Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Запорожский национальный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Elektrodinamika

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.02.2016

Размер:

1.66 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1010

Електромагнетизм

Величини, що входять в рівняння Максвелла, не є незалежними і між ними є такий зв’язок:

	D = εε0 E , B = μμ0 H ,		R
	D = εε0 E , B = μμ0 H ,		j = σE .
Зазначимо, що до першого та четвертого рівняння Максвелла входять лише основні
характеристики поля E і B , а в друге і третє –		лише допоміжні величини D і H .
Рівняння Максвелла несиметричні відносно полів. Це зв’язано з тим, що в природі
існують електричні заряди, а нема магнітних.
Для стаціонарних полів ( E = const i		B = const ) рівняння Максвелла мають такий
вигляд:
	R	R	R
	∫ (E ,dl )= 0 ,	∫ (D,dS )= q ,
	S	S
	R	R
	∫ (H ,dl )= I ,	∫ (B,dS )= 0 .
	L	S
В даному випадку електричні і магнітні поля існують незалежно одне від одного.
За допомогою рівняння Максвелла для електромагнітного поля можна знайти
співвідношення	між		тангенціальними	і

нормальними складовими векторів

на межі поділу

двох різнорідних

E ,

B ,

діелектриків. Якщо

на

межі

поділу

відсутні

вільні

заряди

і струми провідності,

то для

тангенціальних складових –

проекцій векторів

t = 0

E ,

D ,

B ,

H на дотичну

площину – мають місце такі співвідношення:

+ q0

= E

2τ

B1τ

μ1

1τ

B2τ

μ2

− q0

D1τ

ε1 ,

H1τ = H2τ ,

D2τ

ε 2

а для

нормальних

складових

–

проекцій

ел0

Рис. 202

векторів

E ,

D ,

B ,

H , на

спільну

нормаль

до

межі

поділу

двох

середовищ:

E1n

= ε 2 ,

= B

E2n

ε1

= D

H1n

= μ2 ,

H 2n

μ1

де ε1 , μ1 , ε 2 , μ2 - відносні діелектричні

магнітні проникності

відповідно

першого і

другого середовищ.

§86. Електричний коливальний контур. Власні електромагнітні коливання

Розглянемо електромагнітні коливання, при яких періодично змінюються електричні величини, а саме заряд, сила струму, енергія електричного і магнітного полів. Для збудження

і	підтримування
електромагнітних коливань потрібні	певні системи, найпростішою з яких є коливальний
контур — коло, що складається	з з’єднаних послідовно котушки індуктивності L,
	155

Електромагнетизм

конденсатора ємності С і резистора опором R.

Розглянемо послідовні стадії коливного процесу в ідеалізованому контурі, опір якого

малий (R = 0) .	Для збудження коливань в контурі конденсатор попередньо заряджають,
надаючи його	обкладкам	заряди	± q0 (рис. 202). Тоді в початковий	момент t = 0 між
обкладками конденсатора		виникає	електричне поле, енергія якого W		=	1	q2 . Якщо

			ел0			2C 0

замкнути конденсатор на котушку, то він почне розряджатися і в контурі потече струм І, який з часом зростає. Цей струм створить в котушці магнітне поле , що також зростає і в свою чергу викличе появу в котушці ЕРС самоіндукції. Під дією ЕРС самоіндукції виникає індукційний струм, який сповільнює наростання струму розрядки. Оскільки швидкість зміни струму розрядки конденсатора зменшується, то зменшується ЕРС самоіндукції і струм розрядки наростає. В результаті енергія електричного поля буде зменшуватися, а магнітного поля котушки - зростати. Оскільки (R = 0) , то згідно із законом збереження енергії повна енергія

	1		2		1	dq	2
W =		q		+		L	= const .

	2C	0			2	dt 0

Тому в момент t = 1 T , коли конденсатор розрядиться, (рис. 203), енергія

електричного поля дорівнює нулю, а енергія магнітного поля і струм досягають

максимального значення, відповідно Wмаг0

I0 . З цього моменту струм в контурі починає

t =

зменшуватися і почне зменшуватися магнітне поле котушки, і в ній

індукується струм, який

тече в

тому самому напрямку, що і струм

розрядки конденсатора.

Конденсатор почне перезаряджатися, виникне електричне поле,

що прагне зменшити струм, який зрештою буде дорівнювати нулю, а

заряд на обкладках конденсатора досягне

максимуму. Далі ті самі

Wмаг0 =

dq 2

процеси почнуть протікати в зворотному напрямку (рис. 204) і система

прийде у початковий стан.

dt 0

Рис. 203

t =

− q0

dq 2

Wмаг0 =

ел0

Рис. 204

dt 0

Після цього почнеться повторення розглянутого циклу розряджання і заряджання конденсатора. Якщо би втрати енергії не було, то в контурі здійснювались би періодичні незгасаючі коливання.

В контурі виникають коливання, які супроводжуються перетвореннями енергії

156

Електромагнетизм

електричного і магнітного полів. Такі коливання називаються електромагнітними.

Згідно з другим правилом Кірхгофа для довільного контуру, що містить котушку індуктивністю L , конденсатор ємністю C і резистор опором R , IR + U = εc , де IR - спад

напруги на резисторі, U =

– напруга на конденсаторі, εc = −L

– ЕРС самоіндукції,

отже,

+ IR +

= 0 .

Оскільки

I =

d 2q

, то

dt 2

d 2 q

q = 0 .

dt 2

L dt

Якщо зовнішні ЕРС відсутні, то коливання будуть вільні. А якщо R = 0 , то вільні коливання в контурі будуть гармонічними. Диференціальне рівняння вільних гармонічних коливань заряду q в контурі:

d 2q

q = 0 ,

d 2q

+ ω2q = 0

dt2

де ω0

– власна частота контуру.

Звідси

q = q0 cos(ω0t + ϕ0 ),

де q0

- амплітуда коливань заряду конденсатора з циклічною частотою ω0 .

Період власних коливань, які виникають в контурі,

T =

2π

= 2π

Це співвідношення називають формулою Томсона.

Сила струму в коливальному контурі змінюється за законом

i = −q0ω sin(ω0t + ϕ0 ) = I0		ω0t + ϕ0	+	π
i = −q0ω sin(ω0t + ϕ0 ) = I0	cos	ω0t + ϕ0	+	,
				2

де I0 = ω0 q0 - амплітуда сили струму.

Упродовж першої половини періоду струм іде в одному напрямку, а протягом другої половини – в протилежному.

Напруга на конденсаторі

			U =	q	=	q0	cos(ω0t + ϕ0 ) = U	0 cos(ω0t + ϕ0 ),

				C C
де U0	=	q0	- амплітуда напруги.

		C
	157

Електромагнетизм

Коливання струму і випереджують за фазою коливання заряду q на π , тобто коли

струм досягає максимального значення, заряд і напруга дорівнюють нулю і навпаки. Оскільки

і I

= ω q =

, то

= I0

Величину

називають хвильовим опором контуру.

§87. Основні властивості електромагнітних хвиль

Згідно з теорією Максвелла змінне електричне і магнітне поле тісно взаємозв’язане, вони утворюють єдине електромагнітне поле.

Джерелами електромагнітного поля служать різні змінні струми: змінний струм у провідниках, коливальний рух іонів, електронів й інших заряджених частинок.

Простою системою, яка еквівалентна змінному струму, є електричний диполь з моментом, що гармонічно змінюється. В початковий момент заряди + q і − q такого диполя суміщені один з одним і тому електричний момент p = 0 (рис. 205).

	+		–
±	R		R	±
±	l	M	l	±
	–		+
p = 0 p = ql		p = 0 p = -ql		p = 0

Рис. 205

Через чверть періоду заряди розходяться на максимальну відстань l , момент диполя

максимальний і p = ql . Через півперіод заряди знову сходяться (p = 0), а потім через t = 3 T 4

розходяться в протилежні сторони на відстань l і p = −ql . Потім процес періодично повторюється.

Змінне електричне поле, яке виникає під час руху зарядів, породжує змінне магнітне поле, а змінне магнітне поле створює змінне електричне поле. Ці вторинні змінні поля мають вихровий характер. Отже, у просторі, який оточує заряди, виникає послідовність взаємних перетворень електричних і магнітних полів, що поширюються від точки до точки. Цей процес буде періодичним у часі і просторі і, отже, є хвилею.

