- •Тема 1. Классическая формула вычисления вероятности.
- •Тема 2. Геометрическая вероятность.
- •Тема 3. Теоремы сложения и умножения.
- •Тема 4. Формулы полной вероятности и Байеса.
- •Тема 5. Повторение опытов.
- •Тема 6. Повторение опытов (при большом n).
- •Тема 7. Дискретная случайная величина.
- •Тема 8. Непрерывная случайная величина.
- •Тема 9. Нормальное распределение.
- •Тема 10. 2-мерная дискретная случайная величина.
- •Тема 11. 2- мерная непрерывная случайная величина.
- •Тема 12. Функция от случайной величины.
- •Тема 13. Функция от двух случайных величин.
- •Тема 14. Закон больших чисел.
- •Тема 15. Центральная предельная теорема.
- •Содержание:
Тема 6. Повторение опытов (при большом n).
Основные определения и формулы:
Пусть в каждом из независимых испытаний событие Аможет произойти с вероятностьюq,q= 1 –p. Обозначим как и раньше, черезP(n;k) вероятность ровнокпоявлений событияАвnиспытаниях. кроме того, пустьP(n;k1,k2) – вероятность того, что число появлений событияАнаходится между к1и к2.
Локальная теорема Лапласа.Еслиn– велико, ар– отлично от 0 и 1, то
P(n;k)
где - функция Гаусса.
Интегральная теорема Лапласа.Еслиn– велико, ар– отлично от 0 и 1, то
P(n;k1,k2)
где - функция Лапласа.
Функции Гаусса и Лапласа обладают свойствами, которые необходимо знать при использовании таблиц значений этих функций: а) (-х) =(х),(-х) = -(х); б) при больших х(х)0,(х)0,5.
Теоремы Лапласа дают удовлетворительное приближение при npq 9.
Теорема Пуассона.Еслиn– велико, ар– мало, то
P(n;k), где=n*p.
Эта формула дает удовлетворительное приближение для р 0,1иnp10. При большихnpрекомендуется применять формулы Лапласа.
Решение типовых примеров :
Пример 1.Пустьт– число появлений событияАвnнезависимых испытаниях. Чему равна вероятность того, что частотат/псобытияАотклонится от его вероятностирне более чем на?
Решение :
Итак, искомая вероятность приближенно равна
Пример 2.В продукции некоторого производства брак составляет 15%. Изделия отправляются потребителям (без проверки) в коробках по 100 штук. Найти вероятности событий:
В– наудачу взятая коробка содержит 13 бракованных изделий;
С– число бракованных изделий в коробке не превосходит 20
Решение :
Изготовление детали – это испытание, в котором может появиться событие А– изделие бракованное – с вероятностьюр = 0,15. Находимпр = 15,npq = 12,75. Можно применять формулы Лапласа:
Р(В) = Р(100;13)0,28(-0,56) = 0,28*0,341 = 0,095.
Р(С) = Р(100; 0, 20)
Значения функций Гаусса и Лапласа нашли по таблицам с учетом их свойств. Как интерпретировать результат? Приблизительно 9,5% всех коробок содержат 13 бракованных изделий и в 92% коробок число бракованных не превосходит 20.
Пример 3.Известно, что только 80% семян некоторой культуры дают полноценные растения. Сколько семян нужно посадить, чтобы с вероятностью не меньшей 0,95 получить, по крайней мере, 100 растений?
Решение :
Поведение семян в почве – это испытание, событие А– семя дало полноценное растение,р = 0,8. Неизвестное число испытанийпдолжно удовлетворять неравенству:
Р(п;100,п)0,95, причемп> 100.
Используем формулу Лапласа:
Р(n; 100, n)
Учитывая свойства функции Лапласа, получим:
Из таблицы значений функции Лапласа находим: 0,45 = (1,645). Учитывая еще и возрастание(х) получаем неравенство для определенияп:
Решая его, получаем: , т.е.п135.
Итак, посеяв 135 (или более) семян можно с вероятностью 0,95 гарантировать получение, по крайней мере, 100 полноценных растений.
Пример 4,имеется АТС, которая обслуживает 1000 абонентов. Для каждого их них вероятность воспользоваться услугами АТС в течении одной минуты равна 0,003. Для выбранной наудачу минуты найти вероятности событий:В– ровно 5 вызовов на АТС,С– не более двух вызовов,D– хотя бы один вызов.
Решение :
Поведение абонента в течении одной минуты – это испытание, событие А– абонент воспользовался услугами АТС,р = 0,003,nр = 3. Используем формулу Пуассона, причем= 3: