Опір матеріалів Частина 3

Згинальний момент M(x) у довільному перерізі чисельно дорівнює алгебраїчній сумі моментів або лівих або правих сил відносно центра перерізу. Додатнім вважаються моменти від тих сил, що викликають розтяг нижніх волокон балки.

Q x

рис. 7.5.

Правила знаків для Q(x) і M(x) схематично показані на рис.7.5.

На основі аналітичних виразів для Q(x) і M(x) будують графіки зміни цих величин по довжині балки, які називаються епюрами Q(x) і M(x).

7.3. Епюри Q(x) і M(x) для деяких найпростіших випадків навантаження балки.

- 41 -

Епюри Q(x) і M(x) показані на рис.7.7. Зауважимо, що на епюрі M(x) у перерізі, в якому прикладена пара сил з моментом М (точка С), є стрибок на величину моменту цієї пари.

рис. 7.8.

- 42 -

значення в тій точці, де Q(x)=0, тобто посередині прольоту балки. Це значення дорівнює

Епюри Q(x) і M(x) для даної балки показані на рис.7.8.

Побудова епюр Q(x) і M(x) для більш складних випадків навантажень балки принципово нічим не відрізняється від розглянутих вище простих випадків.

7.4Диференціальні залежності між згинальним моментом, поперечною силою та інтенсивністю розподіленого навантаження. Правила для перевірки епюр.

Розглянемо балку, навантажену розподіленим навантаженням q (рис.7.9). Двома безмежно близькими перерізами виділимо з неї безмежно малий елемент довжиною dx. Прикладемо до елементу як зовнішні так і внутрішні сили, врахувавши при цьому, що Q(x) і M(x), які діють на правій грані, будуть відрізнятись від значень на лівій грані приростами dQ і dM.

Вирази (7.1) – (7.3) носять назву диференціальних залежностей при згині. Вони встановлюють чіткий зв’язок між навантаженням q, поперечною силою Q(x) та згинальним моментом M(x).

Ці залежності та деякі факти, що були встановлені в попередньому параграфі, дозволяють сформулювати наступні правила для перевірки або побудови епюр:

1.На ділянках балки, де відсутнє розподілене навантаження q, Q(x) – постійна, а M(x) - лінійна функція.

-43 -

2.На ділянках балки, де прикладено рівномірно розподілене навантаження q, Q(x) - лінійна функція, а M(x) – парабола.

3.На відрізку ділянки балки, де прикладене q, на якому Q(x)>0, M(x) - зростає, а там де Q(x)<0, M(x) зменшується. В точці, де Q(x)=0, M(x) приймає екстремальне значення.

4.На ділянці балки, де Q(x) 0 , згинальний момент M(x)=const. Згин балки в цьому випадку називають чистим згином.

5.Якщо в якійсь точці балки прикладена сила, то в цій точці Q(x) має стрибок на величину цієї сили, а на епюрі M(x) буде перелом.

6.Якщо в якійсь точці балки прикладена пара сил з моментом М, то в цій точці M(x) має стрибок на величину момента.

Приклад 7.1 Для балки, зображеної на рис.7.10, скласти вирази для поперечної сили Q(x) та згинального момента M(x), побудувати та перевірити їх епюри.

На місці опор, в точках А і В, прикладаємо реакції RA , RB , спрямувавши їх початково вверх. (горизонтальна реакція в т. А рівна нулеві і на рисунку вона не показана.)

- 44 -

Величину реакції RA отримали із знаком “-“. Це означає, що початково вибраний напрям реакції вверх є невірним. В дійсності реакція RA 10 кН напрямлена вниз (на схемі балки показано зміну напряму реакції).

Y 0 ; RA F q 3 RB 0; 10 40 60 30 0 .

Складаємо вирази для Q(x) і M(x) по ділянках балки AC і BC та обчислюємо значення Q і M в характерних точках.

