Опір матеріалів Частина 3

7.7 Розрахунок на міцність при згині.

При поперечному згині балки її матеріал знаходиться в неоднорідному плоскому напруженому стані. Умова міцності повинна записуватись для так званої небезпечної точки, де матеріал перебуває в найбільш напруженому стані. Такою небезпечною точкою може бути одна з трьох точок (рис.7.17): а, б, в.

a

M Q M

рис. 7.17.

В точці “а” нормальне напруження max , а дотичне рівне нулеві. В цій точці має

- 51 -

місце одновісний напружений стан.

В точці “б”, посередині висоти перерізу, max , а 0 . В цій точці має місце плоский

напружений стан чистого зсуву.

В точці “в”, яка знаходиться між точками “а” і “б”, і не досягають кожне окремо найбільших значень, але в своїй комбінації дають найбільше еквівалентне напруження по вибраній для розрахунку теорії міцності. Така точка може бути одна або декілька. Для розрахунку балок із пластичних матеріалів найчастіше використовують умови міцності за III або IV теорією.

Умови міцності для точок а, б, в перерізу мають вигляд

міцність балки. Проте, якщо балка має тонкостінний переріз і до неї прикладено значне поперечне навантаження, то потрібно перевірити всі три умови міцності (7.19)-(7.21). При

Визначивши необхідний мінімальний момент опору балки Wz і вибравши форму

профілю поперечного перерізу (прямокутник, круг, двотавр), підбирають його розміри. Коли переріз за основною умовою міцності (7.22) підібраний, то потім можна виконати його перевірку за всіма умовами міцності.

З питанням підбору поперечного перерізу балки пов’язане питання його раціональної форми. Оскільки основний вплив на міцність балки при згині мають нормальні напруження, які збільшуються при віддалені від нейтральної осі, то найбільш раціональними з точки зору економії матеріалу і зменшення ваги балки, є такі перерізи, в яких щонайбільше матеріалу розташовано найдальше від цієї осі. Прикладами таких перерізів є перерізи типу двотавра.

Для балок, матеріал яких неоднаково працює на розтяг і стиск для забезпечення міцності яких повинні виконуватись дві умови міцності

відносно нейтральної осі z перерізи, в яких віддалі крайніх точок перерізу від нейтральної осі пропорційні значенням р , ст .

Приклад 7.5 Для балки, схема якої показана на рис.7.18 а:

а) підібрати круглий, прямокутний (з відношенням bh 2 ) і двотавровий перерізи балки,

якщо 16кН / см2 .

- 52 -

б) для підібраного двотавра виконати повну перевірку міцності.

рис. 7.18.

Епюри поперечної сили Q(x) та згинального моменту М(х) показані на рисунку. Як видно з епюри М(х), M max 40 кНм.

Тоді момент опору, що визначається з умови (7.22) дорівнює

- 53 -

Умову міцності за III теорією (7.21) перевіримо в точці “П” перерізу (рис.7.18 б) (в точці переходу від полички двотавра до стінки). Для цього за формулами (7.9) і (7.18) знаходимо

Всі три умови міцності виконуються, отже міцність балки забезпечена.

7.8Переміщення при згині балки. Диференціальне рівняння зігнутої осі балки.

Убагатьох випадках практичного розрахунку елементів конструкцій, що працюють на згин, крім розрахунку на міцність треба проводити і розрахунок на жорсткість. Для проведення такого розрахунку необхідно вміти визначати переміщення точок.

При плоскому згині вісь балки скривлюється. Ця вісь є плоскою кривою, що лежить в одній з головних площин балки. Її називають пружною лінією балки.

При згині точки осі балки переміщаються відносно свого початкового положення. При малих деформаціях нехтують горизонтальними складовими переміщень осі і беруть до уваги

осі балки дотична до неї утворює з

рис. 7.19.

віссю Oх кут x - кут повороту осі балки.

