Определение 14. Если при всех определенных значениях степени истинно-

сти нечетких переменных

, значение сте-

пени истинности нечеткой логической формулы

(

) больше или равно 0,5, то формула

является нечетко истинной на данных наборах перемен-

ных и обозначается через

. Если значение степени ис-

тинности меньше или равно 0,5, то такую формулу будем

называть нечетко ложной на данных наборах переменных

и обозначим

.

Пусть

,

,

,

– некоторые нечетко истинные и нечетко

ложные формулы на одних и тех же наборах переменных, тогда справедли-

вы следующие соотношения.

≈

≈

≈

&

≈

≈

≈

&

&

≈

≈

Åñëè

1,

2

– произвольные нечеткие логические формулы, то

справедливы соотношения:

1

≈

2

1 &

≈

2 &

,

ãäå

1,

2

,

,

,

,

определены на одних и тех же набо-

рах переменных.

Пример 8. Приведем простейший пример нечетко истинных и нечет-

ко ложных формул.

=

& ←

.

=

← .

Это следует из определения операций отрицания, конъюнкции и

дизъюнкции , т.к.

& ← ≤

0,5,

←

≥ 0,5.

Тождества позволяют определить класс нечетко близких формул, не

имеющих аналогов в нечеткой логике.

Утверждение 1.

Если нечеткая логическая формула

1(

)

представлена в виде

1(

)= f1 & (

& ←

), à

2(

)=f2

& (

& ←

), ãäå f1 è f2

– некоторые

нечеткие формулы от переменных

, à

– нечеткие

переменные из набора

, то можно утверждать, что

1(

) ≈

2(

).

Соотношения, справедливые для любых наборов значений истин-

ности нечетких переменных.

Пусть

– нечеткие логические формулы.

(1)

← ← ≈

(2)

&

≈

≈

(3)

&

≈

&

≈

(4)

&

&

≈

&

&

≈

&

&

≈

≈

(5)

&

≈

&

&

&

≈

&

(6)

←

&

≈ ← ←

←

≈ ←

& ←

(7)

&

≈

,

&

≈

(8)

&

≈

(9)

&

&

≈

&

(10)

& ¬

≈

& ¬

(11)

¬

≈

¬

(12)

& ¬

&

¬

≈

& ¬

←

& ←

≈

←

(13)

→

≈ ¬ → ¬

(14)

¬

→

≈ ¬

→

≈

(15)

→

¬

≈

& ¬

→

(16)

& ¬

→

≈

& ¬

→

Кроме того, пусть 0, ñ, 1

– константы и 0<c<1, тогда

&

≈

&

≈

≈

≈

&

≈

≤

≥

≤

≈

≥

Для доказательства каждого из выражений необходимо показать, что

степень равносильности

образующих его формул

áîëü-

ше или равно 0,5.

Это возможно тогда, когда формулы

принимают одни и те же

значения степени истинности на одинаковых наборах переменных, либо

имеют степень истинности одновременно меньше или равно0,5

или больше

или равно

0,5 на одинаковых наборах переменных.

Докажем формулу

(6)

¬

&

≈ ¬

¬

; обозначим

= ¬ &

,

= ¬ ¬ .

=

−

,

=

−

−

. Åñëè

<

, тогда

d(

)=

−

è d(

)=

−

, ò.å. ïðè âñåõ

степени

истинности формул

è

совпадают, откуда следует

≥ 0,5.

Åñëè

>

, òî d(

)=

−

, d(

)=

−

, îò-

куда следует

≥ 0,5.

Åñëè

=

, òî

d(

)= −

, d(

) =

− , îò-

куда следует

≥0,5.

1.5. Нечеткие предикаты и кванторы

Определение 15. Нечеткие логические формулы, которые определены на

каком-либо множестве Х

и принимают свои значения из

замкнутого интервала [0, 1] называют нечетким преди-

катом.

Например,

– функция принадлежности является одноместным

нечетким предикатом.

