять до складу атома: |
|
|
|
|
||
|
P′ |
= Z |
p′ |
= |
e2 B |
Z r 2 . |
|
|
|||||
|
ma |
∑ |
ml |
|
|
∑ i |
|
|
i=1 |
|
|
6 m i =1 |
|
Прецесія Лармора виникає у всіх без винятку речовинах.
§76. Елементарна теорія діа - і парамагнетизму
Досліди і теорія показують, що всі речовини, які поміщені в магнітне поле, набувають магнітних властивостей, тобто намагнічуються і тому деякою мірою змінюють зовнішнє поле.
При цьому виявляється, що одні речовини послаблюють зовнішнє поле, а інші – підсилюють його; перші називаються діамагнетиками, другі – парамагнетиками. Більшість речовин належить до діамагнетиків.
Діамагнетиками називають речовини, магнітні моменти атомів або молекул яких дорівнюють нулю, коли немає зовнішнього магнітного поля.
В цих речовинах спінові та орбітальні магнітні моменти електронів взаємно скомпенсовані.
До діамагнетиків належать інертні гази He, Ne, Ar, Kr, Xe, а також такі речовини, як H2O , C, Cu, Zn, Ag, Sb, Hg, Pb, Bi, багато органічних сполук тощо.
Для пояснення природи діамагнетизму розглянемо вплив магнітного поля на рух
128
Електромагнетизм
електронів в атомах речовини.
Коли внести діамагнетик у зовнішнє магнітне поле, у кожному його атомі індукується
магнітний момент P′ , який напрямлений протилежно до вектора |
B |
магнітної індукції |
|||||||||
ma |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
поля. В межах малого об’єму |
V |
ізотропного діамагнетика вектори |
P′ |
|
всіх N атомів |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ma |
|
|
(молекул) однакові. Вони пропорційні до вектора B і протилежні йому за напрямком. Тому |
|||||||||||
вектор намагнічування дорівнює: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z |
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
ne2 ∑ < ri |
2 |
> |
|
|
|
|
R |
NP′ |
|
R |
|
i =1 |
|
|
R |
|
|
|
J = |
ma |
= nP′ |
= − |
|
|
B = |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
V |
|
ma |
|
6 m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
= χ B , μ0
де n – концентрація атомів (молекул), χ – безрозмірний коефіцієнт пропорційності, який залежить від природи речовини:
|
|
|
|
Z |
|
>μ0 |
|||||
|
ne2 ∑ < ri |
2 |
|||||||||
χ = − |
|
|
|
i =1 |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
6 m |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Коефіцієнт χ називається магнітною сприйнятливістю речовини. Як видно, для |
|||||||||||
всіх діамагнетиків χ < 0 і за величиною |
|
χ |
|
~ 10−6 ÷ 10−5 , тобто |
|
χ |
|
<< 1 . Тому діамагнітний |
|||
|
|
|
|
||||||||
ефект малопомітний, цей ефект виникає у всіх речовинах, які внесені у магнітне поле. Стрижень з діамагнітного матеріалу намагнічується в напрямку, протилежному до
напрямку зовнішнього магнітного поля. Тому в неоднорідному магнітному полі діамагнетик
виштовхується в область слабшого поля і |
встановлюється так, щоб його вісь була |
|
перпендикулярна до вектора магнітної індукції |
R |
поля. |
B |
||
Якщо векторна сума орбітальних магнітних моментів усіх електронів атома або
R
молекули не дорівнює нулю, то атом загалом має деякий магнітний момент Pma . Такі
атоми (молекули) називаються парамагнітними, а речовини, що складаються з них -
парамагнетиками.
До парамагнетиків належать речовини, атоми яких мають незабудовану до кінця зовнішню електронну підоболонку: Mg, Al, Ca, Cr, Mn, Pt, кисень атомарний і молекулярний, солі заліза, кобальту, нікелю, рідкісноземельних елементів тощо.
За відсутності зовнішнього магнітного поля парамагнетик ненамагнічений, оскільки внаслідок теплового руху власні магнітні моменти атомів орієнтовані хаотично (J = 0).
Розглянемо, що станеться при внесенні парамагнетика в однорідне магнітне поле,
магнітна індукція якого дорівнює |
R |
|
|
||
B . |
|
|
|||
Кожен електрон атома парамагнітного тіла бере участь у двох рухах: орбітальному і |
|||||
прецесійному. |
Згідно з |
теоремою Лармора, всі магнітні моменти електронів атома і |
|||
результуючий |
магнітний |
момент |
атома прецесують навколо напрямку |
R |
з однаковою |
B |
|||||
кутовою швидкістю ωL .
