Завдання для самостійного розвязування

1. З’ясуйте, які з наведених нижче відображень , де– простір вільних векторів, є лінійними операторами. Знайдіть матриці лінійних операторів в базисі():

   1) ;	6) , де;
   2) ;	7) ;
   3) ;	8) ;
   4) , де– деякий вектор;	9) ;
   5) , де– деякі вектори;	10) .

2. Укажіть, які з наведених перетворень простору є лінійними операторами, знайдіть їх матриці в базисі:

1) ;

2) ;

3) , де– фіксовані числа,;

4) – оператор диференціювання.

3. Перевірте, чи є оператори лінійними, якщо так, то знайдіть їх матриці в базисі длятадля:

1) оператор осьової симетрії відносно осів площині, якщо вісьнахилена допід кутом;

2) оператор ортогонального проектування площини на дану пряму, що нахилена допід кутом;

3) оператор симетрії просторувідносно площини, що проходить через початок координат ортогонально вектору;

4) оператор проектування простору на вісь векторапаралельно координатній площині векторів.

4. З’ясуйте, які з перетворень тривимірного простору є лінійними операторами, знайдіть матриці лінійних операторів в тому ж базисі, в якому задані координати векторівта, якщо:

   1) ;	5) ;
   2) ;	6) ;
   3) ;	7) ;
   4) ;	8) .

5. Нехай – довільний вектор,– фіксований ненульовий вектор геометричного векторного простору (двовимірного або тривимірного). Перевірте на лінійність перетворення, заданого наступною формулою, та зясуйте його геометричний зміст, якщо:

1) ; 2); 3).

6. Лінійний оператор заданий в базисіматрицею. Знайдіть його матрицю в базисі.

7. Лінійний оператор заданий в базисіматрицею. Знайдіть його матрицю в базисі .

8. Лінійний оператор заданий в базисі матрицею . Знайдіть його матрицю в базисі.

9. В базисі простору матриць другого порядку лінійний оператор заданий матрицею. Знайдіть матрицю цього оператора в базисі.

10. В базисі просторуоператорзаданий матрицею. Знайдіть матрицю цього оператора в базисі:

1) ;

2) .

11. Лінійний оператор в базисізаданий матрицею, а лінійний операторв базисі – матрицею . Знайдіть матрицю операторав базисі.

12. Знайдіть образ та ядро лінійного оператора дійсного лінійного просторувільних векторів, якщо:

1) ; 2), де– задані ненульові вектори.

13. Для вказаних операторів простору знайдіть ранг, дефект, а також побудуйте базис образу та ядра. Кожен оператор задається своєю дією на довільному векторі:

1) ;

2) ;

3) .

14. Знайдіть базис образу та базис ядра лінійного оператора простору, заданого у деякому базисі матрицею:

    1) ;	3) ;	5) ;
    2) ;	4) ;	6) .

15. Знайдіть власні значення та власні вектори лінійних операторів, що задані у деякому базисі лінійного простору: а) над ; б) над; в) над:

    1) ;	5) ;	9) ;
    2) ;	6) ;	10) ;
    3) ;	7) ;	11) ;
    4) ;	8) ;	12) .

16. З’ясуйте, які з матриць лінійних операторів у просторі надможна звести до діагонального виду шляхом переходу до нового базису. Знайдіть цей базис та відповідну йому матрицю:

    1) ;	3) ;	5) ;
    2) ;	4) ;	6) .

17. Знайдіть всі підпростори тривимірного простору, які є інваріантними відносно лінійного оператору, заданого матрицею:

    1) ;

    2) ;

    3) ;

    4) .

18. Знайдіть канонічний базис відносно нильпотентного оператору та його матрицю у цьому базисі, якщо оператор заданий матрицею у деякому базисі:

    1);

    2);

    3);

    4).

19. Знайдіть жорданову форму, мінімальний многочлен, систему елементарних дільників, а також форму Фробеніуса матриці:

    1) ;

    2) ;

    3) .

20. Знайдіть жорданову форму матриці:

    1);

    2) ;

    3);

    4) .

21. З’ясуйте, чи подібні матриці:

1) та;

2) та;

3) та.