Питання для самоперевірки
Сформулюйте постановку задачі, опишіть метод розв’язання, оцініть похибку методу.
Які умови збіжності ітерацій до точного розв’язку є достатніми?
В чому полягає умова закінчення ітераційного процесу?
2.2. Метод Зейделя
Метод Зейделя являє собою
певну модифікацію методу простої
ітерації. Основна його ідея полягає в
тому, що при обчисленні
-го
наближення невідомої
враховуються вже обчислені раніше
-і
наближення невідомих
.
Нехай дано зведену лінійну систему
,
.
Оберемо довільно початкові
наближення коренів
.
Далі, припускаючи, що
-і
наближення
коренів відомі, згідно Зейделю будемо
будувати
-і
наближення за наступними формулами:
,
.
(1)
Достатня умова збіжності, сформульована для методу простої ітерації, залишається вірною і для ітерацій за методом Зейделя.
Блок-схему методу наведено на рис. 8. У блок-схемі: n – кількість рівнянь; bi – елементи вектора вільних членів; aij – елементи матриці постійних коефіцієнтів; ε – точність обчислень; x0i – елементи вектора невідомих на попередній ітерації; xi – елементи вектора невідомих на теперішній ітерації; iter – номер ітерації.
Розглянемо
розв’язання попереднього прикладу
методом Зейделя. Система була зведена
до вигляду
Узявши, як і раніше, за початкове наближення стовпець вільних членів, тобто
згідно методу Зейделя, одержимо перші наближення коренів
Виконуючи аналогічним чином наступні ітерації і зводячи результати обчислень у таблицю, одержимо
|
|
|
|
|
|
|
0 1 2 3 4 5 6 |
-0,4 -0,258 -0,308 -0,329 -0,332 -0,333 -0,333 |
0,2 0,332 0,423 0,440 0,443 0,444 0,444 |
-0,4 -0,807 -0,870 -0,884 -0,888 -0,889 -0,889 |
-1,111 -1,197 -1,214 -1,221 -1,222 -1,222 -1,222 |
Як бачимо з таблиці, ми прийшли
до тих же значень коренів
,
;
;
,
виконавши при цьому на три ітерації
менше, ніж при розв’язанні цієї системи
методом простої ітерації.
Завдання до лабораторної роботи № 5
Методом простої ітерації з точністю до двох знаків після коми розв’яжіть систему лінійних алгебраїчних рівнянь
,
Варіанти завдань
|
№ варі- анта
|
Матриця коефіцієнтів
системи
|
Стовпець вільних
членів
| |||||
|
1
|
2,1 0,0 5,2 -0,6 1,3 0,4 |
0,3 2,2 -1,0 1,5 0,2 0,0 |