129
Електромагнетизм
Тепловий рух атомів парамагнетика і їх зіткнення спричинюють поступове згасання
прецесії магнітних моментів атомів, а також зменшення кутів між напрямами |
P′ |
і B . Отже, |
|
ma |
|
незважаючи на утворюване тепловим рухом „ розкидання” атомів, цей рух водночас сприяє переважній орієнтації магнітних атомів у напрямку зовнішнього магнітного поля, оскільки
саме по собі магнітне поле може спричинювати лише процесію Pma навколо напрямку B .
Магнітний момент Pma окремого атома має величину ~ 10−23 Дж , але сукупна дія
Тл
магнітних моментів усіх атомів, що містяться в одиниці об’єму речовини приводить до ефекту намагнічування, що значно перевищує діамагнітний ефект. Тому парамагнетик намагнічується „ за полем”, тобто
R
в напрямку магнітної індукції B зовнішнього магнітного поля.
Класичну теорію парамагнетизму розвинув П. Ланжевен, який розглянув задачу про поведінку молекулярних струмів в однорідному магнітному полі.
Орієнтуюча дія магнітного поля на атом залежить від магнітного моменту атома і від
R
магнітної індукції B поля. „ Розкидаюча” дія теплового руху визначається величиною kT, пропорційною до середньої теплової енергії однієї частинки. Виявилося, що результуюча дія двох протилежних факторів залежить від відношення
α = Pma B . kT
Ланжевен знайшов залежність намагніченості J парамагнетика від параметра a :
J = nPma L(α ),
де L(α ) - класична функція Ланжавена, яка має вигляд:
|
|
|
α |
+ e |
−α |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
L(α ) = |
e |
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
− e−α |
|
|
α |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
eα |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Якщо α << 1 , то L(α ) ~ α ; якщо α >> 1 , тоді L(α ) → 1. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При T ≈ 300K |
умова α = 1 може справджуватися лише в дуже сильних магнітних |
||||||||||||||||||
полях. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У дуже сильних магнітних полях або при дуже низьких температурах, коли більша |
|||||||||||||||||||
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
частина векторів |
Pm „ орієнтована” |
вздовж |
|
напрямку |
індукції |
|
магнітного поля, |
||||||||||||
спостерігається явище насиченості: намагніченість не залежить від |
R |
|
|
||||||||||||||||
B . |
|
|
|||||||||||||||||
Далеко від області насиченості L(α ) ~ α , тоді |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
R |
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
J = |
nPma μ0 |
B = |
χ |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
3kT |
|
|
|
|
|
|
μ0 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
χ = |
nP2 μ |
0 |
. Отже χ > 0 і |
|
Магнітна сприйнятливість парамагнітних |
|
речовин |
|
ma |
|||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||
3kT
значення χ ~ 10−3 − 10−5 .
130
Електромагнетизм
Макроскопічно парамагнетизм виявляється в тому, що парамагнетики втягуються в неоднорідне магнітне поле, а в однорідному полі парамагнітний стрижень орієнтується паралельно до ліній індукції магнітного поля.
При нагріванні парамагнетика, який внесений у зовнішнє магнітне поле, тепловий рух атомів зростатиме і руйнуватиме ту орієнтацію елементарних магнітних моментів частини атомів, яка встановилася під дією зовнішнього поля. Отже, магнітна сприйнятливість парамагнетиків χ як величина, що характеризує з макроскопічного погляду магнітні властивості речовини, повинна залежати від T:
χ= C ,
T
де C = |
nμ |
P2 |
|
|
0 ma |
- стала Кюрі. |
|
|
|
||
|
3к |
||
Це співвідношення виражає закон Кюрі: магнітна сприйнятливість парамагнетика обернено пропорційна до його термодинамічної температури.
ШУБНИКОВ ЛЕВ ВАСИЛЬОВИЧ
(1901-1945)
Показав (1934 р.), що в надпровідному стані магнітна індукція металу дорівнює нулю, тобто дав прямий обґрунтований доказ ідеального діамагнетизму надпровідників.
ЛАЗАРЄВ БОРИС ГЕОРГІЙОВИЧ
(1906-2001)
Виконав в кінці 30-х років важливі експериментальні дослідження магнітних властивостей металів при низьких і особливо наднизьких температурах. Цими дослідженнями було встановлено, що періодична залежність магнітної сприятливості від зовнішнього магнітного поля є аномалією не тільки вісмуту, але й великої групи металів.
§77. Магнітне поле в речовині.
Закон повного струму для магнітного поля в речовині. Напруженість магнітного поля
При вивченні магнітного поля в речовині (магнетику) розрізняють два типи струмів: макроструми і мікроструми. Макрострумами називають електричні струми провідності, а також конвекційні струми, які зв’язані з рухом заряджених макроскопічних тіл. Мікрострумами, або молекулярними струмами, називаються струми, які обумовлені рухом електронів в атомах, іонах і молекулах.
