Тема 5. Повторение опытов.

Основные определения и формулы :

Пусть осуществляется nнезависимых повторений некоторого эксперимента (илиnнезависимых экспериментов), в каждом из которых может произойти событиеА.

Если вероятность этого события в каждом испытании равна р, то вероятность Р(n;k) того, что вnиспытаниях событиеАнаступит ровнокраз определяетсяформулой Бернулли :

Р(n;k) = .

В случае когда вероятность события Авm-ом испытании равнаp_m,m= 1..n, вероятность Р(n;k) равна коэффициенту приz^kв разложении производящей функции :

G(z) = ,

где q_m= 1 – р_m.

Другое обобщение формулы Бернулли состоит в следующем. Пусть в каждом из независимых испытаний может появиться одно из mнесовместных событийA_iиP(A_i) =p_iво всех испытаниях,=1. Тогда вероятность Р(n;k₁;k₂;…;k_m) того, что вnиспытаниях событиеA_iпроизойдетk_iраз,i= 1..m, , определяется полиномиальной формулой:

P(n;k₁;k₂;…;k_m) = .

Наиболее вероятное число m₀появлений событияАвnиспытаниях (если в каждом испытании Р(А) = р) равно целой части числа р(n+1). Если р(n+1) – целое, то наибольшее значение вероятности Р(n;k) достигается при двух числах:m₀= р(n+1) иm₀ = 1.

Замечание.Некоторые задачи, связанные с повторением испытаний, не требуют для своего решения использования специальных формул, а решаются на основании теорем сложения и умножения.

Решение типовых примеров:

Пример 1.В продукции некоторого производства брак составляет 10%. Наудачу отбираются семь изделий. Найти вероятности событий :

В– среди отобранных – 2 бракованных;

С– не более двух бракованных;

D– хотя бы одно бракованное.

Решение :

Отбор одного изделия – это испытание, в котором может появиться событие А– изделие является бракованным, причемр=Р(А)=0,1. По условию задачи проведено семь таких испытаний. Вероятность событияВсразу находим по формулеБернулли:

Р(В) = Р(7;2) = .

Для события Сможно написать: С = С₀ + С₁ + С₂, где С_к– среди отобранных ровнокбракованных. Используя теорему сложения, получим:

Р(С) = Р(7;0) + Р(7;1) + Р(7;2) =

Как интерпретировать полученный результат? Будем считать, что изделия укладываются в коробки по 7 штук, причем, если в коробке оказалось не более двух бракованных, то её назовем “хорошей”. Полученный результат для Р(С) означает, что 97,4% всех коробок являются “хорошими”.

Для вычисления P(D)нет необходимости применять формулу Бернулли, а достаточно перейти к– все изделия стандартные и применить одну из теорем сложения:

P(D) = 1 – 0,9⁷= 0,522.

Пример 2.Имеетсяnперенумерованных урн, в каждой из которыхnшаров, причем вк-ой урне ровнок черных иn-kбелых, к = 1..n. Из каждой урны наудачу извлекают по одному шару. Найти вероятностьP(n;k) того, что средиnизвлеченных шаров ровнокчерных? Рассмотреть частный случай, когдаn= 4,к= 2.

Решение :

Извлечение шара из урны – это испытание, в котором может появиться интересующее нас событие А– шар черный. Однако вероятность события зависит от номера испытания: дляк-ой урны Р(А) = р_к = к /n,q_k= (n–k) /n,k= 1..n. Составляем производящую функцию:

G(z) =

Искомая вероятность P(n;k) есть коэффициент приz^kв разложении этой функции:

G(z) =

Коэффициенты такой функции можно найти дифференцированием:

P(n;k) =

В частном случае имеем:

G(z) =

Коэффициент при z³– это искомая вероятность:

Р(4;3) =

Пример 3.В каждом выстреле стрелок наверняка попадает в мишень, состоящую из четырех перенумерованных частей, причем вероятность попасть в каждую часть пропорциональна ее номеру. Найти вероятность того, что в пяти выстрелах стрелок 1 раз попадет в первую часть и по два раза в третью и четвертую.

Решение :

Каждый выстрел – это испытание, в котором может произойти одно из четырех событий: А_к– стрелок попал в часть мишени с номеромк, к = 1..4. По условию Р(А_к) = р_к= М*к и. Для коэффициента пропорциональностиМимем:

М*1 + М*2 + М*3 + М*4 = 1, откуда М = 0,1.

Итак, р₁= 0,1 ; р₂= 0,2 ; р₃= 0,3 ; р₄= 0,4.

Искомая вероятность есть вероятность Р(5; 1, 0, 2, 2) того, что в пяти испытаниях событие А₁произошло 1 раз, А₂– ни разу, А₃и А₄– по 2 раза. Полиномиальная формула дает ответ:

Р(5; 1, 0, 2, 2) =

Пример 4.Из урны, содержащей 3 черных и 4 белых шара, извлекают по одному с возвращением несколько шаров: а) Найти наиболее вероятное число появлений черного шара в 10-ти извлечениях; в 20-ти извлечениях. б) Сколько нужно произвести извлечений, чтобы наивероятнейшее число появлений черного шара было равно 7?

Решение :

Обозначим: А– извлечен черный шар. Тогда:р = Р(А) = 3/7.

а) для 10-ти извлечений имеем: (n+1)p= 11*3/74,7. Целая часть этого числаm₀= 4. Это и есть наиболее вероятное число появлений черного шара в 10-ти извлечениях.

Для 20-ти извлечений имеем: (n+1)p= 21*3/79. Это число целое, поэтому существуют два значенияm₀= 9 иm₁= 8, при которых вероятность Р(20;к) того, что в 20-ти извлечениях черный шар появитсякраз, достигает наибольшего значения. Найдем это значение:

Р(20;9) =

б) исходя из того, что наивероятнейшее число m₀появлений событияАявляется целой частью числа р(n+1), можно написать двойное неравенство:

np–qm₀np+p, гдеq= 1 –p.

Отсюда для nможно получить:

Для наших условий р = 3/7, q= 4/7,m₀= 7:

или 15,3 n17,6.

Таким образом, если число извлечений равно 16 или 17, то наиболее вероятное число появлений черного шара равно 7.

Пример 5.Независимые испытания продолжаются до тех пор, пока событиеАне произойдеткраз. Найти вероятность того, что потребуетсяnиспытаний (nk), если в каждом из них Р(А) = р.

Решение :

Событие В–nиспытаний док-го появления событияА– есть произведение двух таких событий:

D– вn-ом испытанииАпроизошло;

С– в первых(n–1)-ом испытанияхАпоявилось(к-1)раз.

Теорема умножения и формула Бернулли дают требуемую вероятность:

Р(В) = Р(С)*Р(D) =P(n–1;k–1)*P(A) =