Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский Государственный аграрно-технологический университет им. Д.Н. Прянишникова

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Nechetkie_mnozhestva_MAI

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

06.02.2016

Размер:

1.16 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 107 8 9 10 > Следующая >>>

содержащему блок – диагональную матрицу с неприводимыми мат-

рицами Ài на диагонали. При этом, по крайней мере, одна из матриц с

двойным индексом в каждой строке, в которой они появляются – нулевая.

Теорема6. (Перрон-Фробениус).

Пусть À >=0 – неприводимая матрица. Тогда:

1. À имеет действительное положительной простое (т.е. не кратное)

собственное значение λmax, которое по модулю не меньше любого друго-

го собственного значения матрицы À (некоторые из которых могут быть

комплексными числами).

2. Собственный вектор À, соответствующий собственному значе-

íèþ λmax , имеет положительные компоненты и, по существу (с точнос-

тью до постоянного множителя), единственен.

3. Число λmax (иногда называемое корнем Перрона матрицы À) óäîâ-

летворяет условию

≥

– произвольно.

≥

≤ ≤

≥

≤ ≤

Следствие. Пусть À>=0 неприводима и пусть õ>=0 произволь-

но. Тогда корень Перрона удовлетворяет условию

≤ λ

≤

≤ ≤

Доказательство теоремы Перррона опирается на следующие факты

о положительных (nxn) матрицах:

Пусть À – положительная (nxn) матрица, λmax – ее наибольшее соб-

ственное значение, тогда

1. λmax ограничено сверху и снизу соответственно максимальной и

минимальной строчными суммами матрицы

À. Следовательно, если À –

стохастическая матрица, т.е. если ее строчные суммы равны единице, то

λmax=1.

2. Для стохастической матрицы À, →∞

, ãäå v – положи-

тельный вектор-строка, v=(v

, v , ..., v

), ∑ =

3. Для положительной матрицы А

существует положительное число

λ, нулевая вектор-строка v и ненулевой вектор-столбец w, такие, что

→∞ λ

4. λ есть наибольшее собственное значение À и называется главным

собственным значением, а w è

v – главные собственные векторы, един-

ственные с точностью до постоянного множителя.

5. w

ортогонален всем не главным собственным векторам-столб-

öàì, à v

– всем не главным собственным векторам-строкам.

6. Åñëè λi

– наибольшее собственное значение À, причем

λ ≠ λ

≠

è åñëè wi – правый собственный вектор,

соответствующий λi, òî

→∞

Теорема 7.

∑

≤ λ

≤

∑

≤ λ

≤

∑

Неравенство имеет место, когда суммы не одинаковы.

2.	λ	=
3.	λ	=

→∞

	∑			∑
=		=	=		.
=			=
>			>

∑

4. λ

Доказательство.

Компоненты вектора Àå представляют собой суммы строк матри-

öû À. Пусть наибольшая сумма строк есть Ì, а наименьшая – m. Тогда

me≤Àå≤Ìå , а равенство имеет место только при m=Ì.

Èç

выражения

= λ

имеем

= λ

≤ λ

≤

. Если теперь разделить неравенство на положи-

тельное число ve, то получим

≤ λ

≤

, причем равенство вновь

будет иметь место, если m=M. Аналогично для сумм столбцов.

Доказательство (2) получается либо из выражения

→∞

ëèáî èç λ +

+λ =

. Пусть во втором случае λ

= λ

тогда λ

+ λ

, ïðè

→ ∞ ,

→

. Остальная часть доказательства не приводится.

Теорема 8. Если

À – положительная (nxn) - матрица, у которой сум-

ма элементов каждой строки равна единице, то существует положитель-

íàÿ

вектор-строка

v, ∑

такая,

÷òî

→∞

ãäå

e=(1,1,...,1)T. =

Доказательство. Пусть y0 – любой n-мерный вектор-столбец. Опре-

делим

=Àmy

и пусть a

è b

– максимальная и минимальная компо-

ненты ym

соответственно. Пусть a – минимальный элемент матрицы À.

Òàê êàê ym+1=Aym, любая компонента вектора ym+1

получается умноже-

нием строки À íà óm

, и, следовательно, имеем следующие границы для

произвольной компоненты с вектора óm+1:

− α + α ≤ ≤ α + − α

Это неравенсто остается в силе для наибольшей и наименьшей ком-

понент

, откуда

≤ α

−α

(следовательно, àm

монотонно возраста-

åò) è

− α

+ α

≤

(следовательно bm

монотонно убывает),

èëè

−

≤ − − α − α

+ − + < − α

−

Отсюда по индукции получаем

. Так как правая часть этого нера-

−

≤

−

венства стремиться к нулю, то àm èbm

сходятся к общему пределу, и, следо-

вательно, все компоненты óm приближаются к нему же, т.е.