R
Магнітне поле в речовині складається з двох полів: зовнішнього поля B0 , яке
R
створюється макрострумами, і внутрішнього поля Bвн , яке створюється молекулярними струмами.
R
Вектор B магнітної індукції результуючого магнітного поля в речовині дорівнює векторній сумі магнітних індукцій зовнішнього і внутрішнього полів:
R R R
B = B0 + Bвн .
R
Вектор B залежить від магнітних властивостей речовини.
R
Для опису поля Bвн , що створюється молекулярними струмами, розглянемо однорідний ізотропний діамагнетик у вигляді колового циліндра перерізом S і довжиною l, який внесений у однорідне зовнішнє
131
Рис. 186
Електромагнетизм
магнітне поле з індукцією B0 (рис. 186).
Внутрішнє поле, що виникає в діамагнетику, буде напрямлене протилежно зовнішньому. При цьому площини всіх молекулярних струмів розташовуються
перпендикулярно до напрямку зовнішнього поля B0 так, щоб вектори їхніх магнітних
R
моментів pm були антипаралельні до вектора B0 .
На внутрішніх ділянках будь-якого перерізу S циліндра молекулярні струми сусідніх атомів напрямлені назустріч один одному і взаємно компенсуються (рис. 186). Нескомпенсованими будуть лише молекулярні струми, які виходять на бічну поверхню
циліндра. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Струми, які проходять по бічній поверхні циліндра, подібні до струму в соленоїді. |
|||||||||||||||||||||||||
Вони утворюють всередині циліндра поле, магнітну індукцію якого Bвн |
можна обчислити за |
|||||||||||||||||||||||||
допомогою формули для магнітного поля всередині довгого соленоїда: |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
B = μ |
|
N |
I |
( 1) |
|
= μ |
|
nI ( 1) |
|
= μ |
|
I |
( n ) |
, |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
вн |
|
0 l |
мол |
|
|
0 |
|
мол |
|
0 |
|
мол |
|
|
|
||||||
де I |
( 1) |
- |
величина молекулярного струму одного кільця, |
n - |
кількість кільцевих струмів |
|||||||||||||||||||||
|
мол |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I ( 1) |
, |
що |
припадають на одиницю |
довжини |
|
циліндра, |
I (n) = nI (1) |
- величина |
||||||||||||||||||
мол |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
мол |
мол |
|
молекулярного струму одиниці довжини циліндра. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
Магнітний момент циліндра-соленоїда, об’єм якого V = lS , дорівнює |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
P = I |
(N )S = NI (n) S = nI ( 1) |
lS = I |
(n) V . |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
m |
мол |
мол |
|
|
мол |
|
|
|
мол |
|
|
|
|||||||||
|
Звідси намагніченість магнетика |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
J = |
Pm |
= I |
(n) |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
мол |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
а магнітна індукція Bвн |
дорівнює: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
B = μ |
0 |
I (n ) |
|
= μ |
0 |
J . |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
вн |
|
|
мол |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
R |
R |
мають однакові напрямки, тому |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
Вектори Bвн і |
J |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Bвн |
= μ0 J . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Закон повного струму для магнітного поля в речовині (теорема про циркуляцію |
|||||||||||||||||||||||||
вектора |
|
|
В) |
|
|
|
є |
|
|
|
|
|
|
|
|
узагальненням |
|
закону |
||||||||
повного струму для магнітного поля у вакуумі: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
де ∑ Ii
i
R R |
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
∫ (B dl )= ∫ BLdl = μ0 |
∑ Ii + ∑ I мол |
||||
L |
L |
|
i |
|
|
і ∑ I мол – відповідно, алгебраїчні суми сил макрострумів (струмів провідності) і
мікрострумів (молекулярних струмів), що охоплюються заданим контуром.
R
Обчислюючи циркуляцію вектора B в магнетиках, стикаємося з такою трудністю: для
R
того, щоб визначити циркуляцію вектора B , треба знати силу не лише макроскопічних
132
Електромагнетизм
струмів, але також і молекулярних струмів. Сила ж молекулярних струмів у свою чергу залежить від значення вектора B . Щоб обійти це затруднення, можна знайти таку допоміжну величину, циркуляція якої визначається лише силою макроскопічних струмів.
Щоб встановити вигляд цієї допоміжної величини, виразимо силу молекулярних струмів I мол через намагніченість.
Для цього розглянемо однорідний ізотропний діамагнетик, який має форму колового циліндра завдовжки l , що поміщений в зовнішнє магнітне поле (рис. 187).