4,4 -3,4 0,4 3,2 0,0 -2,7 |
-0,1 0,3 0,7 -2,1 0,8 1,4 |
1,4 -0,8 1,1 1,6 6,1 -1,8 |
0,0 1,4 -0,1 0,6 -1,4 3,1 |
-2,25 4,07 3,69 -8,02 -16,33 18,06 |
|
2
|
3,3 -0,1 -2,1 0,4 4,7 0,0 |
4,2 7,2 3,0 0,0 -0,6 0,2 |
0,7 1,8 -0,6 1,9 3,3 -1,6 |
5,4 -2,3 -3,4 6,1 7,1 2,4 |
2,1 1,1 -0,5 -0,8 1,9 0,7 |
1,6 0,3 0,0 -2,1 -4,6 5,7 |
24,87 7,81 0,20 11,00 0,12 22,04 |
|
3
|
0,4 4,8 -2,1 0,6 6,3 4,2 |
7,6 -5,2 3,3 2,4 -0,4 -1,7 |
2,0 -2,3 -0,4 -1,7 1,4 6,9 |
-0,3 1,6 3,4 3,0 0,8 0,0 |
1,8 0,8 -0,5 -8,0 0,0 1,1 |
2,1 -3,5 0,0 1,1 1,0 9,2 |
29,95 -20,33 2,11 -1,91 7,01 17,25 |
|
4
|
1,7 1,2 -0,1 2,1 8,4 1,6 |
-3,1 -1,0 7,2 1,3 -1,6 8,7 |
2,2 0,7 4,8 -5,2 0,0 -0,2 |
0,6 -0,9 2,3 1,4 0,7 0,8 |
1,8 0,0 5,1 3,3 -1,8 -2,0 |
-0,1 5,9 3,3 4,6 1,2 1,1 |
2,68 -6,17 -35,57 -25,65 8,50 -14,46 |
|
5
|
-1,1 -2,7 8,8 2,1 0,3 2,3 |
-0,8 1,9 -1,5 3,6 7,4 -2,0 |
0,1 -5,9 0,3 -1,5 -1,9 3,9 |
0,6 1,3 -0,7 -2,1 1,1 4,2 |
5,7 -2,2 1,2 0,0 0,9 0,2 |
2,0 1,0 -2,1 4,6 0,2 -1,9 |
11,83 16,24 18,64 -37,76 -7,90 -8,78 |
|
6 |
3,4 2,2 4,4 -1,3 -2,5 0,1 |
-1,0 0,6 -2,9 -0,8 5,8 0,3 |
2,2 6,8 -1,5 0,1 1,1 -1,0 |
1,0 0,0 -0,7 0,6 3,1 5,4 |
4,8 -0,1 1,3 2,0 0,0 -1,9 |
1,4 -0,4 0,8 5,7 2,4 0,1 |
20,16 -1,58 15,62 -0,39 -11,95 -12,82 |
|
7 |
2,2 -2,1 0,0 4,9 -0,4 -2,9 |
-0,4 3,6 0,2 -1,9 2,1 4,0 |
0,6 4,7 -1,0 -2,7 2,0 1,1 |
5,2 -1,3 0,0 1,2 -0,3 -1,6 |
-1,2 -2,8 6,8 0,3 1,8 3,7 |
0,1 2,0 1,4 -1,0 7,6 -1,1 |
9,43 7,77 -6,20 10,28 16,05 -9,78 |
|
8
|
3,4 -2,3 7,9 2,2 1,4 3,2 |
1,6 0,1 -0,3 -1,0 8,9 -2,0 |
2,2 6,6 1,3 3,0 -0,1 1,7 |
-1,2 -0,4 -0,1 -1,2 0,0 4,1 |
4,2 0,0 1,8 3,4 -1,1 -1,9 |
-2,1 1,2 0,1 5,8 -0,7 0,4 |
20,72 6,52 13,20 5,70 -4,31 0,23 |
|
9 |
2,2 2,6 6,3 -3,1 -0,4 3,3 |
-0,1 0,0 0,1 2,4 7,9 -1,9 |
-0,3 4,1 -2,7 1,4 2,0 -2,1 |
0,2 -1,2 0,2 2,1 -0,2 4,8 |
5,3 2,1 -1,3 0,5 -1,7 0,0 |
-1,7 -0,1 -0,5 3,7 1,9 1,7 |
-6,11 -18,21 -2,48 13,14 21,60 2,68 |
|
10 |
-3,9 0,4 4,6 0,1 2,2 -1,3 |
2,3 -1,6 0,7 1,3 5,2 1,8 |
0,0 5,3 2,1 1,6 0,9 -0,2 |
-1,5 1,0 -1,4 -2,1 -1,1 8,6 |
3,8 -0,2 2,7 0,2 -2,1 -2,2 |
-4,1 -0,1 -3,6 6,7 1,2 0,0 |
15,40 2,83 35,68 -10,10 -0,95 -29,34 |
|
11 |
0,1 -2,3 6,8 -2,7 -1,0 3,3 |
0,0 3,6 0,1 1,4 8,1 -1,8 |