Електромагнітні хвилі – це сукупність електричного та магнітного полів,

напруженості яких змінюються з часом за періодичним законом і які поширюються в просторі з конечною швидкістю окремо від зарядів.

Джерелом електромагнітних хвиль може бути і коливальний контур. Щоб випромінювання відігравало помітну роль, необхідно здійснити перехід від закритого

158

Електромагнетизм

коливального контуру, в якому електричне поле зосереджене між обкладками конденсатора, а магнітне - всередині котушки індуктивності, до відкритого коливального контуру (вібратор Герца), що має вигляд двох стрижнів, розділених іскровими проміжками. У відкритому контурі змінне електричне поле заповнює простір, що оточує контур, що істотно підвищує інтенсивність електромагнітного випромінювання.

З рівнянь Максвелла

		R	R				R	R
R R		∂D	R		∫	R	∂B	R
		∂t		,			∂t
∫ (H dl )= ∫		∂t	dS	,		(E dl )= −∫	∂t	dS
L	S				L	S

можна отримати рівняння плоскої електромагнітної хвилі.

Припустимо, що в тому місці, де збуджується електромагнітне поле, вектор E весь

час залишається паралельним до координатної осі 0Z , тоді E = Ez , Ex = Ey = 0 , а вектор H

паралельний до координатної осі OY і H = H y , H x = H z = 0 .

Оскільки в рівняннях Максвелла контури L можуть бути довільної форми і розмірів,

то для першого з рівнянь виберемо елементарний контур Oabc ,

що лежить в площині XOY ,

а для другого –

контур Odef , що лежить в площині XOZ (рис. 206).

Вектори

є функціями координат і часу,

тому їх значення в різних місцях

і H

контурів будуть різними. Наприклад,

якщо в точці O вектор

має значення Ez , то в точці

a з координатою dx його значення дорівнюватиме:

+ ∂Eх dx ,

∂x

де частинна похідна ∂Ex

характеризує швидкість зміни Ez в напрямку осі OX .

∂x

H y

∂H y

∂y

∂x

H y +

∂H y

dx +

∂H y

∂x

∂y

∂Ez

Ez +

∂Ez dx +

∂Ez dz

Ez +

∂x

∂z

Ez + ∂Ez dx

H y

∂x

Рис. 206

Розрахуємо

∫ (H dl ).

На

ділянках

Oа і

bс

добуток

Hdl = 0 , оскільки вектор H

159

Електромагнетизм

перпендикулярний до Oа і bс. Для ділянок аb і Oс помножимо довжину кожної з цих ділянок dy на середнє значення вектора H в межах цих ділянок; оскільки на ділянці cO вектор H напрямлений проти обходу, то отримаємо

∂H

H y +

∂x

∂H y

H y +

∂x

∂y

dy dy −

	1		∂H y			∂D	z
−		H y +		dy	+ H y dy =		z	dxdy ,
−		H y +		dy	+ H y dy =			dxdy ,
	2		∂y			∂t
	2		∂y			∂t

де dxdy – площа, яка охоплена контуром.

Тоді

H ydy +

∂H y

dxdy +

1 ∂H y

dydy − H ydy −

∂x

∂y

−

1 ∂H y

dydy =

∂D

z dxdy .

∂y

∂t

Звідси

∂H y

∂D

z = ε0ε

∂E

z .

∂x

∂t

Аналогічний розрахунок для другого рівняння і контуру Odef

дає такий результат

∂E

∂By

= μ0 μ

∂H y

∂t

∂x

Розрахуємо частинні похідні

за

часом

від

∂H y

за координатою x від

∂E

z ,

∂x

∂t

вважаючи ε і μ сталими величинами.

∂2 H y

ε0ε

∂2 E

z ,

∂2 E

= μ0

∂2 H y

∂x∂t

∂t 2

∂x∂t

∂x2

Звідси отримуємо хвильове рівняння для Ez :

∂2 Ez

= ε0

μ0εμ

∂2 Ez .

∂x2

∂t 2

Аналогічно, беручи частинні похідні по координаті

x від

∂H y

і по часу від

∂E

z ,

∂x

отримуємо хвильове рівняння для H y :

∂

2 H

= ε0

μ0εμ

∂

2 H

∂x2

∂t 2

Отже, змінне електромагнітне поле поширюється в просторі у вигляді електромагнітної хвилі.

