• Рівняння руху ідеальної рідини

Закони руху рідин справедливі і для газів, якщо їх швидкості менші за швидкість звуку. У цьому випадку гази, як і рідини, можна вважати практично нестисливими. Рідина, густина якої скрізь однакова і змінюватись не може, називається нестисливою.

При вивченні руху рідин їх розглядають як суцільне неперервне середовище, не вдаючись до молекулярної будови рідини. Можливі два способи опису руху рідини. Перший спосіб полягає в тому, що вказують положення і швидкість всіх частинок рідини для кожного моменту часу. Однак простіше слідкувати не за частинками рідини, а за окремими точками простору і відмічати швидкість, з якою проходять через кожну точку окремі частинки рідини. При такому способі рух рідини характеризується сукупністю функцій , що визначаються для всіх точок простору.

Сукупність векторів , заданих для всіх точок простору, називаєтьсяполем вектора швидкості. Це поле можна наглядно зобразити за допомогою ліній потоку (Мал.1.9.5).

Лінії потоку проходять так, щоб векторв кожній точці простору був направлений по дотичній до відповідної лінії. Картина ліній потоку характеризує не тільки напрямок, але й модуль векторав різних точках простору. Наприклад в точціА на мал.1.9.5 густина ліній, а отже і модуль , більша ніж в точціВ.

Оскільки різні частинки рідини можуть проходити через дану точку простору з різними швидкостями (тобто ), то картина ліній потоку, взагалі кажучи, весь час змінюється.

Якщо швидкість в кожній точці простору залишається сталою (const), то течія рідини називається стаціонарною. При сталій течії будь-яка частинка рідини проходить через дану точку простору з однією і тією ж швидкістю . Картина ліній потоку при сталій течії залишається незмінною, і лінії потоку в цьому випадку співпадають з траєкторіями частинок.

Якщо через всі точки невеликого замкнутого контуру провести лінії потоку, утвориться поверхня, яку називають трубкою потоку. Вектор дотичний до поверхні трубки потоку в кожній її точці.

Візьмемо трубку потоку досить тонку для того, щоб в усіх точках її поперечного перерізуS швидкість частинок була одна й таж. При сталій течії трубка потоку подібна стінкам твердої труби. Тому через перерізS пройде за час t об’єм рідини, який дорівнює St, а за одиницю часу об’єм

VS

(1.9.14)

На мал.1.9.6 показані два переріза дуже тонкої трубки потоку – S₁ і S₂. Якщо рідина нестислива, то кількість її між цими перерізами залишається незмінною. Звідси випливає, що об’єми рідини, що протікають за одиницю часу через перерізи S₁ і S₂, повинні бути однаковими:

S11S22

(1.9.15)

Рівність (1.9.15) справедлива для будь-якої пари довільно взятих перерізів трубки потоку. Отже, Для нестисливої рідини при стаціонарній течії добуток S в будь-якому перерізі даної трубки потоку має однакове значення:

Sconst

(1.9.16)

Це твердження носить назву теореми про нерозривність течії

• Рівняння бернуллі

У реальних рідинах при переміщенні шарів рідини один відносно одного виникають сили внутрішнього тертя, які гальмують відносне зміщення шарів. Уявна рідина, у якої внутрішнє тертя повністю відсутнє, називається ідеальною. Течія ідеальної рідини не супроводжується дисипацією енергії.

Розглянемо стаціонарну течію нестисливої ідеальної рідини. Виділимо об’єм рідини, обмежений стінками вузької трубки потоку і перпендикулярними до ліній потоку перерізами S₁ і S₂ (мал..1.9.7). За час t цей об’єм зміститься вздовж трубки потоку, причому межа S₁ дістане переміщення L₁, а межа S₂ – переміщення L₂. Робота, що виконується силами тиску, дорівнює приросту повної енергії Е обмеженого об’єму рідини, який розглядається.

Сили тиску на стінки трубки потоку перпендикулярні в кожній точці до напрямку переміщення рідини, і як наслідок роботи не виконують. Відмінна від нуля лише робота сил тиску, що прикладені до перерізів S₁ і S₂. Ця робота дорівнює

AF1L1–F2L2p1S1L1–p2S2L2(p1–p2)V

(1.9.17)

За час t приріст повної енергії визначається виразом

Е–

(1.9.18)

Оскільки АЕ, то з (1.9.17) і (1.9.18) дістанемо

(1.9.19)

Рівняння (1.9.19) стає строгим тільки за умови, що поперечний переріз S прямує до нуля, тобто при стягуванні трубки потоку в лінію. Отже, величини , h і p з обох боків рівності можна розглядати як такі, що відносяться до двох довільних точок однієї і тієї ж трубки потоку.

Таким чином, у стаціонарній течії нестисливої ідеальної рідині вздовж будь-якої лінії потоку виконується умова:

const

(1.9.20)

Умову (1.9.20) або рівнозначне йому рівняння (1.9.19) називають рівнянням Бернуллі.

Тиск p називають статичним,

складову називаютьдинамічним тиском,

а складову –гідростатичним тиском.

Приклад 1. Визначення швидкості потоку рідини (або газу).

Оскільки динамічний тиск зв’язаний зі швидкістю руху рідини (або газу), то рівняння Бернуллі дає можливість вимірювати швидкість потоку рідини. Для цього застосовується трубка Піто–Прандтля (див. мал.1.9.8).

Зрівняння Бернуллі маємо:

Або

(1.9.21)

Де – густина рідини, що знаходиться в трубці. За формулою (1.9.21) можна визначати швидкість потоку речовини, якщо відомі параметри,іh.

Приклад 2. Витікання рідини із отвору.

У посудині на мал.1.9.9. площа вільної поверхні рідини, що витікає через отвір, в багато разів більша за площу поперечного перерізу отвору. З рівняння Бернуллі маємо

(1.9.22)

–атмосферний тиск.

З рівняння нерозривності течії знаходимо

(1.9.23)

Далі маємо

(1.9.24)

Оскільки , то із (1.9.24) наближено отримаємо:


	(1.9.25)

Формула (1.9.25) називається формулою Торрічеллі.

Факультет машинобудування
Лектор Дон Н.Л.		стор. 10з10