- 54 -

Користуючись геометричною інтерпретацією першої похідної функції у(х) y' (x) tg

При поперечному згині на кривизну зігнутої осі балки мають вплив і поперечні сили Q(x). Проте для порівняно довгих балок (з відношенням довжини l до висоти h поперечного

перерізу hl 10 ), впливом поперечних сил на кривизну балки можна знехтувати і вважати, що

Виражаючи, з іншого боку, кривизну кривої у(х) через її похідні, нехтуючи величинами вищого порядку малості і приводячи у відповідність знаки згинального моменту із знаками похідної функції у(х), отримаємо наближене диференціальне рівняння зігнутої осі балки

Для визначення переміщень з цього рівняння, його потрібно інтегрувати два рази. При цьому виникають дві постійні інтегрування, що знаходяться з умов закріплення балки:

а) на защемленому краї балки прогин у і кут повороту дорівнюють нулеві; б) на шарнірно опертому краї прогин у дорівнює нулеві.

Приклад 7.6. Скласти рівняння прогинів і кутів повороту для балки, зображеної на рис.7.20.

З виразу (б), після підстановки в нього знайденого значення С1, і першої з умов закріплення (в), одержуємо

- 55 -

q l4 C1 8 .

Підставивши в вирази (а) і (б) знайдені значення постійних С1 і С2 отримуємо рівняння кутів повороту і прогинів балки:

Визначати переміщення балки шляхом інтегрування диференціального рівняння зігнутої осі доцільно в тих випадках, коли навантаження на балку таке, при якому згинальний момент М(х) описується єдиним для всієї довжини балки виразом. Якщо в балці є декілька ділянок, то цей шлях нераціональний, оскільки потрібно буде диференціальне рівняння інтегрувати стільки раз, скільки є виразів для М(х), причому на кожній ділянці потрібно визначати по дві постійні інтегрування. Для таких складних балок доцільніше при визначенні переміщень, користуватись універсальним рівнянням зігнутої осі балки.

7.9 Універсальне рівняння зігнутої осі балки.

Це рівняння, яке отримане шляхом інтегрування диференціального рівняння (7.26), дозволяє визначати переміщення в довільних точках балок, навантажених будь-якою системою сил.

Для складання рівняння в балці вибирають систему прямокутних координат хOу, розмістивши початок координат на якомусь краю балки і направивши вісь у вниз (рис.7.21).

де прийняті позначення:

E I z - жорсткість балки при згині;

y(x) - прогин в довільній точці балки (в точці з координатою х);

y(0), y' (0) - прогин і кут повороту в початку координат; ці величини називають початковими параметрами;

ai - відстань від початку координат до моменту Mi ; bi - відстань від початку координат до сили Fi ;

ci , di - відстані від початку координат до початку і кінця розподіленого навантаження qi .

Рівняння прогинів записується по ділянках балки. При записуванні рівняння для якоїсь ділянки балки в нього входить тільки те навантаження, що знаходиться на відстані х (відстані від початку координат до довільного перерізу на цій ділянці балки).

Суми в рівнянні розбиваються на стільки членів, скільки силових факторів кожного типу знаходиться на відстані х.

- 56 -

ai bi

ci

di x

y

рис. 7.21.

Якщо розподілене навантаження q доходить до перерізу, що проведений на відстані х, то в останньому члені останньої суми слід прийняти d=x і тоді цей член пропадає.

Силові фактори входять в рівняння прогинів зі своїми знаками. Правило знаків (рис.7.22): те навантаження, що переміщає початок координат в напрямку додатньої осі у входить в рівняння зі знаком “+”, а ті що в протилежному напрямку - зі знаком “-“.

закріплення балки.

Якщо рівняння прогинів складено, то з його допомогою можна визначити прогин будьякої точки, підставляючи відстань х цієї точки до початку координат в рівняння тієї ділянки, на якій лежить дана точка.

Рівняння кутів повороту можна отримати з рівняння прогинів шляхом його диференціювання.

Крім розрахунку балок на міцність, проводять розрахунок на жорсткість за умовою

Приклад 7.7. Для балки, показаної на рис.7.23, скласти рівняння прогинів, визначити прогин т. С (балка – двотавр № 20, стальна) та перевірити її на жорсткість, якщо допустимий прогин

вибираємо на лівому (закріпленому) краї балки. В цьому випадку у(0)=0. Рівняння прогинів по ділянках