Фазова швидкість електромагнітних хвиль визначається виразом

160

Електромагнетизм

υ =

με

μ0ε0

με

де c =

- електродинамічна стала.

0 μ0

Для вакууму μ = ε = 1

і υ = c .

Оскільки εμ > 1 , то швидкість поширення електромагнітних хвиль у речовині завжди

менша, ніж у вакуумі.

Величина c = 3 ×108 м

і збігається

зі швидкістю світла

вакуумі. Це привело

Максвелла до думки про електромагнітну природу світла.

З рівнянь Максвелла випливає висновок про те, що вектори

і H електромагнітної

хвилі завжди взаємно перпендикулярні. Крім того, вони лежать у площині, перпендикулярній до напрямку поширення хвилі, тобто до вектора швидкості хвилі. Отже,

електромагнітні хвилі є поперечними.

Взаємна орієнтація

трійки векторів

E ,

H ,

задовольняє таке правило: з кінця вектора υ

обертання від

E до

H вздовж найкоротшої

дуги виглядає таким, що відбувається проти руху стрілки годинника (рис. 207).

Рис. 207

Інакше кажучи, вектор υ за напрямком збігається з векторним добутком

E та H :

R R

[E H ].

Розв’язками отриманих хвильових рівнянь є функції

Ez = E0 cos(ωt - кx +ϕ01 ),

H y = H0 cos(ωt − кx + ϕ02 ),

де ω - циклічна частота хвилі,

к - хвильове число,

яке дорівнює

ω , ϕ01 , ϕ02 -

початкові

фази коливань в точках з координатою x = 0 .

Підставимо ці функції в рівняння

¶E

= μ0 μ

∂H y

= ε0ε

¶E

z .

¶t

¶x

¶t

В результаті

E0 к sin(ωt - кx +ϕ01 ) =

= -μ0 μH0ω sin(ωt - кx +ϕ02 ),

H0 к sin(ωt - кx +ϕ02 ) =

= -ε0εE0ω sin(ωt - кx +ϕ01 ).

Для того, щоб ці рівняння задовольнялись, необхідним є рівність початкових фаз ϕ01 і

161

Електромагнетизм

ϕ02 і повинні виконуватися співвідношення

кE0 = −μ0 μωH0 , − ε0εωE0 = −кH0 .

Перемножимо обидві частини цих виразів, в результаті отримаємо:


− кωε	0	εE 2	= −кωμ	0	μH 2		і	ε εE2		= μ μH 2 .
		0				0		0 0		0	0
Отже, коливання електричного і магнітного									векторів		у електромагнітній хвилі
відбувається з однаковою фазою			(ϕ01 = ϕ02 )			–	вони		одночасно досягають максимальних

значень і одночасно перетворюються в нуль, а амплітуди цих векторів зв’язані співвідношенням

ε0ε

= H0

μ0 μ

Рівняння плоскої електромагнітної хвилі у векторній формі має вигляд

R R

E = E0 cos(ωt − кx), H

= H0 cos(ωt − кx).

Косинусоїдальна або синусоїдальна електромагнітна хвиля називається

монохроматичною хвилею.

В кожній точці електромагнітного поля монохроматичної хвилі проекції векторів E

на осі координат

інерціальної

системи відліку здійснюють гармонічні коливання

та H

однакової частоти ν =

, яка називається частотою хвилі.

2π

На рис. 208 наведені вектори E

і H поля плоскої монохроматичної хвилі в один і той

змінюються з часом за

самий момент часу. У фіксованій точці простору вектори E

і H

гармонічним законом.

Рис. 208

Вони одночасно збільшуються від нуля,

потім через

досягають найбільшого

значення. Ще через

обидва вектори одночасно дорівнюють нулю. Потім знову обидва

вектори досягають максимального значення, але протилежного за напрямком, ніж півперіоду тому. І через час, який дорівнює періоду коливання векторів, знову стають нульовими. Така

R R

зміна векторів E і H відбувається у всіх точках простору, але зі зсувом за фазою, що визначається відстанню між точками, яка відрахована вздовж осі OX.

