Классы фракталов

Обобщённо известное множество фракталов можно условно разделить на 2 класса.

Большую часть фракталов, как элементов природы, можно условно отнести к одному классу конструктивных (геометрических) фракталов.

Другой класс – динамические (алгебраические) фракталы, к которым относится и множество Мандельброта. Первые исследования в этом направлении относятся к началу ХХ века и связаны с именами математиков Гастона Жюлиа и Пьера Фату.

Фрактал, по определению Мандельброта, есть некая цельная структура любой природы, состоящая из частей (субструктур), которые в том или ином смысле подобны целому. Небольшая часть фрактала содержит информацию обо всём фрактале; фрактал может включать в себя повторяющиеся субструктуры бесконечное число раз. Самоподобиие является одним из основных признаков фракталов, хотя и не единственным.

Описание Фрактальных процессов

Для описания фрактальных процессов и структур используется рекурсивная функция, имеющая своим аргументом саму себя:

Рекурсию можно осуществить несколькими математическими средствами, в том числе и через прямое произведение матриц. В этом произведении, каждый элемент результирующей матрицы содержит исходную матрицу. С помощью матриц, как мы знаем, фиксируется определённая, чаще всего, пространственная организация. Многократно произведённое прямое умножение позволяет мультиплицировать исходную структуру. При этом матрица выступает в качестве паттерна, который способен генерировать иерархическую систему, каждый уровень который воспроизводит предыдущий в больших или меньших масштабах.

Паттерн – пример для подражания, образец, образцовая модель, выкройка, орнамент.

Рекурсивный геометрический образ в виде древовидного графа лежит в основе большинства фрактальных структур. Существуют итеррациональные алгоритмы, которые по своей сути схожи с матричными, графическим или функциональным способом задания рекурсии.

Природа воспользовалась оптимальным алгоритмом организационного развития, когда взяла за основу фрактальный принцип подобия. Обламывая сначала маленькие ветки, затем все большие и большие, мы обнаруживаем некоторую неизменную форму дерева. Отношение числа отсечённых ветвей к числу оставшихся всегда остаётся примерно постоянным, хотя на первом этапе обламываются крохотные побеги длиной в несколько сантиметров.

Ещё Леонардо да Винчи предположил, что сумма площадей сечения всех ветвей дерева на определённом уровне даёт площадь сечения его ствола. По древовидному принципу устроена нервная, дыхательная, и кровеносная системы животных. Трахея разветвляется на два бронха, задавая, таким образом, образец для более мелких геометрических форм и т.д.

Организмы в процессе своего индивидуального развития обнаруживают тенденцию вновь проходить те же самые стадии развития, которые они прошли в ходе своей эволюции. Такая повторяемость процессов начального созревания организма сильно сокращена во времени, многие этапы развития просто выпадают из последовательности онтогенетического развития, тем не менее это единственный биологический закон, который хоть как-то объясняет, почему у зародышей высших млекопитающих появляются жаберные щели и прочие атавистические признаки.

Теория фракталов, несмотря на свою широту, тем не менее эффективно обслуживает довольно узкую прикладную область, тесно связанную с компьютерами – это фрактальная графика. Эта область касается фрактального или рекурсивного сжатия или расширения изображения. Первым примером здесь, конечно, служит известная задача графического моделирования изрезанной береговой линии. Проблема состоит в том, что когда повторяют береговую линию в бесчисленных ее деталях, вплоть до размеров прибрежной гальки, то ее длинна оказывается больше земного экватора. Таким образом, возникает задача следующего содержания: где тот разумный предел детализации при воспроизведении контуров береговой линии, горного ландшафта или любого другого географического объекта, чтобы решение не выглядело, абсурдным и не было слишком неудобным с точки зрения его использования на практике. Следовательно, нужна матема­тически обоснованная процедура сглаживания, которая будет зави­сеть от масштаба изображения. Кроме того, необходимо учитывать запросы потребителя. Очевидно, на небольшой карте, взятой из учебника географии, можно пренебречь некоторыми крохотными островами и бухтами Скандинавского полуострова. Другое дело — мореходная карта лоцмана, цель которого — уметь находить безо­пасные пути причаливания к берегам Норвегии.

