• Хвилі у різних середовищах*

При розповсюдженні хвилі у пружному середовищі зміщення сусідніх точок в один і той же момент часу будуть дещо різними. Відповідно до цього осцилююче тіло безперервно змінює свою форму –деформується. У випадку повздовжніх хвиль матиме місце деформація розтягу-стиску. При проходженні поперечних хвиль в середовищі розповсюджується періодично осцилююча за деформація зсуву. Якщо, наприклад, здійснити деформацію (стиснути, розтягнути або зсунути один відносно одного) певні елементи пружного тіла, то деформація буде розповсюджуватися у тілі із певною швидкістю. Приклади розповсюдження деформації по твердому стрижню, після того як по його торцю вдарили молотком (повздовжні хвилі), або після зсуву одного з його кінців (поперечні хвилі), описані у [7, с.301].

Вивчення швидкості розповсюдження повздовжніх та поперечних хвиль у різних пружних середовищах дає можливість зробити висновки про природу речовини, через яку розповсюджуються хвилі. Цей принцип покладено в основу сейсмічних методів геологічної розвідки. По швидкості розповсюдження повздовжніх та поперечних хвиль деформації по земній корі від місця землетрусу можна встановити положення епіцентру. А завдяки тому, що повздовжні хвилі „бігають” у земній корі швидше за поперечні приблизно в 1,4 рази, сейсмічні прилади двічі фіксують поштовх. Детально про отримання виразу для швидкості розповсюдження повздовжньої та поперечної хвилі у твердому пружному середовищі ви можете дізнатися самостійно з [5, с. 283].

Фазова швидкість повздовжніх хвиль у пружному твердому середовищі (звернемо увагу, при умові малих деформацій) залежить від модуля Юнга речовини та її густини :

=

(4.3.28)

Наприклад, швидкість розповсюдження повздовжніх хвиль у металах складає приблизно 4500-5000 м/с, а у воді лише – 1500 м/с. Непружні поверхневі хвилі на воді розповсюджуються із швидкістю приблизно в 0,1 м/с.

Швидкість розповсюдження поперечних хвиль у пружному твердому середовищі залежить від модулю зсуву речовини та густини :

=

(4.3.29)

Модуль зсуву завжди менший від модуля Юнга, тому швидкість поздовжніх хвиль завжди вища від швидкості поперечних. Для ізотропних твердих тіл вважається, що , отже швидкість поперечних пружних хвиль в таких тілах складає лише швидкості поздовжніх хвиль.

В рідинах та газах , отже формально швидкість поперечних хвиль дорівнює нулю. Тобто такі хвилі в рідинах та газах не можуть існувати. Швидкість поздовжніх хвиль розширення та згущення (звукових) у газахвизначають за формулою Лапласа

=

(4.3.30)

де - коефіцієнт Пуассона для газу (і – кількість ступенів свободи, для повітря при і=2 коефіцієнт Пуасона дорівнює 1,4, - абсолютна температура, - молярна маса газу, Дж/К – універсальна газова стала. Швидкість розповсюдження звукових хвиль у повітрі складає 330-360 м/с.

• Енергія пружної хвилі

Якщо ми подумки виділимо у середовищі елементарний об’єм , достатньо малий, аби вважати швидкість руху і деформацію у всіх точках об’єму однаковими (а проте достатньо великий порівняно з атомними масштабами, аби можна було б нехтувати дискретністю речовини), то такий елементарний об’єм масою , який рухається із швидкістю має кінетичну енергію:

=

(4.3.31)

Об’єм має потенціальну енергію внаслідок пружної деформації:

==

(4.3.32)

де = - відносна деформація (наприклад, подовження). Замінимо в (4.3.32) модуль Юнга через величини формули (4.3.28), вираз для потенціальної енергії об’єму:

=

(4.3.33)

Повна енергія об’єму середовища по якому розповсюджується плоска хвиля із швидкістю (4.3.23) дорівнюватиме:

=+=

(4.3.34)

Розділивши (4.3.34) на отримаємо густину енергії:

=

(4.3.35)

Середнє значення густини енергії за часом [5, с.285-286]:

=

(4.3.36)

Кількість енергії, яку переносить хвиля через деяку поверхню в одиницю часу має назву потоку енергії через цю поверхню:

=

(4.3.37)

Нагадаємо, що потік енергії вимірюється у ваттах.

Але потік енергії в різних точках середовища може мати різні значення (наприклад, для випадку анізотропного неоднорідного середовища). Для характеристики течії енергії в різних точках простору введемо векторну енергетичну величину – густину потоку енергії: вона чисельно дорівнює потоку енергії через одиничну площадку в даній точці простору, яка є перпендикулярною до напрямку, в якому переноситься енергія. Напрямок вектора густини енергії співпадає із напрямком переносу енергії:

==

(4.3.38)

Нехай густина енергії у всіх точках досліджуваного простору є однаковою. Тоді зміну повної енергії хвилі за час її розповсюдження через площадку із швидкістю можна знайти як:

=

(4.3.39)

Підставивши (4.3.39) у (4.3.38) отримаємо:

=

(4.3.40)

Вважатимемо, що модуль вектора дорівнює фазовій швидкості хвилі, а напрямок співпадає із напрямком розповсюдження хвилі (відповідно, й переносу енергії), отже:

=

(4.3.41)

Вираз (4.3.41) для вектора густини енергії вперше ввів російський фізики Н.А.Умов, тому він отримав назву вектора Умова.

Відповідно інтенсивністю хвилі (або густиною потоку енергії, або потоком потужності) в даній точці називатимемо середнє за часом значення густини енергії, яку переносить хвиля і вона є енергетичною характеристикою хвилі. Також читайте [8, с. 211-214].