Практическое занятие №3 Тема: Теория множеств.Операции над множествами. Диаграммы Венна.

Занятие рассчитано на 4 академических часа.

Цель работы: ознакомиться с основными понятиями: логика, дискретная математика, теории множеств, операциями над множествами, законами алгебры множеств. Изучить основные приемы доказательства тождеств в теории множеств.

Дискретная математика и логика лежат в основе любого современного изучения информатики. Слово «дискретный» означает «составленный из отдельных частей», а дискретная математика имеет дело с совокупностями объектов, называемых множествами, определенными на них структурами. Элементы этих множеств изолированы друг от друга и геометрически не связаны. Действительно, большинство интересующих нас множеств конечны или, по крайней мере, счетны.

Эта область математики привлекается для решения задач на компьютере в терминах аппаратных средств и программного обеспечения с привлечением организации символов и манипуляции данными. Современный цифровой компьютер — по существу конечная дискретная система. Понимания того, как такая машина работает, можно достигнуть, если представить машину как дискретную математическую систему.

Цель изучения дискретной математики — приобрести инструменты и технику, необходимые для понимания и проектирования компьютерных систем. Когда и как использовать эти инструменты и технику  основа раздела математики, известного как математическое моделирование.

Теория множеств обеспечивает удобный язык для описания концепций в математике и информатике. Мы введем понятие множества и опишем различные способы комбинирования разных множеств для получения новых. Результат операций объединения, пересечения, дополнения и симметрической разности иллюстрируется на диаграммах Венна, будет сформулирован набор тождеств. Некоторое число этих тождеств, собранных вместе, определяют законы алгебры множеств и, в свою очередь, будут использованы для вывода более сложных соотношений.

Теоретический материал

В современных языках программирования требуется, чтобы переменные объявлялись как принадлежащие к определенному типу данных. Тип данных представляет собой множество объектов со списком стандартных операций над ними. Определение типа переменных равносильно указанию множества, из которого переменным присваиваются значения.

Множество  это совокупность объектов, называемых элементами множества. Объекты, которые образуют множество, называются элементами этого множества. Пример: Множество S = {3, 2, 11, 5, 7}  элементы множества записывают в фигурных скобках.

Принадлежность элемента множеству обозначается значком , например, 3  S, 8  S.

Некоторые множества имеют стандартные названия и обозначения:

 — пустое множество;

N = {1, 2, 3, ...} — множество натуральных чисел;

Z = {0, ±1, ±2, ±3, ...} — множество целых чисел;

Q = {p,q Z, q0} — множество рациональных чисел;

R = {все десятичные дроби} — множество вещественных чисел.

Принцип объемности: множества А и S равны, если они состоят из одних и тех же элементов, в противном случае А  S.

Совокупность допустимых объектов рассматривается как подмножество основного множества U (универсума). Для наглядного изображения соотношений между подмножествами универсума U используются диаграммы Венна

Например, универсумом арифметики служат числа, в зоологии – мир животных, в лингвистике – слова.

Через  (читается "содержится либо совпадает") обозначают отношение включения между множествами, т.е. АS, если каждый элемент множества А есть элемент множества S. Тогда говорят, что А есть подмножество множества S. Если АS и АS, то говорят, что А есть собственное множество S, и пишут АS.

Рис.1 Диаграмма Венна подмножества АS.

Для доказательства равенства множеств А=B необходимо проверить истинность двух импликаций:

{х  А  х  B} и {х  B  х  А}.