Так возникает проблема соотношения локальной и глобальной геометрии. Раньше для решения подобной задачи использовали только измерительный циркуль. Сегодня эту задачу с молниеносной скоростью, в режиме реального времени должен выполнять компьютер.

Сегодня фрактальная методика широко применяется в компьютерной графике и дизайне. Фракталы – геометрические процедуры, обладающие свойством воспроизводить исходный объект при его масштабном увеличении или уменьшении.

Мир фракталов огромен и разнообразен, Фракталы находят в ме­ханике и акустике, в химии и биологии. Новые методы вычислений позволяют предупредить и избежать многих социальных катаклиз­мов, Для описания огромного числа объектов природы и общества, начиная от химических колебаний развязывания локальных конфликтов, больше подходят приемы дискретной математики. дифференцируемые н не гладкие кривые и поверхно­сти которые изучаются в курсе классического математического анализа, не служат инструментом описания физических, биологиче­ских и социальных явлений, а ломаные, слоистые, дробленые, иначе говоря, фрактальные структуры. За последние два десятка лет произошла подлинная революция в компьютерных технологиях. Си­туация радикально изменилась, делая нелинейную математику дос­тупной для обработки на компьютерах в масштабе реального вре­мени. Фракталы стали и новым направлением в изобразительном искусстве, демонстрируя собой картины необычайной красоты и привлекательности. Нас они будут интересовать только с точки зрения математических закономерностей.

Процедуры получения фрактальных множеств.

Существует достаточно простые рекурсивные процедуры получения фрактальных кривых. Начнём со следующей. На рис. Изображено: деление единичного отрезка на 3 части (а), единичной квадратной площадки на 9 частей (б), единичного куба на 27 частей (в) и на 64 части (г). Число частей n, коэффициент масштабирования или подобия —  k, а размерность пространства —  d. Имеем следующие соотношения: n = kd , размерность

если n = 3, k = 3, то d = 1; если n = 9, k = 3, то d = 2; если n = 27, k = 3, то d = 3.

а     б     в     г 

если n = 4, k = 4, то d = 1; если n = 16, k = 4, то d = 2; если n = 64, k = 4, то d = 3. Размерность пространства выражается целыми числами: d = 1, 2, 3; для n = 64, величина d равна

Существует простая рекурсивная процедура получения фрактальных кривых на плоскости фрактальных множеств. Задают произвольную ломаную с конечным числом звеньев, называемую генератором. Далее, заменяем в ней каждый отрезок генератором (точнее, ломаной, подобной генератору). В получившейся ломаной вновь заменим малый отрезок генератором. Продолжая до бесконечности, в пределе получим фрактальную кривую. На рисунке четыре первых шага этой процедуры для кривой Коха.

Примерами таких кривых, т.е. фрактальных множеств, служат:

• кривая Коха (снежинка Коха),

• кривая Леви,

• кривая Минковского,

• Кривая Гильберта,

• Ломаная (кривая) дракона (Фрактал Хартера-Хейтуэя),

• кривая Пеано,

• кривая дракона.

Ломаная Коха (процедура получения)

Кривая Коха – это непрерывная кривая, которая нигде не имеет касательной, просто строится (рисуется), обладает свойством фрактала.

Представим пять шагов построения ломаной Коха: отрезок единичной длины (а), делится на три части (k = 3), из четырех частей (n = 4) – ломаная (б); каждый прямой отрезок делится на три части (k² = 9) и из 16 частей (n² = 16) – ломаная (в); процедура повторяется для k³= 27 и n³ = 64 – ломаная (г); для k⁵ = 243 и n⁵ = 1024 – ломаную (д).

