Определение 8. Разностью нечетких множеств называется множество |
|||||||||||||||
|
|
|
|
\ |
={õ, µ À\ Â (õ)}, õ Õ, функция принадлежности |
||||||||||
|
|
|
|
элементов к которому определяется как |
|||||||||||
|
|
|
|
µ À \ Â (õ) = =µ |
À & µ |
Â(õ). (cì. ðèñ.5) |
|||||||||
Определение 9. Симметрической разностью |
|
|
|
называется множе- |
|||||||||||
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
ñòâî |
|
|
|
= {<x; µ À |
 (õ)>}, |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
µ À |
|
|
|
µ À\ Â (õ) µ |
|
|
||||
|
|
|
|
ãäå |
 (õ)= |
Â\ À (õ). |
|
||||||||
|
|
|
Пример 4. |
={(õ1; 0,3), (õ3; 0,8), (õ6; 0,4)}, |
|||||||||||
={(õ1; 0,9), (õ2; 0,2), (õ3; 0,4), (õ4; 0,5)}. |
|
|
|||||||||||||
|
={(õ1; 0,9), (õ2; 0,2), (õ3; 0,4), (õ4; 0,5), (õ6; 0,4),}. |
||||||||||||||
|
={(õ1; 0,3), (õ3; 0,4)}. |
|
|
|
|
|
|
||||||||
={(õ1; 0,7), (õ2; 1), (õ3; 0,2), (õ ; 1), (õ5; 1), (õ6; 0,6), (õ7; 1)}. |
|||||||||||||||
\ |
|
={(õ1; 0,1), (õ3; 0,6), (õ6; 0,4)}. |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
={(õ1; 0,7), (õ2; 0,2), (õ3; 0,2), (õ4; 0,5), (õ6; 0,6)}. |
||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||
Определение 10. Выпуклой комбинацией множеств |
À1, À2 , … Àn íàçû- |
||||||||||||||
|
|
|
|
вается нечеткое множество À |
с функцией принадлежнос- |
||||||||||
|
|
|
|
òè |
µ À |
(õ) = ∑λ i µ i(x), ãäå |
λ i ≥0, i=1, 2, 3, …. n, è |
||||||||
|
|
|
|
∑λ i=1. |
|
|
|
|
|
|
|||||
Определение 11. Множеством уровня α |
нечеткого множества в Õ, íà- |
||||||||||||||
|
|
|
|
зывается множество в обычном смысле, составленное из |
|||||||||||
|
|
|
|
элементов õ Õ, степени принадлежности которых нечет- |
|||||||||||
|
|
|
|
кому множеству |
À больше или равны α. |
||||||||||
|
|
|
|
Àα={õ |
| õ Õ, |
µ À (õ) |
≥ α}. |
|
|||||||
2.3. Основные свойства нечетких множеств |
|||||||||||||||
1. |
|
|
( |
) ≈ |
инвалюция |
|
|
|
|
|
|
||||
21
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
|
|
|
|
≈ |
|
|
идемпотентность |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
≈ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
≈ |
|
|
|
коммутативность |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
≈ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
( |
|
|
|
|
|
)≈( |
|
|
) |
≈ |
|
|
|
аcсоциативность |
||||||||||||||
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
)≈( |
|
|
) ≈ |
|
||||||||||||||||
|
( |
|
|
|
|
|
)≈( |
|
|
) ( |
|
|
) дистрибутивность |
||||||||||||||||
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
)≈( |
|
|
) |
( |
|
|
) |
|
|
|
||||||||||
( |
|
|
|
|
|
|
) ≈ |
|
|
|
|
законы де Моргана |
|||||||||||||||||
( |
|
|
|
|
|
|
) |
|
≈ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
≈ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
≈ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
≈ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
≈ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
( |
|
|
|
|
|
) ( |
|
|
|
)≈ |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
( |
|
|
|
|
) |
( |
|
|
|