Площина, яка проходить через вектор E і вектор швидкості υ , називається

площиною поляризації хвилі.

Довжина λ , період Т, частота ν і швидкість поширення електромагнітної хвилі

162

Електромагнетизм

зв’язані між собою співвідношеннями

λ = υT = νυ .

§88. Енергія електромагнітних хвиль. Потік енергії. Вектор Пойнтінга

Електромагнітне поле має енергію. Тому поширення електромагнітних хвиль пов’язане з перенесенням енергії в полі, подібно до того, як поширення пружних хвиль у речовині пов’язане з перенесенням механічної енергії.

Об’ємна густина енергії електромагнітної хвилі складається з об’ємних густин і електричного, і магнітних полів:

w = wел + wм = εε0 Е2 + μμ0 H 2 .

2 2

Враховуючи вираз

εε0 E 2 = μμ0 H 2 ,

отримаємо, що густина енергії електричного і магнітного полів в кожен момент часу однакова, тобто wел = wм . Тому

w = 2wел = εε0 E 2 = εε0 μμ0 EH = υ1 EH .

У випадку плоскої лінійно-поляризованої монохроматичної хвилі, що поширюється вздовж додатного напрямку осі ОХ, напруженість поля

E = E0 cos(ωt − kx) .

Відповідно об’ємна густина енергії цієї хвилі w = εε0 E02 cos2 (ωt − kx). Значення w в

кожній точці поля періодично змінюється з частотою ωπ в границях від 0 до wмакс = εε0 E02 .

Середнє значення w за період пропорційне до квадрата амплітуди напруженості поля:

π	π ω				< cos2 (кω − кх) >=
π	∫	wdt =εε
< w >= ω		wdt =εε	0	E 2
			0	0
	0

=1 εε0 E02 .

Помноживши густину енергії w на швидкість υ поширення хвилі в середовищі, отримуємо модуль густини потоку енергії.

Модуль

густини

потоку

енергії

числово дорівнює енергії, яку переносить хвиля за одиницю часу через одиницю площі

поверхні, що розміщена перпендикулярно до напрямку поширення хвилі:

P = wυ = EH .

R R

Оскільки вектори E і H взаємно перпендикулярні і утворюють з напрямком

поширення хвилі правогвинтову систему, то напрямок вектора [V R ] збігається з напрямком

переносу енергій, а модуль цього вектора дорівнює EH. Отже, вектор густини потоку енергії

163

Електромагнетизм

електромагнітної хвилі, який називається вектором Пойнтінга, дорівнює: P = [E H ].

Потік Ф електромагнітної енергії через деяку поверхню S можна знайти за допомогою інтегрування:

Ф = ∫ (P dS ).

Інтенсивність електромагнітної хвилі I дорівнює модулю середнього значення вектора Пойнтінга за проміжок часу, який дорівнює періоду Т повного коливання:

	R		R R		1	T	R R
I =	< P >	=	< EH >	=	1	∫ [EH ]dt		.
I =	< P >	=	< EH >	=	T	∫ [EH ]dt		.
					T	0
						0

Інтенсивність біжучої монохроматичної хвилі I =< w > υ .

Інтенсивність плоскої лінійно поляризованої монохроматичної біжучої хвилі прямо

пропорційна до квадрата амплітуди E0 коливань вектора E поля хвилі:

I =	1		εε0	E 2 .

2			μμ0
		0

164

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1010

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
27.10.2018838.14 Кб18Ekzamen_po_UP_2011_106_voprosov.doc
#
01.05.202578.93 Кб0EKZAMEN_SOTsIOLOGII.docx
#
01.05.2025116.2 Кб0ekzamen_s_finansovogo_prava.docx
#
01.03.2025142.42 Кб0Ekzamen_vidpovidi_teor_derzh.docx
#
20.09.2019568.58 Кб4ekz_market.docx
#
07.02.20161.66 Mб14Elektrodinamika.pdf
#
01.03.2025121.86 Кб1ELHLecture1-2-3-4-5.doc
#
01.05.2025172.54 Кб1engl.doc
#
07.02.201617.57 Кб26ENGLISH_LEXICOGRAPHy_new.docx
#
01.04.202597.79 Кб0enop 19 - 24.doc
#
05.09.201970.66 Кб3esse.doc