2 / ТИПиС / Nechetkie_mnozhestva_MAI

Определение 1. Упорядоченным множеством называется множество S с

бинарным отношением ≤ , которое удовлетворяет законам

рефлексивности, антисимметричности и транзнтивности:

Рефлексивность: для всех õ, õ

≤ õ.

Антисимметричность: если х

≤ ó è

ó ≤ x, òî õ=ó.

Транзитивность: если õ ≤ ó è ó ≤ z, òî x

≤ z.

Для любого отношения х

≤ ó (читается:

õ предшествует ó) такого

типа можно определить õ<ó, что означает

õ ≤

ó è õ ≠ ó.

Говорят, что ó покрывает (доминирует) õ, åñëè

õ<ó è åñëè x<t<y

невозможно ни для какого t.

Упорядоченные множества с конечным числом элементов могут

быть удобно представлены направленным графом. Каждый элемент сис-

темы представлен вершиной так, что дуга направлена от à ê b, åñëè b<à.

Определение 2. Вполне упорядоченное множество – (также называемое

цепью) есть упорядоченное множество со следующим до-

полнительным свойством: если

, òî èëè õ≤ ó

èëè

ó ≤ x. (Т.е. в данном множестве нет повторяющихся эле-

ментов)

Определение 3. Подмножество Å упорядоченного множества S называ-

ют ограниченным сверху, если существует элемент

,

÷òî

≤

для любого

. Элемент s называют верх-

ней границей Å.

Говорят, что Å имеет супремум или наименьшую верхнюю грани-

öó â S, åñëè Å имеет верхние границы и у множества верхних границ U

имеется элемент u1

такой, что

≤

äëÿ âñåõ

. Элемент u1– åäèí-

ственный и называется супремумом

Å â S.

Символ sup используется для обозначения супремума. Аналогич-

ные определения могут быть даны для множеств, ограниченных снизу,–

нижняя граница и инфимум. В этом случае используют символ inf.

Существует много способов определения иерархии. Остановимся

лишь на одном из них.

Воспользуемся обозначением х -

={ó | õ покрывает ó} è õ+ = {ó | ó

покрывает õ} для любого элемента õ

в упорядоченном множестве.

Определение 4. Пусть Í – конечное частично упорядоченное множество

с наибольшим элементом

b.

Í есть иерархия, если выполняются следующие условия.

1. Существует разбиение Í на подмножества Lk , k=1,2...h, ãäå L1={b}.

2. Èç

следует, что

−

+

=

−

.

3. Èç

следует, что

+

−

=

.

Для каждого x H существует весовая функция (сущность ее зависит

от явления, для которого строится иерархия)

− →

∑

=

−

Множества Lk являются уровнями иерархии, а функция

åñòü

функция приоритета элемента одного уровня относительно цели х.

Заметим, что даже если

− ≠

+

(для некоторого уровня

Lk), òî

может быть определена для всех Lk , åñëè-

приравнять ее к нулю для всех

элементов в Lk+1, не принадлежащих õ- .

Пример 1. Рассмотрим иерархию Í, построенную для задачи выбо-

ра руководителя из трех кандидатов (см. рис. 1, стр. 89). Элементами мно-

жества Í в данном случае являются цель задачи и факторы, на нее влияю-

щие, а также кандидаты на должность руководителя.

Í={руководитель, организационные способности, профессиона-

лизм, личная активность, коммуникабельность, внимание к подчиненным,

авторитет среди подчиненных, кандидат 1, кандидат 2, кандидат 3}.

Для иерархии выполняются все условия определения 4.

1. Существует разбиение множества Н

на подмножества L1, L2, L3

(h=3), ãäå L1={Руководитель}, L2={организационные способности, про-

фессионализм, личная активность, коммуникабельность, внимание к под-

чиненным, авторитет среди подчиненных}, L3={кандидат 1, кандидат 2,

кандидат 3}.

2. Рассмотрим õ=Руководитель L

, в этом случае x -= L

. (анало-

1

2

гичные выводы справедливы и для всех других õ).

