Практическое занятие №8

Тема: Равносильность формул. Закон двойственности.

Логические функции.

Занятие рассчитано на 2 академических часа.

Цель работы: овладение практическими навыками равносильных преобразований булевых функций с помощью закона двойственности.

Теоретическая часть

Равносильность формул

Посредством приведенных операций над высказываниями могут быть образованы другие, сколь угодно сложные высказывания. Каждая формула представляет собой функцию входящих в нее букв А, В, …

Определение1: Формулы F₁ и F₂ называются равносильными, если при любых значениях входящих в них переменных x₁,x₂,…,x_n эти формулы принимают одинаковые значения.

Примеры равносильных формул:

равносильно х

ху равносильно ух

(ху)z равносильно х(у z)

х+у равносильно у+х

(х+у)+ z равносильно х+(у+z)

х+х равно х

хх равно х

х+(ху) равносильно х

равносильно

равносильно .

Между понятиями равносильности и эквивалентности существует связь: если формулы F₁ и F₂ равносильны, то формула (F₁F₂) (эквивалентность) принимает одни и те же значения при всех значениях переменных и обратно: если формула (F₁F₂) принимает одни и те же значения при всех значениях переменных, то формулы F₁ и F₂ равносильны.

Логические операции ,,, и  не являются независимыми друг от друга. Одни из них можно выражать через другие так, что при этом получаются равносильные формулы. Например, знак ~ может быть выражен через знаки  и & на основании соотношения x~y равносильно (xy)&(yx), которое легко доказывается на основании определения действий ~,  и &.

Итак, все операции посредством равносильных выражений можно заменить двумя:  и . Аналогичным образом, можно все операции заменить на & и . Исходя из этого, операция  двойственна  и наоборот.

Закон двойственности

Определение 2: Формулы F и U называются двойственными, если одна получается из другой заменой каждой операции на двойственную.

Примеры.

1.  двойственно .

2. двойственно .

3.  двойственно .

4.  двойственно .

Как для операций, так и для формул отношение двойственности взаимно.

Закон двойственности: Если формулы F и U равносильны, то и двойственные им формулы F* и U* также равносильны.

Если, применяя к формуле F дистрибутивные преобразования на основании первого дистрибутивного закона, мы получим формулу U, то переход от двойственной формулы F* к U* осуществляется на основании второго дистрибутивного закона.

Принцип двойственности применяют для нахождения новых равносильностей, что позволяет почти в два раза сократить усилия на вывод тождеств, при рассмотрении свойств элементарных функций.

Логические функции.

Как известно, законы логики являются тождественно-истинными формулами (тавтологиями).

Логические функции могут зависеть от одной или более переменных в теоретико-множественном смысле, логическая функция от n переменных y=f(x1,x2,…,xn), представляет собой отображение множества наборов вида (x1,x2,…,xn), являющихся областью его определения, на множество её значений N=(a1,a2,…,ak).

Определение 3: Однородной называется функция, если её аргументы принимают свои значения из того же набора, что и сама функция.

Булевы функции одной переменной:

x	y1=f1(x)	y2=f2(x)	y3=f3(x)	y4=f4(x)
0	1	0	1	0
1	1	0	0	1

Функции y₁=0, y₂=1 –функции константы, так как не меняют своего значения при любых значениях аргумента; y₄=x – равна своему аргументу, y₃=x – инверсия или отрицание, т.к. принимает значение противоположное аргументу.

Число всех функций, зависящих от n переменных х₁, х₂,…, х_n равно.

Булевы функции двух переменных:

x1	0	0	1	1	обозначение	название	чтение
x2	0	1	0	1
y0	0	0	0	0	0	константа 0	любое 0
y1	0	0	0	1	,	конъюнкция	x1 и x2
y2	0	0	1	0	\	отрицание импликации	x1, но не x2
y3	0	0	1	1		повторение первого аргумента	как x1
y4	0	1	0	0	\	отрицание обратной импликации	не x1, но x2
y5	0	1	0	1		повторение второго аргумента	как x2
y6	0	1	1	0		сумма по модулю 2	x1не как x2
y7	0	1	1	1		дизъюнкция	x1 или x2
y8	1	0	0	0		стрелка Пирса	ни x1 ни x2
y9	1	0	0	1		эквиваленция	x1 как x2
y10	1	0	1	0		отрицание второго аргумента	не x2
y11	1	0	1	1		обратная импликация	если x2, то x1
y12	1	1	0	0		отрицание первого аргумента	не x1
y13	1	1	0	1		импликация	если x1, то x2
y14	1	1	1	0		штрих Шеффера	не x1, или не x2
y15	1	1	1	1	1	константа 1	любое 1

Методические указания

Для лучшего запоминания теоретического материала, изучите приведенные примеры.

Пример1: Применение принципа двойственности для нахождения равносильностей.

Используя дистрибутивность & относительно  получаем равносильность:

Xi&(XjXk)(Xi&Xj)(Xi&Xj) Xi(Xi&Xk)(XiXj)&(XiXk).

Пример 2: Доказать, что функция G является тавтологией

G(x1,x2,x3)=()((

Решение: 

Пример 3: Является ли заданная функция сомодвойственной:

f(x1,x2,x3)=x1+x2+x3

Решение: f*(x1,x2,x3)=fx1,x2,x3x1x2x3x1+x2+x3,

Следовательно f(x1,x2,x3)-сомодвойственна.

Контрольные вопросы

1. Какие формулы называются равносильными? Приведите примеры.

2. Какие формулы называются двойственными?

3. Сформулируйте закон двойственности. С какой целью его применяют?

4. Какая функция называется однородной?

5. Постройте таблицы истинности булевых функций для двух переменных.

6. Сколько всех функций, зависящих от n переменных?

Индивидуальные задания

1. Придумайте сложное высказывание, содержащее различные союзы, и постройте его отрицание но так, чтобы знаки отрицания относились бы только к простым высказываниям.

2. Используя придуманное вами высказывание и полученную формулу, составьте двойственную ей формулу.

3. Применив эквивалентные преобразования, упростите приведённые формулы так, чтобы в результате получить только один атом:

1. (А; 2)  3)  4)

5)  6) 

7)С

4. Упростите приведённые формулы, насколько это возможно:

1) С 11) С

2) С| 12) С

3) С 13) С

4) С| 14) С

5) С 15) |С

6) С|С 16) С

7) СС 17) СС

8) С 18) С|

9) |С 19) С|

10) С 20) С.

21) СС

22) С 

23) С

24) СВА

25) С

26) СС

27) СС

28) СС

29) С

30) С.

5. Для каждой из приведенных формул составьте двойственную ей формулу:

1) (AC; 2) C; 3) (A(CD))(AC);

4) ((CC))1.

6. Примените принцип двойственности к каждой из приведенных эквивалентностей:

1) AA; 2) A(BC)(AC; 3) A(A; 4) (A.

7. Какая формула, содержащая только операции конъюнкции, дизъюнкции и отрицания (отнесены только к атомам), будет истинной тогда и только тогда, когда лишь одна из трех переменных А, В и С принимает значение «истина»?

Какое значение истинности примет при этом условии двойственная формула?

8. Какая формула, содержащая только операции конъюнкции , дизъюнкции и отрицания (отнесены только к атомам), будет истинной тогда и только тогда, когда лишь две из трех переменных А, В и С истинны?

Будет ли истинной при этом двойственная формула?

5