→∞

ïðè

≤

(равенство имеет место только при à0=b0). Пусть

≠

Тогда

ym åñòü i-й столбец

матрицы Àm, и , как уже установлено

→

, причем b0=0,

ci >b0=0. Следовательно, →∞

Отметим, что поскольку каждая

строчная сумма Àm равна единице, то ∑ = .

Теорема 9. Если À – положительная (nxn) матрица, то

ãäå λ – положительная постоянная, v – ненулевая вектор-строка, а w –

ненулевой вектор-столбец.
Краткое доказательство.
Пусть =	=		≥	i=1,...,n,	∑ = , ò.å.
fx=1}, ãäå f=(1,1,1...,1).					=
					=
Рассмотрим отображение		=			Это отображе-
Рассмотрим отображение		=			Это отображе-

ние положительно: так как fx=1, òî õ имеет ненулевую компоненту, и,


следовательно, Àõ>0 è fAx>0. Далее	=	=	, и поэто-
	=	=

ìó Ò отображает S â S. Òàê êàê Àwнепрерывна, по теореме Брауера о неподвижной точке найдется точка , что

=. Поскольку левая часть положительна, w – ïîëî-

жительна и λ =

. Следовательно, Àw=lw, l>0, w>0. Наконец,

пусть D – диагональная матрица ñ dij=wi è dij=0,

≠

. Òàê êàê w>0,

D имеет обратную матрицу D-1, также диагональную, с диагональными

элементами

1/wi, ò.å. w=De è

−

Отсюда следует, что суммы строк матрицы

−

равны

единице, т.е. это матрица – стохастическая, и, исхîдя из предыдущей тео-

ремы, найдется такая вектор-строка V*, ÷òî

= →∞

, (т.е. строки

−

предельной матрицы все одинакîвы), откуда непосредственно получаем

− =

−

→∞

Теорема 10. v è w – собственные векторы матрица À, соответствующие собственному значению l.

Доказательство.

λ	= λ	λ	=	λ	+ + =
откуда имеем Àwv=λwv		è Awve=λwve, è òàê êàê ve постоянная, то
		→∞		→∞

Aw=λw. Аналогично vA=λv.
Следствие. Векторы v è w положительны.
Доказательство.
Из равенства Aw=λw имеем (1/l)Aw=w. Òàê êàê λ, À – положи-
тельны, а w – неотрицателен (с некоторыми ненулевыми компонентами),
все компоненты левой части равенства положительны, и, следовательно,
w – положителен; аналогично для v.
Теорема 11. Все собственные векторы, соответствующие собствен-
ному значению λ, являются постоянными множителями w è v.
Доказательство. Если Àu=λu, òî			= λ	, à	λ	=
äëÿ âñåõ k. Ïðè k→ ∞		имеем wvu=u. Аналогично для векторов-строк.
Теорема 12. Модуль любого другого собственного значения h ìàò-
ðèöû À удовлетворяет неравенству \|h\|<l.
Доказательство.
Åñëè Àh=hu, òî Àku=hku, à (1/λ)kAku=(h/λ)ku. Переходя к преде-
ëó ïðè k→ ∞ , имеем
= →∞	λ	, и предел в правой стороне должен существо-

вать, что возможно только при h=λ èëè |h|<λ, причем в последнем слу- чае предел равен нулю. Собственное значение λ есть главное собственное значение матрицы А, которое обозначается λ , а v и w – главные собственные векторы матрицы А. max v(w)

Следствие. Главный собственный вектор-строка (столбец) – ортогонален ко всем не главным собственным векторам-столбцам (строкам) матрицы А.

Доказательство. wvu=0

Рассмотрим равенство из доказательства предыдущей теоремы. Так как w>0, имеем vu=0, и, следовательно, v ортогонален векто-

ру-столбцу u. Аналогичный аргумент можно использовать, чтобы пока-
зать ортогональность w ко всем не главным собственным векторам-стро-
кам матрицы À.
Следствие. vw=1.
Доказательство. В условиях теоремы пусть u=w, тогда h=λ,
wvw=w. Òàê êàê vw	– число, получаем vw=1.
Замечаем, vw есть след матрицы wv, и, следовательно, этот след
всегда равен единице.
Замечание. Система ∑		=	=	ãäå aij≥0, dij>0,
	=
имеет неотрицательное решение xj≥0, j=1,..., n, åñëè
>	>		>	>

Теорема 13. Если À – неотрицательная неприводимая матрица, то значение λ возрастает с увеличением любого элемента a .

