Опір матеріалів Частина 1

Вертикальне переміщення т. В відбуватиметься за рахунок подовжень (скорочень) ділянок DE, DC і CB стержня. Подовження ділянок DE і DC визначається за формулою (2.6):

Стержень скорочується на B 1 10 2 см і тому точка В зміститься вниз на величину В .

- 10 -

На ділянці ОВ, до точки В, якій відповідає значення сили Fпц , справедливий закон Гука. До то-

чки С, якій відповідає сила Fпр , мають місце лише пружні деформації.

Після цієї точки, крім пружних з’являються і пластичні (залишкові) деформації. При значенні сили Fт , що відповідає точці D, подовження зразка відбуваються за рахунок пластичних

деформацій, при сталому значенні сили. Кажуть, що матеріал “тече”, ділянка DE діаграми - ділянка текучості. Після цього на ділянці ЕК настає так зване зміцнення матеріалу і для подальшого розтягу зразка потрібно збільшувати силу F. Діаграма стає криволінійною і досягає

- 11 -

найвищої точки К, якій відповідає найбільше значення сили Fmax . В процесі розтягу зразка він

одночасно і звужується. На початку діаграми звуження незначне і відбувається рівномірно по всій довжині зразка. Починаючи з точки К, деформації зразка зосереджуються в одному місці, в якому починає утворюватись “шийка”, площа поперечного перерізу в якій різко зменшується, а, отже, зменшується і сила, що потрібна для подальшого розтягу зразка. В точці L, на ділянці KL, де відбувається цей процес, проходить розрив.

Описана вище діаграма характеризує не лише матеріал зразка. Її вигляд в значній мірі залежить від конкретних розмірів зразка. Щоб звільнитись від впливу абсолютних розмірів зразка (площі поперечного перерізу A0 і початкової довжини l 0 ), на основі машинної діаграми бу-

дують діаграму напружень в осях F , l . Ця діаграма показана на рис.2.9.б. На ній

A0 l0

вказані характерні значення напружень, що називають механічними характеристиками міцно-

сті матеріалу:

Є матеріали, в яких немає чітко визначеної площадки текучості DE. Для них визначають умовну границю текучості 0.2 . Для матеріалів, що руйнуються без утворення “шийки” за-

Окрім характеристик міцності, при випробуванні зразка на розтяг визначають і характе-

ристики пластичності, якими є:

різу в місці розриву.

Діаграми розтягу більшості сталей і кольорових металів мають вигляд, подібний до наведеної вище діаграми для маловуглецевої сталі. Різниця може бути лише у відсутності чітко

- 12 -

вираженої площадки текучості і іншому вигляді ділянки KL, при відсутності шийки при розриві.

Поряд з випробуванням матеріалів на розтяг другим поширеним способом випробування є випробування на стиск. Цей вид випробувань проводиться в першу чергу у двох випадках:

а) для крихких чи напівкрихких матеріалів, які в реальних конструкціях працюють на стиск (силікатні матеріали, бетон, камінь та ін.)

б) для матеріалів, які при розтягу і стиску мають різні механічні характеристики (чавун, певні марки сталей та ін.).

Зразки для випробування на стиск мають циліндричну (для металів) або призматичну форму (силікатні матеріали, дерево).

При випробуванні на стиск пластичних матеріалів, які при стиску не руйнуються, а тільки деформуються, визначають за формулами (2.10) границі пропорційності ( пц ) , пружності ( пр ) і текучості ( т ). Досліди показують,

що ці границі при розтягу і стиску одного і того ж матеріалу практично однакові.

2.5. Розрахунок на міцність.

Одна із основних задач опору матеріалів полягає в забезпеченні надійних розмірів поперечних перерізів елементів конструкцій, що знаходяться під дією заданого навантаження. Такі розміри визначаються в першу чергу із розрахунку на міцність, а інколи і на жорсткість. Іноді треба визначити величину допустимих навантажень при заданих розмірах поперечних перерізів.

Небезпека руйнування залежить не тільки від внутрішніх сил, що виникають в поперечних перерізах елементів конструкцій (які є інтегральними характеристиками), але й від значень нормальних і дотичних напружень та їх комбінацій, що виникають в небезпечних точках перерізів. Очевидно, що як завгодно великих напружень матеріал витримати не в змозі. Тому для забезпечення міцності найбільші напруження або їх певні комбінації слід обмежити деякими допустимими значеннями, що називають допустимими напруженнями. Величина допустимих напружень буде в значній мірі залежати від механічних характеристик матеріалу, в першу чергу від таких, як границя текучості матеріалу т , або границя міцності мц .

- 13 -

При розтягу чи стиску в поперечних перерізах виникають тільки нормальні напруження, та умова міцності має вигляд

дносно відповідно границі текучості чи границі міцності.

Величини коефіцієнтів запасу задаються. Вони залежать від цілої низки обставин, які треба враховувати. Чим краще відомі властивості матеріалу, його механічні характеристики, чим точніше відповідають умови роботи конструкції вибраній розрахунковій схемі, чим точніші методи розрахунку, тим меншим може бути коефіцієнт запасу.

Для пластичних матеріалів звичайно береться kт 1.2 2.5 . Для крихких матеріалів kмц 2.5 9 , в залежності від різних факторів.