3. Рассмотрим х=кандидат 1

L , в этом случае x += L . (аналогич-

3

2

ные выводы справедливы и для всех других х).

Определим весовую функцию для элемента õ=Руководитель. Эта

функция ставит в соответствие качествам руководителя (элементам уров-

íÿ L2.) значения из отрезка

[0, 1]

и определяет приорите этих качеств

относительно цели – "Руководитель". Весовая функция задается субъек-

тивно экспертами. К примеру, она может быть такой

wруководитель(орг. способ.)=0,3;

wруководитель(профес.)=0,2;

wруководитель(личн.актив.)=0,1; wруководитель(коммуникабельность)=0,1;

wруководитель(внимание к под.)=0,1; wруководитель(авторитет)=0,2.

Условие

∑

=

выполняется.

−

Определение 5. Иерархия называется полной, если для всех

ìíî-

жество

+

=

=

.

Так в предыдущих примерах обе иерархии являлись полными.

−

Основная задача. Как определить для любого заданного элемента

α и подмножества

β

α < β

функцию

→

,

чтобы она отражала свойства функций приоритетов

, на уровнях

= α

β −

. В частности, что это за функция

→

.

Используя менее формальную терминологию, задачу можно пере-

формулировать следующим образом.

Рассмотрим социальную (или экономическую) систему с главной

целью b и множеством основных видов действий

. Пусть эту систему

можно представить как иерархию с максимальным элементом b и ниж-

ним уровнем

. Каковы приоритеты элементов уровня

по отноше-

íèþ ê b?

Изложим метод решения основной задачи. Предположим, что

=

=

+

+

(Заметим, что в со-

ответствии с замечанием, следующим за определением 4, можно предпо-

ложить, что Y=Lk, Õ =Lk+1.) Пусть также существует элемент

− ,

такой, что

−

. Рассмотрим функции приоритетов

→

→

=

Обозначив через

→

функцию приоритета элементов

èç Õ относительно z, зададим ее следующим образом:

= ∑

=

+

=

Очевидно, что это не что иное, как процесс взвешивания показателя

влияния элемента ói, на приоритет элемента õi, путем умножения этого

показателя на важность элемента ói, относительно z.

Соответствующие алгоритмы упростятся, если из

образо-

вать матрицу Â, положив

=

. Если обозначить далее

=

=

, то приведенная выше формула примет вид.

= ∑

=

+

=

В результате имеем окончательную формулу

=

.

Композиция приоритетов включает взвешивание и суммирование.

Это требует независимости критериев на каждом этапе, в противном слу-

чае один элемент может получить некоторый приоритет относительно не-

которого признака и дополнительный приоритет, вызванный перекрыва-

нием этого признака с другим признаком, что вызовет двойной учет. В

простых терминах множество признаков или критериев называют незави-

симым, если возможна взаимозаменяемость любой пары безотноситель-

но влияния других. Иными словами, критерии независимы, если между

ними нет взаимодействия.

5.1.2. Принцип иерархической композиции: аддитивность взвешивания

Задано два конечных множества S

è T. Пусть S

– множество незави-

симых свойств и

Ò – множество объектов, которые в качестве характери-

стик обладают этими свойствами. Предположим, что численный вес, при-

оритет, или индекс относительной важности,wi ассоциируется с каждым

sj S, òàê ÷òî ∑

=

. Пусть wij≥0, j=1,...,m, удовлетворяющие ус-

тельно элемента b

=

−

′ .

Обычно L1 состоит из единственного элемента,

′ – просто ска-

ляр; в противном случае

′

– вектор.

Для полной иерархии справедливо следующее утверждение: при-

оритет элемента любого уровня равен сумме его приоритетов в каждом

подмножестве сравнения, которым он принадлежит; иногда каждый из

приоритетов взвешивается лишь частью элементов уровня, которые при-

надлежат данному подмножеству, и приоритетом подмножества. Полу-

чающееся множество приоритетов элементов этого уровня затем норма-

лизуются посредством деления на сумму приоритетов элементов. При-

оритет подмножества на уровне равен приоритету доминирующего эле-

мента на следующем уровне.