а     б     в     г 

д 

Размерность

Это дробная, или фрактальная размерность на всех шагах остаются одной и той же, как если бы мы разделили квадрат на 9 частей, затем каждый маленький квадрат снова разделили на 9 частей, получив общее число квадратиков, равным 81, и т.д. Такая процедура не влияет на размерность пространства. Число пройденных шагов или показатели степени, в которые возводятся числа k и n, обозначим через m (у нас m = 0, 1, 2, 3 и 5).

Ломаная Коха, предложенная Гельгом фон Кохом в 1904 г., выступает в роли фрактала, который подходит для моделирования изрезанности береговой линии. Мандельброт в алгоритм построения береговой линии внес элемент случайности, который, однако, не повлиял на основной вывод в отношении длины береговой линии. Поскольку предел

,

длина береговой линии за счет бесконечной изрезанности берега стремится к бесконечности. Процедура сглаживания береговой линии при переходе от более детального масштаба к менее детальному, т.е. согласно рис переходы от (д) к (г), от (г) к (в), от (в) к (б), дает одну и ту же величину: на три части длины — одну «бухту», а длина стремится к единичному значению.

Снежинка Коха (фрактал Коха)

В Качестве основы построения можно брать не отрезки единичной длины, а

а)m=3     б) m=5

в) m=5     г) m=1

д) m=5 

Рис. Снежинка Коха

равносторонний треугольник, на каждую сторону которого распространить процедуру умножения изрезанности. В этом случае получим снежинку Коха (рис.), причем трех видов: вновь образующиеся треугольники направлены только наружу от предыдущего треугольника (а) и (б); только внутрь (в); случайным образом либо наружу, либо внутрь (г) и (д). Как можно задавать процедуру построения фрактала Коха.

Первый шаг Второй шаг рекурсивной

рекурсивной процедуры

процедуры

Рис.

На рис. показаны две векторные диаграммы; числа, стоящие над стрелками, видимо, вызовут вопрос: что бы они значили? Вектор 0 совпадает с положительным направлением оси абсцисс, так как его фазовый множитель exp (i2πl/6) при l = 0 сохраняет его направление. Вектор 1 повернут относительно вектора 0 на угол 2π/6, когда l= 1. Вектор 5 имеет фазовый множитель exp (i2π5/6), l = 5. Последний вектор имеет тот же фазовый множитель, что и первый (l = 0). Целые числа l характеризуют угол фазового множителя единичного вектора.

Первый шаг (рис.), задает рекурсивную процедуру для всех последующих шагов и, в частности, для второго шага (рис.). Как перейти от набора чисел φ1 = {0 1 5 0} к φ2 = {0 1 5 0 1 2 0 1 5 0 4 5 0 1 5 0}? Ответ: через прямое перемножение матриц, когда каждый элемент одной матрицы умножается на исходную матрицу. Поскольку в данном случае мы имеем дело с одномерным массивом, т.е. матрицы представляют собой векторы, то здесь производится умножение каждого элемента одной матрицы-вектора на все элементы другой матрицы-вектора. Кроме того, элементы матрицы-вектора φ1 состоят из показательных функций exp (i2πl/6), следовательно, при перемножении числа h нужно будет складывать по mod (6), а не умножать. После этих разъяснений становится понятна следующая запись:

φ₁ = φ₂ × φ₁ = {0 1 5 0} × {0 1 5 0} =

= {[(0 1 5 0) + 0] [(0 1 5 0) + 1] [(0 1 5 0) + 5] [(0 1 5 0) + 0]} =

= {[0 1 5 0] [1 2 0 1] [5 0 4 5] [0 1 5 0]} = {0 1 5 0 1 2 0 1 5 0 4 5 0 1 5 0};

φ₃ = φ₂ × φ₁, ..., φ_m = φ_m-1 × φ₁.

Итак, для задания фрактала Коха нам требуется три числа и один вектор, а именно: k = 3 — коэффициент подобия; n = 4 — число частей, образующих паттерн; h = 6 — число, определяющее фазовый множитель exp (i2πl/h) и фигурирующее в основании mod (h), по которому производится сложение показателей экспоненты, и базовый вектор или, собственно, сам паттерн φ1 = {0 1 5 0}.

