Операции над множествами

Объединением множеств А и В называется множество АВ, все элементы которого являются элементами множества А или В:

АВ= {x: xA или xB}.

Рис.2 Диаграмма Венна объединения АВ.

Пересечением множеств А и В называется множество АВ, все элементы которого являются элементами обоих множеств А и В:

АВ= {x: xA и xB}.

Рис.3 Диаграмма Венна пересечения АВ.

Выполняется включение АВААВ и АВВАВ.

Дополнением множества B до множества A называется множество

A\B = {х: x A и x B}

Рис.4 Диаграмма Венна разности А\В.

Симметрической разностью множеств А и В называется множество А+В={х: (x A и x B) или (x B и x A)}.

Рис.5 Диаграмма Венна симметрической разности А+В.

Абсолютным дополнением множества А называется множество всех тех элементов х, которые не принадлежат множеству А:

. Заметим, что X\A=XA.

Рис.6 Диаграмма Венна дополнения .

Законы алгебры множеств

Для любых подмножеств А, В и С универсального множества Uвыполняются следующие тождества:

Законы коммутативности

АВ=ВА АВ=ВА

Законы ассоциативности

А (ВС)=(АВ)С А(ВС)=(АВ)С

Законы дистрибутивности

А (ВС)=(АВ)(АС) А(ВС)=(АВ) (АС)

Законы тождества

А=А АU=А

АU=U А=

Законы дополнения

АА=U АА=

=U U=

Законы идемпотентности

АА=А АА=А

Законы поглощения

А (АВ)=А А (АВ)=А

Законы де Моргана

 (АВ)=АВ  (АВ)=АВ

Доказательство тождеств, основанное на отношении принадлежности.

Докажем, что А (В С) = (А В)(А С)

Доказательство: Если хА  (ВС), то x A или x BC. Если x A, то хАВ и хАС. Следовательно, х(АВ)(АС). Если хВС, то хВ и хС. Отсюда хВА и хСА, а значит , х(АВ)(АС). (1)

Докажем противоположное, что (А В)(АС)А(ВС).

Если х(АВ)(АС), то хАВ и хАС.

Следовательно хА или хВ и хС, т.е. хВС.

Отсюда хА(ВС). (2)

Отношение (1) и (2) доказывают равенство А(ВС)=(АВ)(АС).

Мощность множества, декартово произведение, степень множества.

Вопросы пересчета количества элементов в множествах становятся очень важными, когда у Вас ограничены ресурсы. Например, сколько пользователей может поддерживать данная компьютерная сеть? Или сколько операций будет сделано при работе данного алгоритма?

Мощностью конечного множества S называется число его элементов. Она обозначается символом |S|.

Теорема (правило вычисления мощности объединения двух множеств):

|AB| = |А|+|В||А||В|.

Эту формулу можно обобщить на произвольное конечное число множеств.

При обсуждении конечных множеств, порядок, в котором перечисляются их элементы, значения не имеет. Однако, бывает необходимо работать и с упорядоченными наборами.

Познакомимся с упорядоченной парой. Упорядоченной парой называется запись вида (a, b), где а  элемент некоторого множества А, а b  элемент множества В.

Множество всех таких упорядоченных пар называется декартовым или прямым произведением множеств А и В и обозначается А  В.

Следовательно, А  В = {(a, b) : a  А и b  В}.

Операция прямого произведения множеств имеет практическое значение, поскольку вплотную подводит к понятиям «отношение» и «функция», играющим заметную роль в информатике и составляющим предмет изучения следующих практических занятий.