Zavdannya7

Вступ

Запропонований збірник задач містить 30 варіантів індивідуальних завдань, а кожний варіант – завдання з розділів: кратні та криволінійні інтеграли.

Тема ”Кратні та криволінійні інтеграли” вивчається в другому навчальному семестрі студентами КНУБА всіх спеціальностей і форм навчання.

Даний збірник підготовлено з метою організації регулярної роботи студентів з вивчення курсу. Кожний студент розв’язує завдання одного з тридцяти варіантів.

Завдання для конкретних груп студентів викладач підбирає індивідуально з врахуванням програми, часу, який виділяється для відповідного виду роботи, можливостей аудиторії.

3

Варіант 1

1. Змінити порядок інтегрування:

x,y,z 0

3.Знайти площі фігур, обмежених лініями:

1)y = 3, y = 4ex, y = 3, y = 4. x

2) y2 − 2y + x2 = 0, y2 − 4y + x2 = 0; y = x , y = 3x.

3

4. Знайти масу пластинки D з густиною µ = y2,D: x2 + y2 1. 4

5.Знайти об’єми тіл, обмежених поверхнями:

1)y =162x, y = 2x,z = 0,x + z = 2.

2)z = 9 − x2 − y2 ,9z = 2(x2 + y2).

3)z = 2 −12(x2 + y2),z = 24x + 2.

6.Знайти масу тіла V з густиною :

7.Знайти координати центра мас однорідного тіла, обмеженого поверхнями: x = 6(y2 + z2), y2 + z2 = 3,x = 0.

8.Знайти довжину дуги кривої:

1)y = ln x,3 x 15.

9. Знайти масу кривої x = tcost, y = tsint,z = t,0 t 2π з густиною

µ= 2z − x2 + y2 .

10.Знайти роботу сили F = (x2 − 2y)i + (y2 − 2x)j при переміщенні вздовж відрізка MN від точки M(−4,0) до точки N(0,2).

4

Варіант 2

1. Змінити порядок інтегрування:

2. Обчислити:

3.Знайти площі фігур, обмежених лініями:

1)x = 36 − y2 ,x = 6 − 36 − y2 .

2) x2 − 4x + y2 = 0;x2 − 8x + y2 = 0; y = 0; y = x .

6. Знайти масу тіла V з густиною :

V: x2 + y2 + z2 = 4;x2 + y2 1;x 0,µ = 4 z .

7.Знайти координати центра мас однорідного тіла, обмеженого поверхнями:

y= 3x2 + z2 ,x2 + z2 = 36, y = 0.

8.Знайти довжину дуги кривої:

1)y = x2 /4 − (ln x)/2,1 x 2.

9. Знайти масу кривої x = cost, y = sint,z = 3t,0 t 2π з густиною

µ = x2 + y2 + z2.

10. Знайти роботу сили F = (x2 + 2y)i + (y2 + 2x)j при переміщенні вздовж відрізка MN від точки M(−4,0) до точки N(0,2).

5

Варіант 3

1. Змінити порядок інтегрування:

2. Обчислити:

3) ∫∫∫ z2dxdydz.

V: 1 x2+ y2 36, y x;x,z 0;z 2

3.Знайти площі фігур, обмежених лініями:

1)x2 + y2 = 72, 6y = −x2(y 0).

5. Знайти об’єми тіл, обмежених поверхнями:

1) x2 + y2 = 2, y = x, y,z = 0,z =15x. 2) z = 4 − x2 − y2 ,15z = x2 + y2 .

3) z = 8(x2 + y2 ) + 3,z =16x + 3.

6.Знайти масу тіла V з густиною :

V: x2 + y2 =1,x2 + y2 = 2z, x, y 0,z = 0;µ =10x.

7.Знайти координати центра мас однорідного тіла, обмеженого поверхнями:

x = 7(y2 + z2),x = 28.

8.Знайти довжину дуги кривої:

1)y = 1− x2 + arcsin x,0 x 7. 2)ρ = 2eϕ ,− π ϕ π .

µ= z2(x2 + y2)−1.

10.Знайти роботу сили F = (x2 + 2y)i + (y2 + 2x)j при переміщенні вздовж

6

Варіант 4

1. Змінити порядок інтегрування:

2. Обчислити:

3) ∫∫∫ ydxdydz.

x2+ y2+z2=32,

V:

y2=x2+z2,y 0

3.Знайти площі фігур, обмежених лініями:

1)x = 8 − y2,x = −2y.

2)x2 − 2x + y2 = 0,x2 − 4x + y2 = 0,

5. Знайти об’єми тіл, обмежених поверхнями:

1) x + y = 2, y = x,z =12y,z = 0. 2) z = 64 − x2 − y2 ,z =1,x2 + y2 60. 3)2 − z = 20((x + 1)2 + y2 ),z = −40x − 38.

6. Знайти масу тіла V з густиною :

V : x2 + y2 = 16 z2;x2 + y2 = 4 z;x, y 0; = 80yz.

497

7.Знайти координати центра мас однорідного тіла, обмеженого поверхнями:

z= 2x2 + y2 ,z = 8.

