Дискретная Математика / Lektsia_12

Лекция №12

Тема: Канонические формы переключательных функций. Нормальные и совершенные нормальные конъюнктивные формы переключательных функций.

Содержание

1. Нормальные и совершенные нормальные конъюнктивные формы переключательных функций.

2. Свойства СКНФ.

3. Свойства совершенных форм СДНФ и СКНФ.

4. Переход от табличного представления переключательных функций к алгебраическому

1. для СДНФ

2. для СКНФ

Нормальные и совершенные нормальные конъюнктивные формы переключательных функций

Определение. Логическая сумма любого количества различных не­зависимых переменных, входящих с отрицанием или без него, называется элементарной дизъюнкцией.

По аналогии с предыдущим пунктом - элементарная дизъюнкция, r - ранг элементарной дизъюнкции.

Если функция задана формулой в виде конъюнкции элемен­тарных дизъюнкций, то, следовательно, функция представлена конъюнктивно нормальной формой (КНФ):

Любая переключательная функция может быть задана и своей совершен­ной конъюнктивной нормальной формой (СКНФ). Для этого используется конституенты нуля - макстермы.

Конституентой нуля (макстермом) называют пере­ключательную функцию n аргументов, которая принимает значение, равное 0 только на одном наборе. Имеется 2ⁿ конституент нуля. Согласно табли­цы, конституентами нуля являются .

Совершенной конъюнктивной нормальной формой (СКНФ) переключательной функции называется конъюнкция тех конституент нуля, которые обращаются в нуль на тех же кортежах (наборах) значений аргументов, что и данная функция.

Свойства СКНФ

Совершенная КНФ удовлетворяет следующим условиям:

1. в ней нет двух одинаковых множителей;

2. ни один из множителей не содержит двух одинаковых слагаемых;

3. ни один множитель не содержит каких-нибудь переменную вместе с ее отрицанием;

4. каждый множитель содержит в качестве слагаемого или для любого i=1, 2, ...,n

Свойства совершенных форм СКНФ и СДНФ

1. Однозначное представление функции. Дают только совершенные нормальные формы (СДНФ и СКНФ).

2. В СДНФ (СКНФ) нет двух одинаковых минтермов (макстермов).

3. В СДНФ (СКНФ) ни один минтерм (макстерм) не содержит двух одинаковых множителей (переменных).

4. В СДНФ (СКНФ) ни один минтерм (макстерм) не содержит вместе с переменной и ее отрицание.

Любая функция алгебры логики, кроме абсолютно истин­ной и абсолютно ложной функции, может быть представлена в совершен­ной (СКНФ и СДНФ) форме.

где - символы обобщённой конъюнкции и дизъюнкции конституэнт нуля и единицы соответственно.

Переход от табличного представления переключательной функции к алгебраическому (для СДНФ).

Минтермы и макстермы используются для перехода от табличного представления функции к алгебраическому.

Пример. Минтермы и макстермы функции даны в таблице.

A	B	Минтермы	Макстермы	Значения функции F(A,B)
0	0
0	1
1	0
1	1	по «1»	по «0»

В общем случае алгебраическое выражение любой логической функции представлено в следующей форме:

где – значение функции (0 или1), а – минтерм, соответствующие i-тому кортежу переменных. Это совершенная дизъюнктивная нармальная форма (СДНФ).

Переход от табличного представления переключательной функции к алгебраическому (для СКНФ).

Алгебраическое выражение функции (для СКНФ) получается в виде произведения:

где и – значение функции и макстерм, соответствующие i-тому набору переменных.

Получаем СКНФ в виде:

Если в выражениях и вместо использовать инверсии значения функции, то получается СДНФ и СКНФ для функции, являющейся инверсией заданной.

Так осуществляется переход от таблицы истинности к алгебраическому представлению логической функции, и любая логическая функция может быть представлена в виде СДНФ и СКНФ.

Краткое основное содержание лекции

1. Любая переключательная функция ПФ (отличная от константы 1) имеет одну СКНФ и несколько КНФ.

2. Любая КНФ получается в результате сокращения СКНФ.

3. От любой КНФ можно перейти к СКНФ (это развёртывание).

4. Любому табличному представлению функции соответствует алгебраическое.