AC 0 x 1 м

Q(x) RA 10 кН ( постійна величина );

M (x) RA x M 10x 10 ( лінійна функція ) ; M (0) 10 кНм ; М (1) 0 BC 0 x 3 м

Q(x) RB qx 30 20x ( лінійна функція ); Q(0) 30 кН ; Q(3) 30 кН ; M (x) RB x qx 2x 30x 10x2 ( парабола ) ; M (0) 0 ; М (3) 0

Знайдемо екстремальне значення функції М(х):

dM (x) 0; 30 20x 0; x 1,5 м; M (1,5) 30 1,5 10 1,52 22,5кНм. dx

За цими даними побудовані епюри Q(x) і M(x).Ординати епюри M(x) відкладені зі сторони розтягнутих волокон. Це відповідає тому, що додатні значення M(x) відкладені знизу від осі.

Перевірка епюр (за правилами з 7.4):

1.На ділянці АС немає розподіленого навантаження q, тому на цій ділянці Q(x)=const, і M(x) - лінійна функція.

2.Ділянці ВС є розподілене навантаження q, тому на цій ділянці Q(x) – лінійна функція, M(x) – парабола.

3.На відрізку CD ділянки ВС Q(x)>0, тому на цьому відрізку M(x) зростає; на відрізку DB Q(x)<0, тому на цьому відрізку М(х) зменшується. В точці D Q(x)=0, тому в цій точці М(х) досягає екстремального значення.

4. В точках А, В, С балки до неї прикладені зосереджені сили RA 10кН ; RB 30кН ; F 40 кН . Тому в цих точках епюра Q(x) має стрибки на величину цих сил.

5.В точці А балки прикладена пара сил з моментом М=10 кНм, тому в цій точці епюра М(х) має стрибок на величину моменту.

7.5.Нормальні напруження при чистому і поперечному згині.

При згині балки довільним навантаженням у поперечних перерізах виникають поперечна сила Q(x) і згинальний момент М(х). Ці величини є рівнодійними дотичних і нормальних напружень, що розподіляються певним чином у поперечному перерізі. Закони розподілу їх невідомі і тому можна записати лише сумарні(інтегральні) залежності (рис.7.11).

Щоб із співвідношень (7.4) визначити нормальне і дотичне напруження, в опорі матеріалів вводять певні допущення (гіпотези), щодо розподілу цих напружень по перерізу.

- 45 -

випадок згину – чистий згин, при якому M(x)=M=const і Q(x)=0. В цьому випадку дотичне

A

Закон розподілу нормальних напружень при чистому згині можна встановити, виходячи з експериментального вивчення деформації згину на гумових моделях. Встановлено, що при чистому згині волокна, які лежать на опуклій стороні балки, видовжуються, а ті, що на ввігнутій – стискуються (рис.7.12). Оскільки перехід від перших до других є плавним, то, очевидно, існує шар волокон, при згині не змінює своєї довжини. Цей шар називають нейтральним шаром. Встановлено, що нейтральний шар – це горизонтальний шар, який проходить через центри перерізів. Лінію перетину нейтрального шару з поперечним перерізом називають нейтральною лінією. Нею є горизонтальна вісь z, що проходить через центр перерізу.

Встановлено також, що при чистому згині виконується гіпотеза плоских перерізів. Виходячи з цієї гіпотези і враховуючи, що при чистому згині виконується закон Гука,

O O

M

M

z

- 46 -

де Е – модуль пружності матеріалу балки; - радіус кривизни нейтрального шару; y – ордината

точки, в якій визначається напруження.

Підставивши вираз (7.7) в співвідношення (7.5) і враховуючи при цьому, щоy2 dA I z , де I z – осьовий момент інерції відносно осі z, знаходимо, що

A

Тоді з виразу (7.7) отримаємо формулу для нормальних напружень при чистому згині балки

Напруження вважають додатнім у розтягнутих і від’ємними у стиснутих волокнах

балки.