5.1.3. Интерпритация приоритетов с помощью теории графов

Определение 7. Обозначим узлы направленного графа G через

1, 2, 3,...,

n. С каждой направленной дугой õij îò óçëà i äî óçëà j

ассоциируется неотрицательное число,

<

<

, íàçû-

ваемое интенсивностью дуги. (Петли и кратные дуги раз-

решены).

Определение 8. Маршрут в направленном графе есть чередующаяся пос-

ледовательность узлов и дуг, при которой каждый узел яв-

ляется концом дуги, находящейся в последовательности

непосредственно перед ним, и источником последующей

за ним дуги. Обе концевые точки каждой дуги находятся в

последовательности. Длина маршрута есть число дуг в пос-

ледовательности. Маршрут длины k назывем "k-маршру-

òîì".

Определение 9. Интенсивность маршрута длины k îò óçëà i äî óçëà j åñòü

произведение интенсивностей дуг в маршруте.

Определение 10. Общая интенсивность всех k-маршрутов от узла i äî

óçëà

j есть сумма интенсивностей маршрутов.

Отметим, что для общей интенсивности 1-маршрутов (первых мар-

тшрутов) берется сумма интенсивностей всех 1-маршрутов от i

äî j. Âñå

интенсивности вдоль дуги i, j

считаются равными. Поэтому общая интен-

сивность от i äî j получается равной

=

, ãäå

– число дуг от i

циируемая с этим графом, будет

=

. Общая интен-

сивность 1-х маршрутов от i äî j ïðåä-

ставлена (i,j)-м элементом этой мат-

ðèöû.Общая интенсивность маршру-

та длины 2 от узла 1 до узла 3 равна

сумме следующих трех величин вме-

сте с соответствующим маршрутом,

изображенным справа:

× +

× +

×

×

×

При этом каждая дуга между первыми двумя узлами берется по

одному разу с каждой дугой между двумя вторыми узлами. Сумма этих

величин равна 17/2. Это есть элемент (1,3) матрицы U2. Таким образом

можно показать, что для всех i è j общая интенсивность 2-маршрутов от

óçëà i äî óçëà j будет (i,j)-м элементом матрицы

=

. Обобщим результат.

Теорема 3.

−

-й элемент матрицы Uk является общей

интенсивнотсью k-маршрутов от узла i äî óçëà j.

Следствие. Если

=1

äëÿ âñåõ i è j, òî

-й элемент в Uk ÿâëÿ-

ется числом k-маршрутов от i äî j.

Для рассматриваемой проблемы важна обратная задача интерпре-

тации степеней матрицы для подсчета интенсивности маршрутов.

Будем ассоциировать с каждым из n видов деятельности нашей про-

цедуры парных сравненеий узел направленного графа D. В этом случае

матрица интенсивности-инцидентности U есть не что иное, как матрица

суждений. Числитель pij (i,j)-го элемента такой матрицы (полагая, что он

дан в сравнительно простой дробной форме) представляет собой число

дуг, направленных от вершины i к вершине j. Интенсивность каждой дуги

îò i äî j

одна и та же и равна обратной величине

знаменателя элемен-

та. Это естественный способ определения соответствующего графа, так

êàê äëÿ

=1 он сводится к обычной матрице вершин, k-ая степень

которой дает число маршрутов длины k.

Интерпретировать (i,j)-й элемент матрица À можно как прямое

превосходство, или интенсивность важности вида деятельностиi относи-

тельно вида деятельности j. Он выражает относительный вклад, который

вид деятельности i вносит в достижение определенной цели по сравнению

с вкладом, вносимым видом деятельности j. Нормализованные суммы

строк матрицы À представляют собой уровень вклада соответствующих

видов деятельности относительно всех других видов деятельности, а мат-

ðèöà À2

– индекс оносительной важности превосходства с учетом всех 2-

быть представлена в виде

, ãäå À1

è À3

– êâàä-

ратные матрицы, 0 – нулевая матрица. В противном слу-

чае матрицу называют приводимой.

−

Пример 3. Матрица

=

приводима.