Умову міцності (2.15) можна записати у вигляді

Умова міцності (2.16) або (2.17) служать для розв’язування трьох основних типів задач розра-

хунку на міцність:

1.При відомому навантаженні (відоме N) і для заданого матеріалу (відоме ) підібрати розміри поперечних перерізів:

2.При відомих розмірах поперечних перерізів (відомі А ) і для заданого матеріалу (відоме) підібрати допустиму повздовжню силу N доп A , а, отже, і допустиме наванта-

ження на стержень;

3.При відомих розмірах поперечних перерізів А, для матеріалу з заданим і відомому навантаженні перевірити міцність стержнів.

Зауважимо, що у звичайних інженерних розрахунках дозволяється перевищення , але не більше ніж на 5%.

- 14 -

Приклад 2.3: Для показаного на рис. 2.11 ступінчатого стержня підібрати необхідні площі поперечних перерізів його окремих ділянок, якщо 4 кН / см2 .

2.6. Розрахунок на міцність статично визначних стержневих систем.

Як елементи конструкцій , що працюють при розтягу або стиску, дуже часто зустрічаються не окремі стержні, а стержні, що з’єднані між собою в системи за допомогою шарнірних з’єднань. Такі системи називаються стержневими системами. В залежності від кількості стержнів в системі, способу їх з’єднання, системи можуть бути статично визначні або статично невизначні. Якщо система така, що невідомі повздовжні сили в стержнях можна визначити, використавши лише рівняння статики, то вона є статично визначна. Для визначення невідомих повздовжніх сил в стержнях такої системи використовують метод перерізів. Розрахунок на міцність здійснюють, використавши умову міцності (2.17).

Зазначимо, що в залежності від конструкції системи і кількості стержнів, для визначення зусиль N в усіх стержнях системи потрібно здійснювати один або більше перерізів.

- 15 -

Приклад 2.4: Для показаної на рис. 2.12 системи потрібно підібрати площі поперечних перерізів стержнів. Матеріал стержнів – сталь. Границя текучості 240 МПа, коефіцієнт запасу kт 1.5.

нянь статики також два, то система статично визначна. Розв’язуючи систему рівнянь, знаходимо

N2 N1 cos300 80 23 68.5 кН .

Знак “+” у виразі для сили N1 говорить про те, що стержень “1” працює на розтяг, а знак “-” у виразі для N2 - що стержень “2” працює на стиск.

З умови міцності (2.18) визначаємо площі поперечних перерізів стержнів:

Знак “-“ у виразі N2 , що враховує напрям сили N2 , при визначенні площі не враховується, тобто N2 береться за абсолютною величиною.

рис. 2.13

- 16 -

NCE . ACE

Для визначення сили NCE використаємо метод перерізів, провівши переріз так, як показано на

рис.2.13.

Складемо рівняння статики

Міцність системи забезпечена.

2.7. Статично невизначні задачі при розтягу або стиску.

Стержні і шарнірно-стержневі системи, повздовжні сили в яких неможливо визначити за допомогою лише рівнянь статики, називаються статично невизначними. При розрахунку таких конструкцій необхідно складати додаткові рівняння – рівняння сумісності деформацій, що враховують характер деформацій конструкції.

Кількість додаткових рівнянь, що необхідно скласти для розрахунку конструкції, характеризує степінь її статичної невизначності. Їх завжди можна скласти стільки, скільки необхідно для розв’язування задачі. При складанні цих рівнянь враховується те, що в конструкції стержні не можуть подовжуватись незалежно.

Коли в статично визначних системах зусилля в стержнях можуть виникати лише при дії на систему зовнішнього навантаження, то в статично невизначних системах зусилля виникають і при відсутності зовнішніх сил - від зміни температури середовища, неточності виготовлення окремих елементів.

Найважливішим етапом розрахунку статично невизначних систем є складання рівнянь су-

місності деформацій. Послідовність розрахунку статично невизначних систем:

1.Визначають степінь статичної невизначності задачі;

2.Використавши метод перерізів, складають рівняння статики;

3.Розглядаючи систему в деформованому стані, встановлюють зв’язки між переміщеннями окремих елементів;

4.Виражають у рівняннях переміщень переміщення через зусилля;

5.Розв’язавши сумісно рівняння статики і перетворені рівняння деформацій, визначають зусилля в стержнях;

6.Використавши умову міцності, розв’язують поставлену задачу розрахунку на міцність.

Приклад 2.6: Жорсткий брус BD опирається на шарнірно нерухому опору в точці В і підтримується стержнями CE і DE. Система навантажена силою F 100 кН (рис.2.14.а). Визначити

напруження в стержнях системи, якщо площі поперечних перерізів рівні AEC 4см2 ,

AED 8см2 .

- 17 -

y

Друге і третє рівняння системи (а) недоцільно використовувати, так як в них входять невідомі X B , YB , які для розв’язування задачі не потрібні.

Оскільки задача один раз статично невизначна, складаємо одне додаткове рівняння сумісності деформацій. Внаслідок видовження стержнів ED і CD, абсолютно жорсткий брус BD, що закріплений в точці В, залишаючись прямим , повернеться навколо точки В і займе нове положення BD1 (рис.2.14.б). Стержень ED при цьому видовжується на величину lED , а сте-

ржень ЕС - на величину lEC .

Із подібності трикутників BCC1 і BDD1 можна записати:

- 18 -

Із прямокутного трикутника DD2 D1 і CC2C1 знаходимо

Підставивши знайдені значення у співвідношення (в), отримаємо після перетворень:

Розв’язавши сумісно рівняння (б) і (д), знаходимо величини зусиль в стержнях:

Приклад 2.7: Стержень (рис.2.15.а), верхня частина якого сталева, з площею поперечного пере-