Пример 9. Õ={1, 2, 3, …, 10}, тогда нечеткий предикат "быть

небольшим числом" принимает следующие значения:

(1)=1,

(2)=0,9,

(3)=0,7,

(4)=0,5,

(5)=0,1,

(6)=0,

(7)=0,

(8)=0,

(9)=0,

(10)=0 и фактически задает нечеткое множе-

ñòâî

={(1; 1), (2; 0,9), (3; 0,7), (4; 0,3), (5; 0,1)} в множестве Õ.

Пусть областью определения нечеткого предиката

является мно-

жество Õ={õ1 , õ2

, õ3

, …, õn}, тогда для каждого õ

Õ может быть

вычислено значение

(õ) предиката

(õ).

Определение 16. Величина

=

(õ1)&

(õ2)&

(õ3)&…

&

(õn ) =

называется степенью общности

свойств (õ)

для элементов множества

Õ.

Åñëè

≥

0,5, то на логическую формулу

(õ) может быть

навешан квантор нечеткой общности , который читается "для всех" или

"для любого".

Определение 17. Величина ν

= (õ ) (õ )

(õ )

(õ ) =

1

2

3

n

=

называется степенью существования свой-

ñòâà

(õ) для элементов множества

Õ.

Åñëè ν

≥0,5, то на логическую формулу

(õ) может быть на-

вешан квантор нечеткого существования

, который читается

"ñóùå-

ствует такой" или "имеется такой".

Пусть

(õ) – нечеткая логическая формула от одной переменной,

принимающей значения из Õ. Выражение ( õ

Õ)

(õ) является не-

четко истинной формулой и читается "для любогоõ

Õ степень истинно-

ñòè

(õ) больше или равно

0,5".

2.1. Нечеткое включение и нечеткое

равенство множеств

Òàê æå êàê

над четкими множествами

определяются отношения

включения, равенства, операции объединения, пересечения, дополнения,

и т.д., определяются они и над нечеткими множествами, только делается

это при помощи функции принадлежности.

Определение 1. Пусть заданы нечеткие подмножества

множества

Õ. Степень включения ν (

) нечеткого множества

в нечеткое множество

находится по формуле

(

)= &

→

, ãäå

ν

понимаются как нечеткие высказывательные переменные,

→ – импликация, &

– операция конъюнкции, которая

берется по всем

õ

Õ.

Åñëè ν (

)≥ 0,5, òî

нечетко включается в множество и

обозначается

. Åñëè ν (

)≤ 0,5, то нечетко не включается

в множество

и обозначается

. Это понятие является

обобщением понятия включения для чеòêих множеств. Действительно,

пусть À è

B – четкие множества и À Â, отсюда следует ν

(À,Â)=1.

Åñëè æå À Â, òî

ν (À,Â)=0.

Пример 1. Õ={õ1, õ2, …,õn}.

={(õ2;0,3), (õ3;0,6),

(õ5;0,4)},

={(õ1;0,8), (õ2;0,5), (õ3;0,7), (õ5;0,6)}, тогда

ν(

)

=(0

→0,8)&(0,3→0,5)&(0,6→0,7)&(0,4→0,6)=

=1& 0,7&0,7&

1&0,6= 0,6.

Аналогично можно вычислить ν (

)=0,2, откуда следует

, íî

.

Определение 2. Множество

включается во множество

—

åñëè

õ Õ, À

(õ) ≤ Â (õ).

Справедливо следующее утверждение: если нечеткое множество

включается в нечеткое множество

(см. определение 2), то выполняется

и нечеткое включение

.