0,9 4,3 -1,1 2,0 0,0 2,2 |
-1,1 2,4 -1,4 0,0 1,2 4,4 |
6,2 0,3 2,0 -3,4 -0,1 2,1 |
0,6 -1,2 -0,8 4,3 0,4 0,0 |
-2,06 2,86 16,15 -6,29 -10,12 34,53 |
|
12 |
0,3 1,3 5,7 2,7 0,1 -4,7 |
-0,9 0,8 -1,5 3,2 6,8 2,4 |
0,0 4,1 -0,4 -2,0 1,2 -3,9 |
1,1 2,5 1,2 1,3 -2,0 -3,9 |
6,3 -3,0 0,0 -3,6 -0,8 0,4 |
-3,0 -1,7 0,6 4,9 1,2 2,1 |
-18,47 -11,85 0,69 33,99 14,64 24,29 |
|
13 |
0,4 1,7 -2,0 3,1 -0,9 4,5 |
0,6 -2,2 -1,1 -2,4 6,8 2,4 |
2,2 4,1 0,0 -3,8 1,6 -2,0 |
5,4 -3,2 0,2 2,0 -0,2 3,9 |
-1,2 1,9 6,8 0,0 1,2 -1,1 |
-0,1 2,1 1,2 4,6 -1,0 4,1 |
-26,32 13,22 23,50 -20,28 13,06 -29,17 |
|
14 |
-3,5 -2,4 3,9 0,1 -0,9 1,4 |
-1,3 1,0 1,5 7,1 6,8 -0,6 |
-2,2 0,1 2,6 0,7 1,6 -8,8 |
1,4 6,9 -1,2 -1,1 -0,2 2,1 |
3,6 1,6 1,0 -1,9 1,2 -0,6 |
0,4 0,0 -4,8 1,6 -1,0 2,8 |
-22,69 -13,35 11,33 -17,57 -23,88 -30,08 |
|
15 |
2,1 -2,2 0,1 2,4 -0,7 7,5 |
0,4 -3,1 -1,4 -3,4 2,9 0,4 |
7,7 0,8 -1,8 1,1 4,6 -2,0 |
-1,9 4,2 2,0 -4,1 3,2 0,9 |
0,4 -3,8 0,0 0,9 1,6 -1,1 |
-1,7 1,2 6,6 2,1 -0,8 0,1 |
-19,76 -15,45 1,03 -20,28 3,86 14,59 |
|
16 |
4,9 1,3 -2,7 0,2 1,0 9,1 |
-2,7 -0,8 1,4 7,0 -2,1 -0,5 |
0,9 -2,0 3,3 -1,5 3,6 1,2 |
1,4 1,2 -2,5 -0,1 4,4 -2,4 |
-3,5 6,8 0,0 -2,3 0,9 0,0 |
0,0 0,1 -0,8 1,0 2,5 -0,6 |
-29,45 3,41 20,11 -7,93 -21,21 -28,18 |
|
17 |
0,1 -3,4 0,3 1,9 -0,8 -1,7 |
0,0 1,2 0,0 -4,1 1,1 0,4 |
0,9 -2,7 8,1 0,0 -2,8 -1,9 |
-1,1 4,8 1,5 -2,0 -1,4 7,7 |
6,0 -3,9 -1,0 3,7 0,1 0,4 |
2,3 0,9 -0,7 0,9 2,2 2,1 |
3,13 -4,70 -9,75 13,91 2,47 6,41 |
|
18 |
1,2 -3,7 0,9 -1,6 4,8 7,5 |
0,0 1,3 1,5 -2,4 -1,9 0,4 |
-0,4 2,8 0,6 -3,7 1,8 -2,0 |
6,6 -1,7 -1,2 4,1 -0,2 0,9 |
0,1 -4,2 1,0 0,0 -3,5 -1,1 |
-2,5 0,0 6,8 2,9 0,0 0,1 |
16,04 19,46 25,20 9,52 11,16 33,70 |
|
19 |
-3,7 0,4 1,9 -7,8 0,4 2,3 |
0,9 0,6 -2,3 -0,3 -0,2 1,7 |
4,1 2,2 -3,5 -1,9 1,1 0,9 |
-2,2 5,4 2,0 0,4 -0,6 3,4 |
1,9 -1,2 0,4 1,7 2,3 -4,4 |
0,0 -0,1 -4,2 2,2 5,7 -1,9 |
21,55 -22,09 2,71 12,63 -4,15 -27,60 |
|
20 |
1,2 -3,9 0,0 2,4 -4,1 0,0 |
0,0 2,6 -0,9 0,8 3,7 1,9 |
-0,4 4,1 6,1 -2,9 2,5 0,1 |
6,6 -0,8 0,7 3,3 -1,1 -1,3 |
0,1 2,4 -1,0 0,9 2,2 0,2 |
-2,5 1,6 1,2 -1,6 3,0 7,8 |
-10,39 12,90 -10,26 4,21 -3,00 -15,20 |
|
21 |
1,7 -0,7 2,8 -0,1 7,9 1,8 |
