§2 Математическая логика и формирование на ее основе электронных компонентов эвм

2.1 Основания математической логики

Введение. Математизация логики ведет свое начало от работ Дж. Буля (Буль — Boole — Джордж, 1815—1864, английский математик и логик, один из основоположников математической логики. Разработал алгебру логики: "Исследования законов мышления".) и А. Де Моргана (Морган — De Morgan — Августус, 1806—1871, шотландский математик и логик. Труды по алгебре, теории рядов. Независимо от Дж. Буля пришел к основным идеям математической логики: "Формальная логика...", 1847.), в которых логика обрела свой алфавит, свою орфографию и свою грамматику. Для логики началась эпоха письменности — ее конструкции можно было наносить на бумагу в виде компактных сочетаний символов, в виде формул и, в дальнейшем, появилась возможность получить интерпретацию в виде электронных компонентов.

Имя Джорджа Буля в последнее время стало известно даже людям, далеким от математики и логики. Понятие "булевой алгебры" уже знакомо многим нематематикам и нелогикам, а понятие "булевской переменной" вошло в обиход программистов, пользователей ЭВМ. Однако, при жизни, — да и долго после смерти — профессор математики из ирландского города Корка Джордж Буль, автор основополагающих для математической логики трудов "Математический анализ логики" (1847) [4] и "Исследование законов мысли" (1854) [5], не считался человеком, внесшим большой вклад в науку, и его имя было известно лишь узкому кругу специалистов.

Непризнание заслуг объясняется очень просто: проблемы, которыми он занимался, были в стороне от развития тогдашней математики.

Если заниматься постоянно задачами, которыми занято большинство, то кому же создавать новые области знания? Труд Буля явился одним из важных путей расширения рамок математики. Буль понимал глубокое значение своего исследования. Алгебра, построенная Булем, служила ему для описания операций над множествами и действий над высказываниями.

Позже выяснилось, что, следуя Булю, возможно создание аппарата, описывающего свойства важного класса релейных схем, изучаемых в автоматике. Поэтому Булева алгебра не должна рассматриваться, как только алгебра логики. Булевой алгеброй называется класс S объектов A, B, C, ..., в котором определены две бинарные операции [6], обозначаемые как (логические) сложение и умножение, с определенными свойствами.

2.2 Немного арифметики. Ряд натуральных чисел можно представить в виде количества символов (цифр) [7]. Древним римлянам нравилось изображать численные значения буквами латинского алфавита: I, V, X, L, C, D и M, где, I=1, V=5, X=10, L=50, C=100, D=500 и M=1000. Сравните, как будут выглядеть числа 1999 и 2003 в римской интерпретации:

MCMXCIX=1000+(-100+1000)+(-10+100)+(-1+10)=

=1000+900+90+9=1999,

M M I I I =1000+1000+1+1+1=2003.

Наличие десяти пальцев на руках человека явилось основой построения десятичной системы счисления. Она состояла из десяти символов (цифр): 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, но с основанием 10, так как эти же цифры могут использоваться и в восьмеричной, и в шестнадцатеричной, и в других системах счисления. Тогда, любое число десятичной системы можно представить в виде суммы цифр, каждая из которых умножается на вес соответствующего разряда (знакоместа). Посмотрим, как будут выглядеть числа 1999 и 2003:

1999=1x10³+9x10²+9x10¹+9x10⁰=1000+900+90+9,

2003=2x10³+0x10²+0x10¹+3x10⁰=2000+0+0+3.

Цифровую информацию для электрической обработки не выгодно (но и электрически опасно!) представлять в десятичной системе счисления, так как необходимо сформировать десять разных (отличающихся по величине) электрических сигналов (десять разных значений тока или десять разных значений напряжений). По этой причине цифровая обработка информации выполняется в бинарной (или двоичной) системе счисления.

Двоичная система содержит только два символа — единицу и нуль (1H — High — высокий уровень электрического сигнала, 0L — Low — низкий уровень электрического сигнала), которые очень удачны для электронной обработки. В двоичной системе счисления любое число можно также представить в виде суммы цифр, каждая из которых умножена на вес соответствующего разряда (знакоместа), при этом десятичные числа 1999 и 2003 будут выглядеть следующим образом:

11111001111=1x2¹⁰+1x2⁹+1x2⁸+1x2⁷+1x2⁶+0x2⁵+0x2⁴+1x2³+1x2²+

+1x2¹+1x2⁰=1024+512+256+128+64+0+0+8+4+2+1=1999

11111010010=1x2¹⁰+1x2⁹+1x2⁸+1x2⁷+1x2⁶+0x2⁵+1x2⁴+0x2³+0x2²+

+1x2¹+1x2⁰=1024+512+256+128+64+0+16+0+0+2+1=2003

В двоичной системе счисления сложение и умножение выглядят очень просто:

0x0=0;	0+0=0
0x1=0;	0+1=1
1x0=0;	1+0=1
1x1=1;	1+1=*

* — в логических операциях это значение будет равно 1, а в арифметических операциях — 10, что в десятичной системе соответствует 2 (см. Таблицу 1.).

Перевод двоичных чисел в десятичные приведен в Таблице 1.

Таблица 1.