Виберемо контур L у вигляді прямокутника АCDF сторони CD, DF, DA якого лежать поза магнетиком, а сторона AC паралельна до напрямку магнітного поля і вектору намагніченості J (рис. 187).
l
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
J Bвн |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
||||
|
|
|
|
F |
|
Рис. 187 |
D |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
В усіх точках контуру L, які лежать поза магнетиком |
J = 0 . У точках прямої AC |
||||||||||||||
R |
R |
|
|
|
|
|
|
= const . Тому |
|
|
|||||
вектори J і dl паралельні, причому J |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
∫ (J dl )= ∫ Jdl = Jl . |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
R |
числово дорівнює сумі молекулярних струмів, |
|
|
|||||||||||
Вектор |
J |
що припадають на одиницю |
|||||||||||||
довжини магнетика. Отже, |
Jl |
дорівнює сумі молекулярних струмів, що припадають на всю |
|||||||||||||
довжину l магнетика, тобто охоплених замкненим контуром L: |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ (J dl )= Jl = ∑ I мол . |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
Цей результат не залежить ні від форми контуру L, ні від форми і природи магнетика, |
|||||||||||||||
ні від того, однорідне магнітне поле чи ні. |
|
|
|
|
|
||||||||||
Тоді закон повного струму для магнітного поля в речовині можна записати у вигляді |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
μ0 ∑ Ii + |
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ (B dl )= |
μ0 ∫ (J dl ) |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
i |
L |
|
|
||
і |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
R R |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
B |
∑ Ii . |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
μ |
|
|
− J dl = |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
0 |
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
B |
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
Вираз |
в |
дужках |
H = |
|
− J |
і є шукана |
допоміжна |
величина, |
циркуляція якої |
||||||
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
μ0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
визначається лише макроскопічними струмами і |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ (H dl )= ∑ Ii . |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
i |
|
|
|
|
Вектор |
R |
називається напруженістю магнітного поля. |
|
|
|||||||||||
H |
|
|
|||||||||||||
Отримана |
формула |
виражає теорему про |
циркуляцію |
R |
(закон повного |
||||||||||
вектора H |
|||||||||||||||
струму для магнітного поля в середовищі):
133
Електромагнетизм
циркуляція вектора напруженості магнітного поля по деякому контуру дорівнює алгебраїчній сумі макроскопічних струмів, що охоплюються цим контуром.
Напруженість магнітного поля H є аналогом електричного зміщення D .
У вакуумі J = 0 , тому
R B R R
H = μ0 і B = μ0 H .
R
Як показують досліди, в несильних полях намагніченість J прямо пропорційна до напруженості поля H , що викликає намагнічення, тобто
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J = χH , |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
де χ - магнітна сприйнятливість речовини. Тоді |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
B |
R |
|
B |
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
H = |
− J = |
|
|
|
− χH , |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
μ0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
μ0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
звідки |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
J |
|
|
|
|
|
||||
|
H = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
μ |
0 |
(1 + χ ) |
. |
|
|
|
|
J |
н |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Безрозмірна |
|
|
|
|
величина |
μ = 1 + χ |
|
|
|
|
|
|
|
|
називається |
||||||
відносною магнітною проникністю речовини. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Оскільки |
магнітна сприйнятливість |
|
|
|
|
H н |
H |
|
діамагнетиків |
||||||||||||
χ ~ −( 10−6 ÷ 10−5 ) , |
|
то відносна |
магнітна |
|
|
|
|
проникність |
цих |
||||||||||||
|
|
|
|
|
Рис. 188 |
|
|||||||||||||||
магнетиків μ < 1 , |
а |
сприйнятливість парамагнетиків χ ~ 10−3 ÷ 10−5 , |
то |
їх |
проникність |
||||||||||||||||
незначно більша від одиниці, тобто μ > 1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Вираз |
для |
напруженості поля можна |
|
|
B |
|
записати у вигляді |
||||||||||||||
|
|
R |
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
H = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
μ μ0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Отже, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
– |
|
вектор, |
|
напруженість магнітного поля H |
|
|
|
|
|
|
це |
що |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
але в μ μ0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
має той же напрям, |
що і вектор B , |
|
|
|
|
H н |
H |
разів |
менший |
за |
|||||||||||
модулем. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 189 |
|
|
|
|
|
§78. Феромагнетики
У дев’яти чистих хімічних елементів, а саме залізі (Fe), нікелі (Ni), кобальті (Co) і
ланоганидах - гадолінію, тербію, диспрозію, гольмію, ербію (Er) і тулію (Ty) та їх численних сплавах виявлено властивість миттю намагнічуватися навіть у слабких магнітних полях. Усі вони утворюють групу сильномагнітних речовин - феромагнетиків. Феромагнетики підсилюють зовнішнє поле в сотні і тисячі разів.
Експериментальне вивчення феромагнетиків було розпочате О.Г.Столєтовим. Він дослідив залежність намагніченості заліза від напруженості магнітного поля.
На рис. 188 показано залежність намагніченості J заліза від напруженості H магнітного поля. Починаючи з деякого числового значення намагніченість залишається
134