-0,8 -1,1 1,4 5,2 0,4 -2,4 |
-2,1 0,0 -1,0 -1,2 -0,2 3,5 |
1,1 0,3 -2,6 2,2 0,0 -1,1 |
0,4 8,1 -0,7 0,6 -1,0 0,8 |
0,0 1,3 3,1 -0,4 1,2 2,7 |
14,51 20,69 1,51 -8,76 3,98 -5,78 |
|
22 |
1,9 -0,9 2,1 -4,6 1,5 -0,5 |
-1,7 0,0 3,3 -2,8 0,6 0,3 |
0,3 6,8 -4,0 1,3 2,2 1,3 |
2,1 -2,1 1,7 3,5 -0,4 2,9 |
-7,9 -0,9 1,1 0,9 1,8 0,1 |
-0,4 1,3 2,4 0,0 -2,3 6,2 |
16,42 0,66 8,48 24,85 -14,05 35,58 |
|
23 |
1,8 -2,1 0,9 -4,4 5,8 0,0 |
-5,2 1,7 -1,4 2,9 0,5 2,2 |
0,2 -1,6 0,2 -3,5 -2,4 -1,2 |
-0,4 2,8 -2,1 1,9 0,3 8,0 |
0,0 -3,4 1,8 2,4 1,4 -0,1 |
2,2 0,0 -3,4 1,6 -0,1 1,7 |
-1,16 -25,32 11,05 -14,78 25,47 -9,90 |
|
24 |
-2,6 1,4 -0,1 0,0 3,6 0,4 |
1,7 -3,2 0,2 2,1 -4,1 -0,1 |
0,4 -2,9 -1,0 8,4 0,7 -1,1 |
-2,3 0,7 5,2 -0,2 2,4 0,0 |
3,1 -1,8 -0,8 1,6 1,9 8,0 |
0,0 2,2 1,4 -1,3 -3,2 1,2 |
-23,91 16,04 9,91 1,18 45,77 -1,15 |
|
25 |
-1,2 -0,8 4,5 2,6 6,7 -1,5 |
5,7 1,9 -3,4 1,8 -0,1 2,0 |
-0,5 -1,4 1,9 -2,1 -1,2 0,8 |
0,2 1,1 -2,8 0,9 1,7 0,0 |
-0,1 0,0 3,7 -1,1 0,5 -2,3 |
-0,9 6,6 0,0 -0,6 0,0 1,9 |
11,76 43,81 -29,38 13,52 11,10 11,96 |
|
26 |
-0,2 4,6 1,1 0,0 0,4 -2,8 |
0,3 -3,0 2,9 2,1 -0,1 1,5 |
2,4 -2,7 0,8 8,4 1,2 -3,1 |
5,3 0,0 -3,1 0,2 0,0 -2,2 |
1,6 -1,9 0,7 -1,8 8,1 0,0 |
-0,3 3,5 -2,3 1,3 -1,0 3,3 |
-11,76 -4,58 7,68 -3,34 30,76 20,42 |
|
27 |
1,9 0,6 -0,8 2,4 -1,1 6,3 |
-4,6 6,0 2,0 -3,9 0,0 -1,4 |
0,0 -0,4 -1,4 1,6 0,5 0,0 |
3,8 -1,1 -0,1 4,1 1,7 2,0 |
-2,4 0,9 1,1 -2,7 0,8 0,4 |
1,2 0,0 6,8 -1,0 0,0 -0,7 |
10,07 -18,17 -12,57 15,23 3,21 11,36 |
|
28 |
2,1 -0,8 3,1 1,3 -0,7 0,9 |
0,4 1,2 -2,8 -0,8 1,0 0,0 |
7,7 0,0 -3,6 -2,0 1,5 0,1 |
-1,9 2,0 1,4 1,2 -8,1 0,0 |
0,4 -1,6 0,9 -6,8 0,0 1,2 |
-1,7 0,4 -2,2 0,1 0,3 -0,8 |
-8,75 4,72 3,07 19,48 -11,57 -2,73 |
|
29 |
2,5 0,0 -1,8 0,6 8,9 -3,3 |
-1,8 6,2 2,1 0,0 -0,6 2,9 |
-3,4 2,3 0,7 1,2 1,3 -4,1 |
0,0 1,1 -1,5 -0,4 -2,0 1,8 |
2,9 -0,8 2,4 -2,5 0,2 0,0 |
1,4 -0,4 0,1 5,7 0,7 -2,5 |
-10,68 10,44 20,68 -7,83 -32,61 7,49 |
|
30 |
-0,7 2,5 -1,1 2,0 -1,2 3,6 |
-1,1 1,7 0,9 -0,2 -0,8 2,7 |
1,6 -3,1 2,2 7,8 2,0 -3,3 |
8,0 0,0 -1,4 2,1 0,9 -1,8 |
0,1 -1,2 2,6 0,1 -6,6 0,0 |
-0,3 2,1 -0,7 -1,6 0,1 2,1 |
21,43 -1,33 -7,79 21,91 4,83 -6,21 |