)≈ |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
\ |
|
|
≈ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
( |
≈ |
|
|
|
|
|
)≈( |
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
≈ |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
≈( |
|
|
\ |
|
) ( \ |
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
( |
|
|
|
|
|
)≈( |
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
)≈( |
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
||||
( |
|
|
|
|
( |
|
|
))≈(( |
|
|
|
) |
) |
|
|
|
|||||||||||||
(( |
|
|
|
|
|
) |
|
|
( |
|
|
))≈(( |
|
|
) |
|
|
( ) |
|||||||||||
22
18. |
≈ |
≈ |
19. |
Õ≈Õ |
Õ≈ |
|
Перечисленные выше основные свойства нечетких множеств еще |
|
не являются системой аксиом. Строгая же система аксиом, адекватная, в |
||
частности, алгебре нечетких множеств была сформулирована за 7 лет до |
||
их возникновения. Сооответствующая алгебраическая структура опреде- |
||
ляется на множестве Õ с двумя системами операций: <Õ, +, *, , 0,1> |
||
èëè |
<Õ, , , , 0,1>, ãäå x y=(x+ y)*y, x y=(x* y)+y |
|
(символы операций выбраны для простоты формулировок, их не следует |
||
воспринимать буквально, как соответствующие арифметические или ло- |
||
гические операции). |
|
|
|
Система аксиом |
|
4. Задачи принятия решения на базе нечеткой |
||
|
|
логики |
В [3] выделяется несколько типов задач принятия решений на базе нечеткой логики.
2. |
x +ù(y + z) = (x + y) + z |
|||||||||
3. |
x+ |
x = 1 |
|
|
|
|
||||
4. |
x + 1 = 1 |
|
|
|
|
|
||||
5. |
x + 0 = x |
|
|
|
|
|
||||
6. |
(x +ùy)ù |
= |
ù x * ù y |
|
|
|||||
7. |
x = |
|
( |
x) |
|
|
|
|
||
8. |
0 = 1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Ú |
|
|
|
Ú |
|
|
|
|
9. |
x |
Ú y =Úy |
|
x |
Ú |
|
Ú |
|||
10. |
x |
|
(y Ù z)= (x |
|
y) |
Ù z |
||||
11. |
x + (y |
z) = (x + y) |
(x + z) |
|||||||
2'.
3'.
4'.
5'.
6'.
9'.
10'.
11'.
x * (y * z) = (x * y) * z |
||||||||||||||
|
|
ù |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x * |
|
x = 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
x * 0 = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
x * 1 = x |
ù |
|
|
ù |
|
|
|
|
||||||
(x * y) = |
|
x + |
|
|
y |
|
|
|||||||
|
Ù |
|
|
|
|
Ù |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
Ù y =Ùy |
|
|
x |
|
Ù |
|
Ù |
|
|||||
x |
|
(y |
|
z)= (x |
|
|
y) |
|
z |
|||||
|
|
|
|
Ú |
|
|
|
|
|
|
|
Ú |
|
|
x * (y |
|
z)=(x*y) |
(x * z) |
|||||||||||
Эта система аксиом полна. Подалгебра ВХ тех элементов из Õ, для которых õ + õ = õ (или, что равносильно õ*õ=õ), является булевой
алгеброй, в которой x + y = x y, x*y = x y.
Связь с нечеткими множествами становится ясной после рассмотрения класса примеров таких алгебр, образованного множествамиS действительных чисел между 0 è 1, удовлетворяющими условиям (двойные
23
++, -- обозначают обычные арифметические операции):
1. 0 S è 1 S;
2. åñëè x, y S, òî min(1, x++y) S;
3. åñëè x, y S, òî max(0, x++y – 1) S;
4. åñëè x S, òî 1—x S.
Операции в S определяются следующим образом:
x + y = min(1, x++y), x*y = max(0, x++y – 1), x = 1 - x, x y = max(x,y), x y=min(x,y).