8.Знайти довжину дуги кривої:

1)y = ln 5 ,3 x 8. 2x

7

Варіант 5

1. Змінити порядок інтегрування:

3) ∫∫∫ xdxdydz.

x2+ y2+z2=8,

V:

x2= y2+z2,x 0

3.Знайти площі фігур, обмежених лініями:

1) y = 3 , y = 8ex, y = 3, y = 8.

3)z = 4 −14(x2 + y2), z = 4 − 28x.

6.Знайти масу тіла V з густиною :

V : x2 + y2 + z2 =1,x2 + y2 = 4z2, x, y 0 (z 0);µ = 20z.

7. Знайти координати центра мас однорідного тіла, обмеженого поверхнями:

z= 5(x2 + y2)x2 + y2 = 2,z = 0.

8.Знайти довжину дуги кривої:

8

Варіант 6

1. Змінити порядок інтегрування:

3) ∫∫∫ ydxdydz.

4 x2+ y2+z2 16,

V:

y 3x;y,z 0

3.Знайти площі фігур, обмежених лініями:

1)y = x ; y = 1 ;x =16.

22x

2)x2 − 4x + y2 = 0;x2 − 8x + y2 = 0; y = 0, y = x.

3)z = 28((x + 1)2 + y2 )+ 3,z = 56x + 59.

6.Знайти масу тіла V з густиною :

7.Знайти координати центра мас однорідного тіла, обмеженого поверхнями:

x = 6y2 + z2 , y2 + z2 = 9,x = 0.

8.Знайти довжину дуги кривої:

µ= x2 + y2 + z2.

10.Знайти роботу сили F = (x + y)i + (x − y)j при переміщенні вздовж

параболи y = x2 від точки M(−1,1) до точки N(1,1).

9

Варіант 7

1. Змінити порядок інтегрування:

2. Обчислити:

3) ∫∫∫ ydxdydz.

z= 8−x2− y2 ,

V:

z=x2+ y2 ,y 0

3.Знайти площі фігур, обмежених лініями:

1)x = 5 − y2,x = −4y.

2)y2 − 4y + x2 = 0, y2 − 6y + x2 = 0, x = 0, y = x.

4.Знайти масу пластинки D з густиною µ = 4y4,D: x2 + y2 1.

3) z = 32(x2 + y2 ) + 3,z = 3 − 64x.

6.Знайти масу тіла V з густиною :

V : x2 + y2 + z2 =16,x2 + y2 4;

µ= 2 z .

7.Знайти координати центра мас однорідного тіла, обмеженого поверхнями:

z= 8(x2 + y2),z = 32.

8.Знайти довжину дуги кривої:

µ= 2z − x2 + y2 .

10.Знайти роботу сили F = x2 yi − y j при переміщенні вздовж відрізка MN від точки M(−1,0) до точки N(0,1) .

10

Варіант 8

1. Змінити порядок інтегрування:

V:

x,z 0;y 3x

3.Знайти площі фігур, обмежених лініями:

1)x2 + y2 = 12,−6y = x2 (y 0).

2)x2 − 2x + y2 = 0, x2 −10x + y2 = 0, y = 0, y = 3x.

5. Знайти об’єми тіл, обмежених поверхнями:

1) x + y = 2, x = y, z = 0,5z = 12x. 2) z = 100 − x2 − y2 , z = 6, x2 + y2 51.

3)z = 4 − 6((x −1)2 + y2), z = 12x − 8.

6.Знайти масу тіла V з густиною :

V : x2 + y2 = 4,x2 + y2 = 8z, x, y 0,z = 0;µ = 5x.

7. Знайти координати центра мас однорідного тіла, обмеженого поверхнями:

y= 3x2 + z2 , y = 9.

8.Знайти довжину дуги кривої:

1)y = ln(x2 −1),2 x 3. 2)ρ = 2eϕ ,0 ϕ π .

3

9. Знайти масу кривої x = t, y = 3 t2, z = t3,0 t 1 з густиною = x + z.

2

10. Знайти роботу сили F = (2xy − y)i + (x2 + x)j при переміщенні вздовж кола x2 + y2 = 9(y 0) від точки M(3,0) до точки N(−3,0) .

11

Варіант 9

1. Змінити порядок інтегрування:

2. Обчислити:

22

3.Знайти площі фігур, обмежених лініями:

1)y = 23 − 12 − x2 , y = 12 − x2 ,x 0;

5. Знайти об’єми тіл, обмежених поверхнями:

1) y = 72x, y = 22x, z = 0, x + z = 12. 2) z = 12 x2 + y2 , z = 232 − x2 − y2.

3)z = 2 − 4(x2 + y2 ), z = 8x + 2.

6.Знайти масу тіла V з густиною :

V : x2 + y2 = 425z2;x2 + y2 = 25 z;x, y 0;µ = 28xz.

7. Знайти координати центра мас однорідного тіла, обмеженого поверхнями:

9y = x2 + z2,x2 + y2 = 4, y = 0. 8. Знайти довжину дуги кривої:

густиною = x + y.

10. Знайти роботу сили F = (x + y)i + (x − y)j при переміщенні вздовж еліпса

12