Опір матеріалів Частина 5

Q x

dM x

41 ,

0 x 1

1 x 2

(в)

dx

1 ,

Епюри M x і Q x , що побудовані за виразами (а), (б), (в), показані на рис. 9.10 в, г.

а) стійка рівновага (рис. 10.1 а) – це така

F

F F

F

F Fk

F

F Fk

форма

рівноваги

стержня,

коли при

довільному малому відхиленні його від

k

прямолінійної

початкової

форми

рівноваги

внутрішні

сили

здатні

повернути його в початкове положення;

б) нестійка форма рівноваги (рис.10.1 в)

– така форма, коли, після малого

відхилення

стержня

з початкового

прямолінійного положення, він не тільки

не повертається в початкове положення, а

отримує додаткове переміщення;

в) байдужа форма рівноваги (рис. 10.1 б)

– така форма рівноваги, коли, після

a)

б)

в)

малого відхилення стержня з початкового

рис. 10.1

положення рівноваги, він залишається в

цьому новому положенні рівноваги.

Найбільша

стискуюча сила

F , до

якої стержень

зберігає стійку

форму

рівноваги,

x

жорсткості, яка суміщена з площиною

xO y . Використавши для

F Fk

визначення прогину y x

диференціальне рівняння зігнутої осі і

задовольнивши граничні умови, одержують формулу Ейлера для

критичної сили в стержні з шарнірно закріпленими краями:

Fk

2 E J

min

,

(10.1)

l 2

де J min - мінімальний

момент інерції поперечного перерізу

l

y x

стержня.

При будь-якому способі закріплення стержня критична сила Fk

визначається із формули

x

Fk

2 E J min

,

(10.2)

y

l 2

де - коефіцієнт приведеної довжини,

що залежить від способу

рис. 10.2

закріплення стержня. На рис. 10.3 наведені значення коефіцієнтів

для деяких способів закріплення стержнів.

l

l 2

l 2

1

2

0,7

0,5

1, 26

0, 44

рис. 10.3

Якщо стиснутий стержень по-різному закріплений в різних площинах (рис. 10.4),

коефіцієнти приведеної довжини відносно осей y і z

є різними.

В цьому випадку критичну силу Fk

визначають із формули:

x

x

Fk

2

E A

,

(10.3)

F

F

2max

де: A - площа поперечного перерізу стержня;

l

- гнучкість стержня;

(10.4)

i

i

J

- радіус інерції поперечного перерізу.

l

l

A

Згин стержня відбуватиметься в площині

найбільшої гнучкості.

z

z l

y l

max max z

,

y

; де iy , iz -

z

i

i

y

z

y

y

радіуси інерції перерізу відносно його головних

осей

y , z

. В таких

стержнях

актуальним є

z

1

y

1

y

питання раціонального розташування перерізу,

z

при

якому виконується умова

z y

min .

Після використання виразу (10.4) ця умова

набирає вигляду

рис. 10.4

z

y

.

(10.5)

iz

iy

Критичне напруження в стиснутих гнучких стержнях визначається за формулою

F

2 E

k

.

(10.6)

k

A

2max

Приклад 10.1.

Для зображеного на рис. 10.5 стиснутого сталевого стержня визначити

критичну силу і критичне напруження. Модуль E 2 104

кН

.

см2

F ?

Критична сила

Fk

2

E J min

,

k

l

2

де

b h3

20 123

y

Jmin J z

2880см4 ,

12

12

l 3 м

z

2, A 12 20

240см

2

.

12см

3.142 2 104

кН

2880 см4

20см

Тоді

Fk

см2

1577 кН .

2 300 2

см2

Критичне напруження

Fk

1577 кН

6.57

кН

.

k

рис. 10.5

A

240 см2

см2

2 E

.

(10.7)

k

2

пц

max

Звідки

2 E

.

(10.8)

max

пц

становить

E

.

Так, для сталі Ст. 3 з пружними характеристиками

20

кН

,

пц

пц

пц

см2

E 2 104

кН

дістаємо

100 . Отже, формулою Ейлера для таких

сталей

можна

см2

пц

k a b ,

(10.9)

де коефіцієнти a ,

b , що отримані на основі експериментів, беруться з таблиць. Зокрема, для

сталі Ст. 3 a 31.0

кН

, b 0.114

кН

.

см2

см2

Для кожного матеріалу при різних значеннях можна на основі наведених вище

співвідношень побудувати графік залежності напруження k

від гнучкості . Цей графік

k

к

m

m

к

a b max

пц

к

2

E

2

max

61.4

100

рис. 10.7

10.4. Практичний розрахунок стержнів на стійкість.

Умова стійкості центрально стиснутого стержня має вигляд

F

,

(10.10)

A

ст

де ст - допустиме напруження стійкості. Це напруження виражають через допустиме

напруження на стиск :

ст ,

(10.11)

фіксованій величині площі поперечних перерізів

A радіуси інерції “ i “ поперечного перерізу.

F

Матеріал

в

таких

перерізах

повинен бути

розміщений

якомога далі від центра перерізу. Цим вимогам найкраще

y

відповідають

порожнисті всередині перерізи

з можливо

тонкою стінкою.

Приклад

10.3.

Підібрати

допустиме

стискуюче

l 5 м

z

навантаження Fдоп

для стержня (рис. 10.8), матеріал якого

–

сталь

з

допустимим

напруженням

на

стиск

16 кН см2 . Переріз стержня – швелер “ № 18.

Для

заданого

швелера

із

таблиць

знаходимо:

A 20.5 см2

; i

y

i

min

2.04 см .

0,7 рис. 10.8

Величина Fдоп

визначається із формули (10.13). Для цього

F

знаходимо

l

0.7 500 см

172 . Із

таблиць коефіцієнтів

max

imin

2.04 см

y

для сталі при

172 отримуємо 0.25 . Тоді

F

0.25 20.5 см2

16

кН

82 кН .

доп

см2

z

l 1м

h

Приклад 10.4. Підібрати із умови стійкості стержня, що

зображений на рис. 10.9, розміри прямокутного

поперечного

перерізу (з відношенням сторін

h b 2 ).

b

Матеріал – дерево: 3 кН см2 .

2

рис.10.9

Розміри поперечного перерізу підбираються з умови (10.14)

методом послідовних наближень:

I наближення: задаємо початкове значення п

0 1

0.5. З умови (10.14) визначаємо

1

2

величину площі в першому наближенні

A

F

20 кН

13.3 см2 .