Без труда проверяется, что так определенная структура удовлетворяет приведенным аксиомам, но не аксиомам булевой алгебры. Сформулированным условиям 1 – 4 удовлетворяют различные конкретные множества, например, S={0,1}; S=[0,1]; S={все рациональные числа между 0 и 1}; S(m)={все рациональные числа вида n/m для некоторого фиксированного натурального m и целых 0≤ n ≤ m}, с операциями
Нечеткое подмножество À универсального множества U может быть определено функцией принадлежности (À,õ) Õ, ãäå Õ удовлетворяет требуемым аксиомам (традиционно Õ=S=[0,1]); (U,u) = 1. Операции над нечеткими множествами определяются в терминах их функций принадлежности и сводятся (“поточечно”) к операциям над значениям последних, то есть к операциям в Õ.
Операции , +, * в случае Õ=S =[0,1] и являются известными в
теории нечетких множеств дополнением, граничными суммой и произведением, менее популярными, чем , , но находящими свое обоснование в новом контексте. Вне этого контекста, (в частности, в рамках булевой алгебры) непосредственную связь между операциями , и над нечеткими множествами установить затруднительно.
24
3. Нечеткие соответствия и отношения
3.1.Способы задания нечетких соответствий
Определение 1. Нечетким соответствием между множествами Õ è Y íà- |
|||||
зывается и через |
= (Õ, Y, |
) обозначается тройка |
|||
множеств, в которой X, Y – произвольные четкие множе- |
|||||
ñòâà, |
- нечеткое множество в ÕõY. Подобно названиям |
||||
элементов четкого соответствия множество Õ называют |
|||||
областью отправления, множество Y- областью прибы- |
|||||
òèÿ, à |
– нечетким графиком нечеткого соответствия. |
||||
Назовем носителем нечеткого соответствия |
= (Õ, Y, |
) ñîîò- |
|||
ветствие Ã = (X, Y, F), у которого график F является носителем нечетко- |
|||||
го графика . |
|
|
|
|
|
Нечеткое соответствие может быть задано теоретико-множествен- |
|||||
но, графически и в матричном виде. |
|
|
|
|
|
Для теоретико-множественного задания нечеткого соответствия не- |
|||||
обходимо перечислить элементы множеств Õ è Yи задать нечеткое мно- |
|||||
жество в ÕõY. |
|
|
|
|
|
В матричном виде нечеткое соответствие |
= (Õ, Y, |
|
) задается с |
||
помощью матрицы инциденций RÃ , строки которой помечены элемента- |
|||||
ìè xi X (i I={1, |
2, ..., n}), столбцы – элементами yi Y |
||||
(j £={1, 2, ...,m}), а на пересечении строки õi и столбца |
ój ставится |
||||
элемент rij=mF<xi,yj>, ãäå mF – функция принадлежности элементов из |
|||||
ÕxY нечеткому графику. |
|
|
|
|
|
Нечеткое соответствие можно задать в виде ориентированного гра- |
|||||
фа с множеством вершин X Y, каждой дуге <xi, yj >, которого припи- |
|||||
сано значение F<xi ,yj > функции принадлежности. |
|
|
|||
Пример 1. Зададим некоторое нечеткое соответствие |
= (X,Ó, ), |
||||
определивши X è Y êàê Õ= {õ1,õ2,...,õ5}, Y={ó1, y2, yç, y4},
25
={<0,2/<x1,y2>>, <1/<x3,y1>>, <0,4/<x3,y3>>,
<0,3/<x4,y2>>, <0,7/<x5,y2>>, <0,8/<x5,y3>>}. Матрица инциденций Rã и граф нечеткого соответствия изображены на рис. 6.