Доказательствоmax . Пусть À – неотрицательная матрица,ij определим Â(p)=pI-A, ãäå ð – действительный параметр. Пусть Ì – множество всех

ð, для которых существует и не отрицательна обратная матрица(ðI-À)-1.

Множество Ì непусто для õ>0 и остается таким для сравнительно большого ð, ðõ>Ax, ò.å. ðõ-Àõ>0, и это условие обеспечивает существование неотрицательного решения и эквивалентно вышеописанному условию на главные миноры. Так как Ì зависит от À, обозначим его Ì(À).

Пусть À – неотрицательная матрица, определим Â(r)=rI-A, ãäå r – действительный параметр. Пусть Ì – множество всех r, для которых существует не отрицательная квадратная матрица (rI-A)-1. Множество Ì непусто для õ>0 и остается таким для сравнительно большого r, rõ>Aõ, ò.å. rõ - Àõ>0, и это условие обеспечивает существование неотрицательного решения и эквивалентно вышеописанному условию на главные миноры. Так как Ì зависит от À, обозначим его Ì(À).

Пусть À/>=A//>=0. Тогда Ì(À/)Ì Ì(À//). В самом деле, заме-

òèì, ÷òî åñëè r Ì(À/), òî (rI- À/)x>0 для некоторого õ>0 è òàê êàê rI-

À/ >=rI- À/, (rI-À//)x>0

для того же самого õ, и, следовательно, r

Ì(À//). Теперь максимальное собственное значение λmax матрицы À>0

åñòü

, для которого (rI- À/)-1 существует, т.е. это первое значение,

для которого |rI-À/|=0, ибо все другие собственные значения не превос-

ходят λmax. Поэтому

λmax(À/)= ρ

≥ ρ

′′ =λmax(À//).

Следовательно,

λmax– монотонная функция À.

Ниже показан важный результат, который заключается в том, что

собственный вектор, соответствующий

λmax, представляет собой норма-

лизованные суммы элементов строк предельной матрицы в точности k-й

степени Àk

матрицы À (а не суммы всех степеней À).

Теорема 14.

→∞

ãäå À>0, w1 – главный собственный вектор, сответствующий макси-

мальному собственному значению λ1, λi≠λj äëÿ âñåõ i è j, wi – правый

собственный вектор, соответствующий

λi, à ñ – постоянная.

Доказательство

e=a1w1+...+anwn, ãäå ài, i=1,...,n – постоянные.

= λ

+ + λ

= λ

+ λ λ

= λ

+ λ λ + + λ λ

Òàê êàê w1>0, b≠0, что и требовалось доказать.

Обобщим эту теорему.

Неотрицательная неприводимая

матрица А примитивна тогда и

только тогда, когда существует целое m≥1, такое, что Аm>0. В противном случае матрицу называют импримитивной. Граф примитивной матрицы имеет длину пути между любыми двумя вершинами ≥ m.

Известно, что неотрицательная неприводимая матрица А примитивна тогда и только тогда, когда À имеет единственный характеристический корень с максимальным модулем, и этот корень имеет кратность, равную единице. À

Теорема 15. Для примитивной матрицы

	=	=	, ãäå ñ – постоянная, а w – собственный


→∞

вектор, соответствующий λmax ≡ λ1. Доказательство.

Допустим À>0. Рассмотрим жорданову каноническую форму Â матрицы À. Тогда для некоторой невырожденной матрицы N

−

=Â,

ãäå Âi, i=2, ..., r åñòü mi x mi жорданова блочная форма, которая
имеет вид
	λ
	λ
=		, ãäå l2, ..., lr – различные собственные зна-
	λ
		λ

чения с кратностями m2, mr соответственно, а + ∑ = – размер-

ность матрицы À. Выбираем соответствующие базисные= векторы для каждого подпространства жордановой формы

Отметим, что Âi=λiI+u,

è = λ + λ − + λ − + + , ãäå uk – нулевая

матрица, если k>=n, à åñëè k<n – диагональ единиц в u, сдвинутая вниз на каждую дополнительную степень u.

Например,

=L L L

Теперь пусть
=	+	+	+ +	+	+ +	,

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 107 8 9 10 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке ТИПиС

#
06.02.20161.16 Mб29Nechetkie_mnozhestva_MAI.pdf
#
06.02.201639.94 Кб20Voprosy_k_ekzamenuTIPiS2013.doc