25

Тема 1. Классическая формула вычисления вероятности.

Основные определения и формулы:

Эксперимент, исход которого невозможно предсказать, называют случайным экспериментом(СЭ).

Событие, которое в данном СЭ может произойти, а может и не произойти, называют случайным событием.

Элементарными исходаминазывают события, удовлетворяющие требованиям:

1. при всякой реализации СЭ происходит один и только один элементарный исход;

2. всякое событие есть некоторая комбинация, некоторый набор элементарных исходов.

Множество всех возможных элементарных исходов полностью описывает СЭ. Такое множество принято называть пространством элементарных исходов(ПЭИ). Выбор ПЭИ для описания данного СЭ неоднозначен и зависит от решаемой задачи.

Если элементарные исходы СЭ обладают свойством равновозможности (в силу определенной “симметрии” условий), то вероятность Р(А) любого события А определяется формулой:

Р(А) = n(A) / n ,

где n– общее число равновозможных исходов,

n(A) – число исходов, составляющих событие А, как говорят еще, благоприятствующих событию А.

Слова “наудачу”, “наугад”, “случайным образом” как раз и гарантируют равновозможность элементарных исходов.

Решение типовых примеров

Пример 1.Из урны, содержащей 5 красных, 3 черных и 2 белых шара, наудачу извлекают 3 шара. Найти вероятности событий:

А– “все извлеченные шары красные”;

В– “ все извлеченные шары – одного цвета”;

С– “среди извлеченных ровно 2 черных”.

Решение :

Элементарным исходом данного СЭ является тройка (неупорядоченная !) шаров. Поэтому, общее число исходов есть число сочетаний: n== 120 (10 = 5 + 3 + 2).

Событие Асостоит только из тех троек, которые извлекались из пяти красных шаров, т.е.n(A)== 10.

Событию Вкроме 10 красных троек благоприятствуют еще и черные тройки, число которых равно= 1. Поэтому:n(B)=10+1=11.

Событию Сблагоприятствуют те тройки шаров, которые содержат 2 черных и один не черный. Каждый способ выбора двух черных шаров может комбинироваться с выбором одного не черного (из семи). Поэтому:n(C) = = 3 * 7 = 21.

Итак: Р(А)= 10/120;Р(В)= 11/120;Р(С)= 21/120.

Пример 2.В условиях предыдущей задачи будем считать, что шары каждого цвета имеют свою нумерацию, начиная с 1. Найти вероятности событий:

D– “максимальный извлеченный номер равен 4”;

Е– “ максимальный извлеченный номер равен 3”.

Решение :

Для вычисления n(D) можно считать, что в урне есть один шар с номером 4, один шар с большим номером и 8 шаров (3к+3ч+2б) с меньшими номерами. СобытиюDблагоприятствуют те тройки шаров, которые обязательно содержат шар с номером 4 и 2 шара с меньшими номерами. Поэтому:n(D) =

P(D) = 28/120.

Для вычисления n(Е) считаем: в урне два шара с номером 3, два с большими номерами и шесть шаров с меньшими номерами (2к+2ч+2б). СобытиеЕсостоит из троек двух типов:

1. один шар с номером 3 и два с меньшими номерами;

2. два шара с номером 3 и один с меньшим номером.

Поэтому: n(E)=

Р(Е) = 36/120.

Пример 3.Каждая из М различных частиц бросается наудачу в одну изNячеек. Найти вероятности событий:

А– все частицы попали во вторую ячейку;

В– все частицы попали в одну ячейку;

С– каждая ячейка содержит не более одной частицы (MN);

D– все ячейки заняты (M=N+1);

Е– вторая ячейка содержит ровнокчастиц.

Решение :

Для каждой частицы имеется Nспособов попасть в ту или иную ячейку. По основному принципу комбинаторики для М частиц имеемN*N*N*…*N(М-раз). Итак, общее число исходов в данном СЭn=N^M.

Для каждой частицы имеем одну возможность попасть во вторую ячейку, поэтому n(A) = 1*1*…*1= 1^М= 1, и Р(А) = 1/N^M.

Попасть в одну ячейку (всем частицам) означает попасть всем в первую, или всем во вторую, или и т.д. всем в N-ю. Но каждый из этихNвариантов может осуществиться одним способом. Поэтомуn(B)=1+1+…+1(N-раз)=Nи Р(В)=N/N^M.

Событие С означает, что у каждой частицы число способов размещения на единицу меньше, чем у предыдущей частицы, а первая может попасть в любую из Nячеек. Поэтому:

n(C) =N*(N-1)*…*(N+M-1) и Р(С) =

В частном случае при M=N: Р(С)=

Событие Dозначает, что одна из ячеек содержит две частицы, а каждая из (N-1) оставшихся ячеек содержит по одной частице. Чтобы найтиn(D) рассуждаем так: выберем ячейку в которой будет две частицы, это можно сделать =Nспособами; затем выберем две частицы для этой ячейки, для этого существует способов. После этого оставшиеся (N-1) частиц распределим по одной в оставшиеся (N-1) ячеек, для этого имеется (N-1)! способов.

Итак, n(D) =

.

Число n(E) можно подсчитать так:кчастиц для второй ячейки можноспособами, оставшиеся (М – К) частиц распределяются произвольным образом по (N-1) ячейке (N-1)^М-Кспособами. Поэтому :