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
Рис. 6 Графическое и матричное задание нечеткого соответ- |
|
|||||||
ствия |
= (X, Ó, |
). |
|
|
|
|
|
|
Аналогично степени равенства множеств введем понятие степени |
||||||||
равенства двух нечетких соответствий. |
|
|
|
|
||||
Определение 2. Пусть |
=(X, Ó, |
), |
= (X, Ó, ) – некоторые нечет- |
|||||
|
кие соответствия между множествами Õ è Y. Определим |
|||||||
|
степень равенства |
( |
, |
) с помощью выражения |
||||
|
|
= |
& |
|
|
< |
>↔ < |
> |
|
|
< |
|
> |
|
|
Åñëè ( |
, ) ≥ 0,5, то будем полагать, что соответствия и |
|||||
нечетко равны, и обозначать это |
≈ |
. Åñëè ( , |
)≤0,5, то полага- |
|||
åì, ÷òî |
è |
нечетко не равны, и обозначаем это |
. В случае, |
|||
когда ( |
, |
)=0,5, соответствия |
è |
одновременно нечеткоравны |
||
и не равны,т.е.взаимноиндифферентны. Этообозначается |
~ . |
|||||
26
3.2. Образ и прообраз множества при нечетком соответ- |
|||||
ствии |
|
|
|
|
|
Дадим определения инверсии и композиции нечетких cоответствий. |
|||||
Определение 3. Инверсией нечеткого соответствия |
= (X, Ó, |
)îáî- |
|||
значается нечеткое соответствие |
|
, ó |
|||
которого график |
является инверсией графика |
, ìíî- |
|||
жество Y |
– областью отправления, а Õ – областью прибы- |
||||
òèÿ. |
|
|
|
|
|
Определение 4. Композицией нечетких соответствий |
= (X, Ó, |
)è |
|||
= (Y, Z, |
) называется нечеткое соответствие |
||||
|
|
, обозначаемое |
, у которого |
||
область отправления совпадает с областью отправления |
|||||
соответствия |
, область прибытия – с областью прибы- |
||||
тия соответствия |
, а графиком является композиция |
||||
графиков |
è . |
|
|
|
|
Пример 2. Пусть |
è |
— нечеткие соответствия, графы которых |
|||
определению композиции, показан на рис. 6 и рис. 7. Граф соответствия , построенного по определению композиции,показаннарис.8.
Рис. 7 Граф нечеткого соответ- |
Рис. 8 Граф нечеткого соот- |
ствия |
ветствия |
27
|
Пусть |
= (X, Y, |
) - нечеткое соответствие, а |
– нечеткое мно- |
||||||||
жество в |
Õ с функцией принадлежности . |
|
|
|
|
|||||||
|
Образом множества |
при соответствии |
|
называется нечеткое |
||||||||
множество |
|
â Y, определяемое выражением |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
> |
|
, ãäå |
|
|
|
|
|
|
= |
|
& |
< |
> . |
|
|
|
|
|
|
|
Иначе говоря, поскольку каждый элемент ó Y может соответство- |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вать нескольким элементам õ À, ãäå À – носитель множества |
, òî |
|||||||||||
значение функции принадлежности элемента |
ó нечеткому множеству |
|||||||||||
|
определяется как наибольшее из значений, получаемых с помо- |
|||||||||||
щью выбора минимального между значениями функции принадлежнос- |
||||||||||||
ти каждого õ |
À нечеткому множеству |
и значением функции при- |
||||||||||
надлежности пары (õ, ó ) |
нечеткому графику |
. Если находится образ |
||||||||||
|
четкого множества |
À при соответствии |
|
, òî |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
> |
|
, ãäå |
|
|
|
|
|
|
|
= < |
> . |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 3. Пусть дано нечеткое соответствие |
|
, граф которого |
|||||||||
изображен на рис. 6. Дано нечеткое подмножество |
|
|
|
|||||||||
|
={< 0,6/x1>,<0,9/x4>, <0,1/õ5>) множества X. Необходимо |
|||||||||||
найти образ |
при соответствии . С этой целью для каждого ó Ó |
|||||||||||
определим значение |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
= |
& < |
|
> |
|
& < |
> |
||||
|
& |
< |
> = |