Легкость, с которой можно получить красивейшие узоры с помощью самой незатейливой математики и элементарного программирования, привлекла к теме фракталов огромное число любителей. Однако все приведенные фракталы одномерные, т.е. их графические изображения представляют собой линии, а в прямом умножении участвуют векторы. А нет ли таких фракталов, когда бы в прямом произведении участвовали полноценные матрицы? Да, есть; на рис. в трехмерном пространстве изображена губка Менгера (а), и двумерный эквивалент (б). Она также является фракталом, для которого процедуру рекурсии можно отразить с помощью матриц. Для трехмерной губки пришлось бы иметь дело с трехмерными матрицами — такие существуют, действия с ними хорошо известны, но они слишком громоздки, чтобы использовать их сейчас для анализа. Обратимся к двумерному случаю. Поставим темным участкам квадрата в соответствие 1, а светлым — 0 (рис.). В этом случае паттерн плоской губки φ1 с единственной дыркой внутри выглядит в виде матрицы 3 × 3. Перемножая ее прямым образом саму на себя или возводя ее последовательно в степень 2, 3 и т.д., мы получим фракталы φ₂, φ₃ и т.д.

φ₂₌ φ₁х φ₁₌

φ₃= φ₂х φ_1…

а  б    в 

Рис.

Фрактальной структуре подчинены коэффициенты бинома: 

(1 + x)n = 1 + nx + n(n – 1)x2/2! + n(n – 1)(n – 2)x3/3! + ... + n!xk/(n – k)!k! + ... 

Если коэффициенты бинома выстроить рядами, как это показано в табл. 4.1 (в центре), то получим так называемый треугольник Паскаля. Беря все числа в треугольнике Паскаля последовательно по mod (2), mod (3), mod (4), mod (5) и т.д., мы будем получать треугольные матрицы, верхняя часть которых состоит из нулей. Эти треугольные матрицы можно уже перемножать прямым образом. Например, прямое перемножение двух треугольных матриц 3 × 3 по mod (3) дает в результате треугольную матрицу 9 × 9, которая в точности совпадает с треугольником Паскаля, записанным по mod (3) этого же размера:

φ₂₌ φ₁х φ₁

φ₃= φ₂х φ_1…

Такее умножение справедливы для случая mod (4), mod (5) и т.д. В случае же, когда треугольник Паскаля составляется по mod (2), его внешний вид напоминает губку Менгера, но только треугольной формы (рис. 4.7).

Губки Менгера треугольной, квадратной, кубической, пирамидальной и любой другой формы приковали к себе внимание ученых потому, что они обладают одним замечательным свойством: чем шире их габаритные границы (рис. 4.6), тем больший внутренний объем в них образуется. Иначе говоря, при разрастании губки отношение ее внешнего объема к внутреннему стремится к единице. Это свойство является самым важным для губок, живых и искусственных, например, тех, которыми мы моемся. За счет множественных внутренних пустот губка способна удерживать большое количество влаги, т.е. она работает в качестве своеобразного сосуда, который состоит не из одной открытой камеры, а из огромного числа соединенных друг с другом полостей. Губку можно рассматривать как древовидную структуру. В природе встречаются такие виды растений и животных, в частности, обитающие в морских глубинах, у которых густые ветви, расположенные ближе к корневому телу, срастаются так, что образуют одну губчатую поверхность, хотя внешние ветви могут сильно вытягиваться в виде усов, щупальцев или палпусов для захвата пищи. Более того, если на биологическое вещество смотреть с точки зрения его структурно-пространственной организации, то окажется, что оно сплошь выстроено по губчатому принципу. Это касается в большей мере, скажем, дыхательной системы, хотя аналогично устроены и системы кровообращения, пищеварения и прочие системы жизнеобеспечения.