- •Тема 1. Классическая формула вычисления вероятности.
- •Тема 2. Геометрическая вероятность.
- •Тема 3. Теоремы сложения и умножения.
- •Тема 4. Формулы полной вероятности и Байеса.
- •Тема 5. Повторение опытов.
- •Тема 6. Повторение опытов (при большом n).
- •Тема 7. Дискретная случайная величина.
- •Тема 8. Непрерывная случайная величина.
- •Тема 9. Нормальное распределение.
- •Тема 10. 2-мерная дискретная случайная величина.
- •Тема 11. 2- мерная непрерывная случайная величина.
- •Тема 12. Функция от случайной величины.
- •Тема 13. Функция от двух случайных величин.
- •Тема 14. Закон больших чисел.
- •Тема 15. Центральная предельная теорема.
- •Содержание:
Тема 4. Формулы полной вероятности и Байеса.
Основные определения и формулы :
Пусть событие Аможет произойти только совместно с одним из попарно несовместных событийН1, Н2, … , Нn(это имеет место, например, для полной группы событийНк, к = 1..n). Тогда:
Р(А) = Р(А/Нк).(формула полной вероятности).
Если при этом Р(А) 0, то
Р(Нm/А) =,m= 1 ..n.(формула Байеса).
Выбор подходящих гипотез Н1, Н2, … , Нnзависит от того, можем ли мы достаточно просто вычислить условные вероятности Р(А/Нк).
Решение типовых примеров:
Пример 1.Из урны, содержащей 10 черных и 5 белых шаров, извлекают один и, выяснив его цвет, добавляют в урнукшаров противоположного цвета. Чему равнок, если вероятность извлечь после этого белый шар равна 0,5?
Решение :
Обозначим через Асобытие, состоящее в том, что шар, извлеченный из урны после изменения её состава, имеет белый цвет. Это событие тесно связано с двумя гипотезами относительно цвета первого извлеченного шара:
Н1– шар, первоначально извлеченный из урны – черный;
Н2– шар, первоначально извлеченный из урны – белый;
Вероятности этих гипотез: Р(Н1) = 10/15 ; Р(Н2) = 5/15.
Осуществление гипотезы Н1, означает, что второй шар извлекают из урны, содержащей 9 (=10–1) черных и 5+к белых шаров, а появление события Н2приведет к такому составу: 4 (=5–1) белых шара и 10+к черных. Поэтому, условные вероятности:
Р(А/Н1) = (5+к) / (14+к) ; Р(А/Н2) = 5 / (14+к).
Формула полной вероятности:
Р(А) = .
По условию эта вероятность равна 0,5.
Отсюда находим к:
к = 14.
Пример 2.Вероятность попадания в цель при каждом выстреле равна 0,8. Вероятность поражения цели прикпопаданиях равна 1 – 0,3к. Найти вероятность поражения цели, если сделано 2 выстрела.
Решение :
Интересующее нас событие А – цель поражена – может произойти только совместно с одним из событий:
Н1– одно попадание в 2хвыстрелах;
Н2– два попадания.
Если Вк– попадание вк-ом выстреле, то
Р(Н2) = Р(В1В2) = 0,8*0,8 = 0,64.
Найдем условные вероятности:
Р(А/Н1) = 1 – 0,31 = 0,7 ; Р(А/Н2) = 1 – 0,32 = 0,91.
Полная вероятность события равна:
Р(А) = 0,32*0,7 + 0,64*0,91 = 0,8064.
Пример 3.На трех станках-автоматах обрабатываются однотипные детали, поступающие после обработки на общий конвейер. Первый станок дает 2% брака, второй – 7%, третий – 10%. Производительность первого станка в 3 раза больше производительности второго, а третьего – в 2 раза меньше, чем второго.
а) Каков процент брака на конвейере?
б) Каковы доли деталей каждого станка среди бракованных деталей на конвейере?
Решение :
Возьмем с конвейера наудачу одну деталь и рассмотрим событие А – деталь бракованная. Оно связано с гипотезами относительно того, где была обработана эта деталь: Нк– взятая наудачу деталь обработана нак-ом станке, к = 1..3.
Условные вероятности (в условии задачи они даны в форме процентов):
Р(А/Н1) = 0,02 ; Р(А/Н2) = 0,07 ; Р(А/Н3) = 0,1.
Зависимости между производительностями станков означают следующее: Р(Н1) = 3Р(Н2), Р(Н3) = 0,5Р(Н2). А т.к. гипотезы образуют полную группу, то Р(Н1) + Р(Н2) + Р(Н3) = 1.
Решив полученную систему уравнений, найдем:
Р(Н1) = 6/9 ; Р(Н2) = 2/9 ; Р(Н3) = 1/9.
а) Полная вероятность того, что взятая наудачу с конвейера деталь – бракованная:
Р(А) = 6/9 * 0,02 + 2/9 * 0,07 + 1/9 * 0,1 = 0,04.
Другими словами, в массе деталей, сходящих с конвейера, брак составляет 4%.
б) Пусть известно, что взятая наудачу деталь – бракованная. Пользуясь формулой Байеса, найдем условные вероятности гипотез:
Р(Н1/А) = [6/9 * 0,02] / 0,04 = 0,33 ;
Р(Н2/А) = [2/9 * 0,07] / 0,04 = 0,39;
Р(Н3/А) = 1 – Р(Н1/А) – Р(Н2/А) = 0,28.
Таким образом, в общей массе бракованных деталей на конвейере доля первого станка составляет 33%, второго – 39%, третьего – 28%.