В симетричному відносно z перерізі максимальні за абсолютною величиною напруження виникають у верхніх або нижніх точках перерізу (при y ymax ), що найбільш віддалені від нейтральної осі z. Якщо позначити

де Wz – осьовий момент опору перерізу відносно осі z, то

Якщо переріз балки симетричний відносно горизонтальної осі, то при визначенні напружень в крайніх точках перерізу доцільно користуватись формулою (7.11). Епюра

рис. 7.13.

розподілу нормальних напружень по висоті такого перерізу показана на рис.7.13а.

Якщо переріз балки несиметричний відносно горизонтальної центральної осі z (рис.7.13б), тоді віддалі крайніх точок від нейтральної осі z є різними.

Епюра нормальних напружень для такого перерізу показана на рис.7.13 б.

- 47 -

Для поширених простих перерізів момент опору Wz дорівнює: а) для круглого перерізу з діаметром d

б) для прямокутного перерізу з шириною b і висотою h

bh2

W (7.13)

в) для квадратного перерізу із стороною а

г) для кільцевого перерізу з зовнішнім діаметром D і внутрішнім d (при Dd )

д) для прокатних профілів (двотавра, швелера, кутника) моменти опору знаходяться із таблиць сортаменту.

Приведені вище формули для нормальних напружень одержані для випадку чистого згину балки. Якщо має місце поперечний згин, при якому виникають одночасно поперечна сила Q(x) та згинальний момент M(x), що змінюються по довжині балки, то гіпотеза плоских перерізів, яка використовується при одержанні формули (7.9) для нормальних напружень, не виконується. Крім цього, при поперечному згині не виконується лінійний закон Гука (7.6). Просто практика розрахунків показує, що при поперечному згині балок (при певних обмеженнях), можна наближено користуватись формулою для при чистому згині, тобто визначати

розрахунків.

Нормальні напруження при поперечному згині балки залежать не тільки від координати y точки, але й від координати х перерізу, в якому визначають напруження. Максимальні нормальні напруження виникають у так званому небезпечному перерізі, де M (x) M max . Тоді в

балках з симетричним відносно осі z перерізом

7.6. Дотичні напруження при згині.

При виводі формули для дотичних напружень користуються певними допущеннями, що дозволяють одержати цю формулу за допомогою нескладних методів опору матеріалів. Російський вчений Д.І.Журавський показав, що дотичні напруження досягають порівняно великих значень у перерізах, що мають форму вузьких і високих прямокутників, та у перерізах, які можна розкласти на такі прямокутники. Для таких перерізів можна прийняти дві гіпотези:

а) дотичні напруження yx в вузьких перерізах мають по всій ширині перерізу вертикальний напрям і рівнодійна їх, що діє в напрямку осі y – це поперечна сила Q(x);

- 48 -

б) по ширині перерізу дотичні напруження yx розподіляються рівномірно.

Використавши подані вище гіпотези, одержують формулу для дотичних напружень при поперечному згині балки

рис. 7.14.

Q(x) – поперечна сила в перерізі балки;

b - ширина перерізу в тому місці, де знаходять напруження;

Szвідс Aвідс yc - статичний момент відсіченої площі відносно осі z;

Aвідс - відсічена площа (заштрихована на рисунку площа, що лежить по одну сторону

від точки, в якій визначають напруження); ус - координата центра відсіченої площі.

Дослідження закону зміни дотичних напружень по висоті перерізу показують, що вони змінюються за квадратичним законом. Епюра розподілу yx по висоті прямокутного перерізу

показана на рис.7.14 б. Для цього перерізу, при визначенні yx у довільній точці з координатою

Приклад 7.3. Для балки, схема якої показана на рис.7.15 а, що має прямокутний поперечний переріз з розмірами b=8 см, h =16 см, для перерізу в точці А потрібно:

а) визначити нормальне і дотичне напруження в точці “2” перерізу; б) побудувати епюри нормальних і дотичних напружень.

- 49 -