Zavdannya7

−

3

0

0

0

∫

dy

∫

fdx + ∫ dy

∫

fdx.

−2

− 4−y2

− 3

4−y2 −2

∫∫∫

x

2dxdydz

3)

.

V:

x2

+ y2 + z2 =16,

(x2 + y2 + z2)3

z 0

3

9

9

1

12ϕ

π

1) y = ln(1− x2),0 x

. 2)ρ = 12e 5 ,0 ϕ <

.

4

3

9. Знайти масу кривої x = acost,

y = asint,z = bt,0 t 2π з густиною

1.

Змінити порядок інтегрування:

1

1

e

1

∫dy ∫

fdx + ∫dy ∫

fdx.

0

1−y2

1

ln y

2.

Обчислити:

3− x2

3

1)

∫∫

12ysin 2xydxdy.

2) ∫

dx

∫

1+ x2 + y2 dy.

π

π

−

0

D:y=

,y=

3

,x=2,x=3

3)

∫∫∫

xzdxdydz

.

z=2(x2 + y2 ),

x2 + y2

4. Знайти масу пластинки D з густиною µ = 6x3y3,D:

x2

+ y2 1;x, y 0.

4

5. Знайти об’єми тіл, обмежених поверхнями:

15x

1) x2 + y2 = 8, y =

, y, z = 0, z =

.2) z = 9 − x2 − y2 ,

2x

80z = x2 + y2 .

11

2

6

9. Знайти масу кривої x = acost, y = asint,z = at,0 t 2π

з густиною

µ = z2 (x2 + y2 )−1.

x,

0 x 1,

кривої L:

від точки M(2,0) до точки N(0,0).

2

− x, 1 x 2;

2−y

1

3 y

2

∫dy ∫

fdx + ∫dy ∫ fdx.

0

0

1

0

2

2− x2

1)

∫∫

y2 cos xydxdy.:

2) ∫ dx

∫ (1+ x2 + y2)dy.

D:x=0, y= π , y= x

− 2

− 2− x2

3)

∫∫∫

xydxdydz

.

V:

z= x2 + y2 ,

(x2 + y2)3

0 y x;z=4

3y = x, y = 3x.

4.

Знайти

масу

пластинки

D

з

густиною

µ =

x

,

y3

8x = y2 + z2 ,x = 1

.

2

8. Знайти довжину дуги кривої:

1) y =1− lncos x,0 x π .

2) ρ = 2(1− cosϕ),−π ϕ < − π .

6

2

9.

Знайти

масу

кривої

x = cost + tsint; y = sint − tcost;z =1;0 t 2π з

густиною µ =

x2 + y2 .

10.

Знайти

роботу сили

F = yi − xj при переміщенні вздовж кола

x2 + y2 = 2 (y 0) від точки M(

2,0) до точки N(− 2,0).

4

sin y

2

cos y

∫dy

∫

fdx + ∫dy ∫ fdx.

0

0

π

0

4

2. Обчислити:

xy

2

4− x2

dy

∫∫

2)∫dx

∫

1)

ye 4 dxdy.

.

1

+ x

2

+ y

2

D:y=ln 2,y=ln 3,x=4,x=8

0

−

4− x

2

3)

∫∫∫

zdxdydz

.

V:

x2

+ y2

=4y, x2 + y2

y+ z=4,z 0

6

18

18

2) z =

,

3z

= x2 + y2.

1− x2 − y2

2

3)1− z =16(x2 + y2),z = −32x −1.

6.

Знайти масу тіла V з густиною :

V : x2 + y2 =1,x2 + y2 = 6z,

x, y 0,z = 0;µ = 90y.

7.

Знайти координати центра мас однорідного тіла, обмеженого

поверхнями:

2x = y2 + z2, y2 + z2 = 4,x = 0.

8.

Знайти довжину дуги кривої:

2)ρ = 3(1+ sinϕ),− π ϕ 0.

1) y = ex +13,ln 15 x ln

24.

6

9.

Знайти масу кривої

x = 5cost, y = 5sint,z = t,0 t 2π

з густиною

µ = (x2 + y2 + z2)−1.

10. Знайти роботу сили

F = xyi + 2y j при

переміщенні

вздовж кола

x2 + y2 =1 (x, y 0) від точки M(1,0) до точки N(−1,0).

1

0

0

0

∫ dy

∫

fdx + ∫ dy ∫ fdx.

−2

−2−y

−1

3 y

1

1− x

2

dy

∫∫

4y2 sin 2xydxdy.

2)∫dx

∫

1)

.

1+ x2 + y2

D:x=0, y= 2π , y=2x

0

0

3)

∫∫∫

ydxdydz

.