Действительно, пусть выполняется

õ Õ, À

(õ) ≤ Â (õ),

докажем, что

ν (

)≥

0,5. Åñëè

À

(õ)

≤ Â

(õ) ≤ 0,5, òî

ν(

)=( À (õ1) → Â(õ1 ))& ( À(õ2 )→ Â

(õ2 ))&…( À

(õn

)→ Â (õn))=

=(max(1- À

(õ1 ),

 (õ1 )))& (max(1-

À

(õ2

),

Â

(õ2 )))&…

&

(max(1-

À (õn ),

Â

(õn ))) = (1- À

(õ1 ))&

(1-

À

(õ2 ))& …

&

(1- À

(õn )). Из определения операции конъюнкции следует, что

результат будет минимальным из всех (1- À

(õi)), i=1..n. А поскольку

äëÿ

õ

Õ À (õ)≤ 0,5, òî ν

(

)≥0,5.

Åñëè

0,5<

À (õ) ≤ Â

(õ), òî

ν (

)=( À ( õ1

) →

 ( õ

))& ( À

(õ2

) → Â

(õ2

))& …

&

( À (õn )→

Â

(õn ))=(max(1- À (õ

),

 (õ1 ))) &

&

(max(1- À (õ2), Â(õ2)))&... &

(max(1- À (õn),

 (õn))) =

=( Â (õ1)) & ( Â

(õ2)) & …& ( Â(õn)).

Òàê êàê äëÿ õ

Õ

Â

(õ)>0,5, òî

ν (

)>0,5.

То есть, для любых ν

(

)≥0,5

для любых значений функций

принадлежности

(õ) è

(õ),

õ

Õ.

À

Â

Если же выполняется ν(

)≥0,5, то из этого не следует, что

õ Õ, À

(õ) ≤ Â (õ). Действительно,

ν (

)=( À

(õ1) → Â(õ1))&

( À

(õ2) → Â

(õ2))& …( À(õn) →

 (õn))=

=(max(1- À (õ1),

 (õ1)))& (max(1- À

(õ2), Â

(õ2))) &…

&(max(1- À

(õn),

 (õn))), òàê êàê ν (

)≥ 0,5, то по определению

операции конъюнкции минимальное, а значит и все остальные значения

выражений max(1-µ À

(õi ), µ Â (õi ))≥0,5. Однако заметим, если,

например µ À (õi )=0,3, à

µ Â (õi )=0,2, òî max(1-µ

À (õi ), µ Â (õi ))≥0,5,

íî

µ À (õi )≥ µ Â (õi ). То есть, включение множества

во множество

не гарантирует

нечеткого включения, а является лишь достаточным

условием нечеткого включения.

Определение 3. Степень равенства двух нечетких подмножеств

множества Õ определяется как

µ (

), ãäå

µ (

)= & (µ À

(õ) ↔µ Â (õ)).

Åñëè µ (

)≥0,5, то множества нечетко равны

≈ . Åñëè

µ (

)≤0,5, то множества нечетко не равны

. Åñëè

µ (

)=0,5, то множества взаимно индифферентны

~ .

Понятия нечеткого равенства и неравенства, ндифферентности

являются обобщением понятий равенства и неравенства для четких

множеств. Действительно, пусть À è Â

– четкие множества, тогда в случае

À=Â, µ

(À,Â)=1, åñëè æå À≠ Â è µ (À,Â)=0.

Пример 2.

Õ={õ1, õ2, õ3, …, õ5

},

={(õ2; 0,8), (õ3; 0,6), (õ5; 0,1)},

={(õ1; 0,3), (õ2; 0,6), (õ3; 0,7), (õ4; 0,2), (õ5; 0,3) }.

µ(

)=(0↔0,3)&(0,8↔0,6)&(0,6↔0,7)&(0↔0,2)&(0,1↔0,3)=

=0,7&

0,6& 0,6& 0,8& 0,7=0,6, откуда следует

≈ .

Преобразуем степень равенства µ (

)= &

(µ À (õ) ↔µ Â õ))=

= &

((µÀ (õ) →µÂ(õ))& (µ  (õ) →µ À (õ))), ввиду коммутативности

конъюнкции (

)=(

(µÀ (õ)→µÂ(õ)))&

&