- •Тема 1. Классическая формула вычисления вероятности.
- •Тема 2. Геометрическая вероятность.
- •Тема 3. Теоремы сложения и умножения.
- •Тема 4. Формулы полной вероятности и Байеса.
- •Тема 5. Повторение опытов.
- •Тема 6. Повторение опытов (при большом n).
- •Тема 7. Дискретная случайная величина.
- •Тема 8. Непрерывная случайная величина.
- •Тема 9. Нормальное распределение.
- •Тема 10. 2-мерная дискретная случайная величина.
- •Тема 11. 2- мерная непрерывная случайная величина.
- •Тема 12. Функция от случайной величины.
- •Тема 13. Функция от двух случайных величин.
- •Тема 14. Закон больших чисел.
- •Тема 15. Центральная предельная теорема.
- •Содержание:
Тема 15. Центральная предельная теорема.
Основные определения и формулы:
Пусть случайные величины Х1, Х2, … Хn, … – независимы и одинаково распределены, причемM(Xk) =m,D(Xk) =2. Тогда имеет местоцентральная предельная теорема(Ц. П. Т.) т.е.
При решении задач используют другую формулировку Ц.П.Т.
Если Х1, Х2, … Хn– независимые, одинаково распределенные СВ, причемM(Xk) =m,D(Xk) =2, то их суммаY=Xkпри достаточно большомnимеем приближенно нормальное распределение с параметрамиmnиn. Другими словами:
где (х) – функция Лапласа.
Замечание:Интегральная теорема Лапласа есть частный случай Ц.П.Т.
Решение типовых примеров:
Пример 1.Страховая компания застраховалаnчеловек одного возраста сроком на 1 год. Для этого возраста известна вероятность смерти (в течении ближайшего года) и вероятность травмы: 0,00001 и 0,0001 соответственно. Стоимость страховкиL$, в случае травмы клиенту выплачиваетсяa$, в случае смерти –A$. Найти вероятность того, что компания получит прибыль не менееQ$.
Решение :
Рассмотрим СВ Хк– выплатык-му клиенту, к=1..n. ее ряд распределения:
Хк |
0 |
а |
А |
Р |
0,99989 |
0,0001 |
0,00001 |
Найдем ее числовые характеристики:
m = M(X) = 0,0001a + 0,00001A;
2=D(X) = 0,0001а2+ 0,00001А2–m2.
Т.к. клиенты умирают и травмируются, вообще говоря, независимо один от другого, то случайные величины Х1, Х2, … Хn– независимые и к ним применима Ц.П.Т.
Суммарные выплаты компании клиентам Y=Xkимеют приближенно нормальное распределение с параметрамиmnиn.
Доходы компании формируются из страховых взносов и составляют Ln$.
Разность Ln–Y– это прибыль компании. Найдем (приближенно) вероятность того, что прибыль будет не менееQ$:
Пример 2.Участник лотереи вычеркивает 5 чисел из 36 (5 из которых выигрышные). При совпадении 3-х чисел выигрыш составляет 3$, 4-х – 50$ и 5-ти – 500$. Найти границы практически возможных выплат по лотереи, если в ней участвуютп= 10.000 человек.
Решение :
Обозначим через Хк– выплатык-му участнику. Возможные значения этой ДСВ: 0, 3, 50 ,500. Соответствующие им вероятности можно найти, используя классическое определение вероятности, например:
Ряд распределения и числовые характеристики ДСВ Хк:
Хк |
0 |
3 |
50 |
500 |
Р |
р0 |
0,012344 |
0,000411 |
0,000003 |
В силу Ц.П.Т. суммарные выплаты по лотерее Y=Xkимеют приближенно нормальное распределение с параметрами:
mn= 590$,
n= 434,4$.
Применяя к СВ Y“правило 3-х сигма”, получим границы практически возможных выплат:
верхняя граница = 590 + 3*434,4 = 1893$
нижняя граница = 0.
Пример 3.В условии предыдущего примера определить минимальное число участников, при котором лотерея не принесет убытка организаторам, если стоимость одного билета 0,3$.
Решение :
Искомое число можно найти из неравенства:
,
где mинайдены ранее. Имеем
Итак, уже 293 участника обеспечат организаторам отсутствие убытков.
Содержание:
Тема 1. Классическая формула вычисления вероятности.
Тема 2. Геометрическая вероятность.
Тема 3. Теоремы сложения и умножения.
Тема 4. Формулы полной вероятности и Байеса.
Тема 5. Повторение опытов.
Тема 6. Повторение опытов (при большом n)
Тема 7. Дискретная случайная величина.
Тема 8. Непрерывная случайная величина.
Тема 9. Нормальное распределение.
Тема 10. 2-мерная дискретная случайная величина.
Тема 11. 2-мерная непрерывная случайная величина.
Тема 12. Функция от случайной величины.
Тема 13. Функция от двух случайных величин.
Тема 14. Закон больших чисел.
Тема 15. Центральная предельная теорема.
Список рекомендуемой литературы.