; |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
= |
& < |
|
> |
|
& < |
> |
||||
28
|
|
& < |
|
> = & & & = |
||||||||
=0,2 0,3 0,1=0,3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Продолжая аналогично, находим |
|
= |
|
; |
= . |
||||||
Образом множества |
при соответствии |
= (X, Y, |
|
) является нечет- |
||||||||
кое множество |
|
|
|
|
> < |
|
> |
. |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Для образов нечетких подмножеств |
è |
|
множества Õ ïðè |
||||||||
нечетком соответствии |
|
= (X, Y, ) справедливы следующие свойства. |
||||||||||
|
Åñëè |
|
, òî |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
≈ |
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
∩ |
≈ |
|
∩ |
|
|
|
|
|
|
|
|
Åñëè |
= (X, Y, |
|
) è = |
(Y, Z, |
) – нечеткие соответствия, а |
||||||
|
|
|
их композиция, то для нечеткого множества |
â Õ имеет |
||||||||
место |
≈ |
|
|
≈ |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
По аналогии с четкими соответствиями вводится понятие прообра- |
|||||||||||
за нечеткого множества при данном нечетком соответствии. |
|
|||||||||||
|
Пусть |
= (X, Y, |
) – нечеткое соответствие, а |
– нечеткое |
||||||||
множество в |
Y с функцией принадлежности |
|
. Прообразом |
|||||||||
− |
множества |
при соответствии |
называется нечеткое мно- |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
жество |
− |
â Õ, определяемое следующим выражением: |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
> |
|
, ãäå |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
& |
|
< |
> . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Нетрудно заметить, что прообраз множества |
|
при соответствии |
|||||||||
совпадает с образом |
|
при соответствии |
− . Отсюда следует, что |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
29 |
свойства, которыми обладает прообраз нечеткого множества при соответ- |
|
ствии |
, совпадают со свойствами образа этого множества при соответ- |
ствии |
− . |
3.3. Основные свойства нечетких соответствий |
|
|||||||||
Основными свойствами нечетких соответствий являются нечеткая |
||||||||||
функциональность, нечеткая инъективность, нечеткая всюду определен- |
||||||||||
ность, нечеткая сюръективность, нечеткая биективность. |
|
|||||||||
Для четких соответствий |
|
|
свойство функциональ- |
|||||||
ности, определенное как отсутствие в графике F äâóõ ïàð âèäà |
<x, y > è |
|||||||||
<x, y2>, |
≠ |
, можно задать, используя понятие прообраза при1äàí- |
||||||||
ном соответствии. Действительно, соответствие |
|
|
нефунк- |
|||||||
ционально, если для каких-либо двух элементов y1, y2 Y имеет место |
||||||||||
∩ |
|
|
≠ |
. Отсюда в функциональном соответствии для |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
любых y1, y2 Y справедливо |
|
∩ |
= . Эти рассуждения |
|||||||
будем использовать в дальнейшем. |
|
|
|
|
|
|||||
Пусть |
|
= (X, Ó, |
) – произвольное нечеткое соответствие. |
|||||||
Запишем для каждого y Y нечеткое множество |
. |
|
||||||||
|
µ |
|
|
> |
, ãäå |
|
= < |
> |
, посколь- |
|
êó Â={y}, à |
|
= |
. Получим семейство нечетких прообразов всех эле- |
|||||||
ментов прибытия соответствия . |
|
|
|
|
|
|||||
Определение 5. Степень нефункциональности |
соответствия |
будем |
||||||||
|
|
называть величинуα |
и определим ее с помощью |
|||||||
|
|
выражения |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
α |
|
= |
|
|
µ |
& µ |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Из определения следует, что величина α |
|
совпадает с наи- |
||||||||
30