V:

x2

+ y2 =2x,

x2 + y2

x

+ z=2, y 0

1

.

2)ρ = 4(1− sinϕ),0 ϕ < π .

1) y = x − x2 − arccos x,0 x

4

6

µ = x2 + y2 + z2.

10. Знайти

роботу сили F = yi − xj

при

переміщенні

вздовж еліпса

2x2 + y2

1

1

=1 (y 0) від точки M

,0

до точки N

−

,0

.

2

2

1

y

e

1

∫dy ∫

fdx + ∫dy ∫ fdx.

0

0

1

ln y

2. Обчислити:

R

0

sin

x2 + y2

1)

∫∫

2ycos2xydxdy.

2) ∫ dx

∫

dy.

π

π

−R

x2 + y2

D:y=

,y=

−

R

2

− x

2

,x=1,x=2

2

4

3)

∫∫∫

xdxdydz

.

V:

x2

+ y2 =16y,

x2 + y2

4.

Знайти масу пластинки D з густиною µ = 30x3y7,D:

x2

+ y2 1;x, y 0.

4

5. Знайти об’єми тіл, обмежених поверхнями:

1)3y = x, y x,x + y + z =10, y =1,z = 0.

2) z = 36 − x2 − y2 , 63z = x2 + y2 .

3) z = 26(x2 + y2) − 2,z = −52x − 2.

6.

Знайти масу тіла V з густиною :

V : x2 + y2 + z2 = 4,x2 + y2 = 9z2,

x, y 0 (z 0);µ =10z.

7.

Знайти координати центра мас однорідного тіла, обмеженого

поверхнями:

y2 + z2 = 8x,x = 2.

8.

Знайти довжину дуги кривої:

1) y = 2 − ex,ln

2)ρ = 5(1− cosϕ),− π ϕ < 0.

3 x ln 8.

3

9.

Знайти масу кривої x = 9cost,

y = 9sint, z = t,0 t 2π

з густиною

µ = z2 (x2 + y2 )−1.

10.

Знайти роботу

сили F = (x2 + y2)i + (2x2 + 2y2)j при

переміщенні

вздовж кола x2 + y2 = R2 (y 0) від точки M(R,0) до точки N(−R,0).

1

0

2

0

∫dy

∫

fdx + ∫dy

∫ fdx.

0

− y

1

− 2−y

−

xy

R

R2 − x2

dy

∫∫

2)∫dx

∫

1)

y2e

2 dxdy.

.

x2

+ y2

cos2

x2 + y2

D:x=0, y=

2, y= x

0

−

R

2

− x

2

∫∫∫

3)

x2 + y2 dxdydz.

x

2) y2 − 2x + x2 = 0, y2 − 4x + x2 = 0, y = 0, 3y = x.

4.

Знайти

масу

пластинки

D

з

густиною

µ = y x,

D:1

x2

+

y2

3,0 y

2x

.

9

4

3

5. Знайти об’єми тіл, обмежених поверхнями:

64 − x2 − y2 , z = 4, x2 + y2 39.

1) x + y = 4, x =

2y,5z = 3x, z = 0. 2) z =

. 2)ρ = 6(1+ sinϕ),−

π

1) y = arcsin x − 1− x2 ,0 x 15

ϕ 0.

16

2

9. Знайти масу кривої

x = Rcost, y = Rsint,z = at

,0 t 2π

з густиною

2π

µ = x2 + y2 + z2.

F = (y

+ x)i + (y − x

)j при

10. Знайти роботу

сили

x2 + y2

x2 + y2

переміщенні вздовж кола

x2 + y2 =1(y 0) від точки M(1,0) до точки

N(−1,0).

1

0

2

0

∫dy ∫ fdx + ∫ dy

∫

fdx.

0

− y

1

−

2−y

2

2. Обчислити:

R

0

dy

1)

∫∫

ysin xydxdy.

2) ∫ dx

∫

.

1

−R

x2 + y2

cos2

x2 + y2

D:y=π, y=2π,x=

,x=1

− R

2

− x

2

2

3)

∫∫∫

xydxdydz.

V:

2 x2 + y2 + z2 8,

z2 = x2 + y2 ;x, y,z 0

3. Знайти площі фігур, обмежених лініями:

1) x2 + y2 = 36;3

2y = x2 (y 0).

2) x2 − 2y + y2 = 0,x2 −10y + y2 = 0, y =

x, y =

x

.

3

3

4. Знайти масу пластинки D з густиною µ = 7x4 y,D: x2 +

y2

1, y 0.

25

5. Знайти об’єми тіл, обмежених поверхнями:

1) y = 6 3x, y = 3x,z = 0,x + z = 3.