• Рівняння хвилі [5, с.277]

Рівнянням хвилі є вираз, який описує зміщення осцилятора як функцію її координат , , та часу : Вона повинна бути періодичною як відносно часу так і відносно координат , , .

=

(4.3.14)

Для знаходження вигляду функції розглянемо простий випадок: плоска хвиля, яка розповсюджується вздовж осі (рис. 12). Нехай гармонічні коливання точок в площині задовольняють рівнянню:

=()

(4.3.15)

Для визначення виду коливань точок в площині, яка знаходиться на відстані від збуджуючого осцилятора (джерела хвилі), необхідно врахувати, що хвилі із швидкістю на подолання цієї відстані у нашому пружному середовищі потрібен певний час :

=

(4.3.16)

Відповідно й коливання точок в площині на відстані будуть відставати за часом на від коливань в площині :

=	(4.3.17а)
=	(4.3.17б)
=	(4.3.17в)

Отже, рівняння плоскої хвилі (повздовжньої, поперечної), яка розповсюджується у напрямку осі має вигляд (4.3.17б). - амплітуда хвилі. Початкова фаза хвилі визначається вибором початку відліку як часу так і положення .

Під знаком косинуса у (4.3.17б) – фаза - функція і :

=

(4.3.18)

Зафіксуємо значення фази і покладемо її рівною деякої константі, початкову фазу вважатимемо рівною нулю :

=

(4.3.19)

Права частина рівняння мусить бути константою, тоді як ліва явно залежить від часу. Тому , звідки:

=

(4.3.20)

Вираз (4.3.20) дає швидкість, з якою переміщується дане значення фази. Відповідно швидкість розповсюдження хвилі є швидкістю переміщення фази, тому її називатимемо фазовою швидкістю.

Якщо , хвиля розповсюджується в бік зростання . Хвиля, яка розповсюджується у протилежному напрямку буде описуватися:

=

(4.3.21)

Вираз (4.3.17б) описує хвилю, яка відстає від (4.3.15) по фазі на величину , де через – хвильове число:

(4.3.22)

Рівняння плоскої хвилі, яка розповсюджується вздовж осі прийме наступний вигляд:

=

(4.3.23)

Хвильове число є модулем так званого хвильового вектора =, який визначає напрямок розповсюдження хвилі, де - вектор нормалі до хвильової поверхні.

При виведенні рівняння плоскої хвилі (4.3.23) ми вважали, що амплітуда коливань не залежить від . Для хвиль таке спостерігається у випадку, коли енергія хвилі не поглинається середовищем. Розповсюдження хвилі у середовищі, яке поглинає енергію хвилі, супроводжується поступовим зменшенням інтенсивності хвилі при віддаленні від джерела коливань – відбувається затухання хвилі. Дослідним шляхом було підтверджено, що в однорідному середовищі затухання відбувається за експоненційним законом:

=

(4.3.24)

Відповідно й рівняння плоскої хвилі матиме такий вид:

=

(4.3.25)

Будь-яке реальне джерело хвиль має певні розміри. Якщо ми обмежимося розглядом хвилі на відстанях, які є набагато більшими за розміри джерела хвилі, то таке джерело можна вважати точковим. А хвильова поверхня, яка розповсюджується від точкового джерела у ізотропному однорідному середовищі буде мати сферичну симетрію. Детальніше про отримання рівняння сферичної хвилі читайте у [5, с.279]. Ми лише наведемо вираз для рівняння сферичної хвилі:

=

(4.3.26)

де - радіус хвильової поверхні. Зверніть увагу, якщо , амплітуда у (4.3.26) прямуватиме до нескінченності . Цей цікавий, але фізично абсурдний результат можна пояснити непридатністю рівняння (4.3.26) для опису сферичної хвилі при малих .

Рівняння будь-якої хвилі є рішенням диференційного рівняння, яке має назву хвильового рівняння [5, с.281]:

++=

(4.3.27)

або у більш зручному вигляді через оператор Лапласа:

=

(4.3.27а)

Ви самі можете переконатись, уважно придивившись, що рівняння плоскої хвилі (4.3.24), яка розповсюджується у напрямі , є частковим рішенням рівняння (4.3.27).