Задача 7.5. Задано: Q=80 кН; h=12 см; h₀=8 см; см;см; (рис.7.19). Побудувати епюру умовних дотичних напружень, перпендикулярних нейтральній осі (за формулою Журавського).

Рис. 7.19

Розв’язання. Знаходимо значення дотичних напружень в точках 1 крайніх волокон перерізу, в точках 2 крайніх волокон порожнечі, в точках 3, найбільш віддалених від нейтральної осі на стінках порожнечі, і в точках 4 на нейтральній осі Z (рис.7.19). Для цього використаємо вираз для моменту інерції відносно нейтральної осі Z площі перерізу заданої форми

см⁴.

Для точок 1 S₁=0; отже, і τ₁=0.

Для точок 2 см³

і МПа.

Оскільки ширина перерізу в точках 3 дорівнює , то

МПа.

Для точок 4

см³,

МПа.

Тема 8. Визначення переміщень у балках.

Лекція 16. Диференціальне рівняння зігнутої осі балки. Інтегрування диференціального рівняння зігнутої осі балки. Метод початкових параметрів.

1. Диференціальне рівняння зігнутої осі балки. Крім розрахунку на міцність, конструкції необхідно також розрахувати на жорсткість. При згині жорсткість характеризується здатністю балки чинити опір викривленню. Під дією зовнішніх навантажень, прикладених до балки, її первісно прямолінійна вісь викривляється. При деформації в межах пружності таку зігнуту вісь балки називають пружною лінією. Відхилення будь-якої точки пружної лінії балки від первісної прямої осі називають прогином y. Кут повороту будь-якого перерізу балки відносно його первісного положення (до деформації) називають кутом повороту перерізу  (рис.8.1).

Рис.8.1

Вище було встановлено, що кривизна пружної лінії прямо пропорційна величині згинаючого моменту

. (1)

При поперечному згині, крім переміщень, викликаних згинаючими моментами, виникають ще й переміщення, викликані поперечними силами.

Вплив поперечних сил на переміщення при згині залежить, в першу чергу, від відношення довжини прольоту балки l до її висоти h. Для балок з відношенням порядку впливом поперечних сил на величину прогинів можна нехтувати.

З курсу математики відомо, що

. (2)

Проте на практиці доводиться мати справу з малими прогинами балки, і диференціальне рівняння зігнутої осі балки можна спростити, нехтуючи величиною , як набагато меншою від одиниці.

Тоді одержимо наближене диференціальне рівняння зігнутої осі балки

. (3).

У випадку, коли вісь у напрямлена вгору, знаки кривизни і згинаючого моменту збігаються і у рівнянні (3) будемо брати знак “плюс”. Коли вісь у напрямлена вниз – у рівнянні (3) будемо брати знак “мінус”.

Згинаючий момент у рівнянні (3) слід підставляти із своїм знаком.

2. Інтегрування диференціального рівняння зігнутої осі балки. Наближене рівняння (3) зігнутої осі будемо інтегрувати для визначення переміщень при згині балки. Права частина цього рівняння містить вираз згинаючого моменту в довільному перерізі даної ділянки, а не в тому перерізі, для якого знаходять переміщення (прогини і кути повороту).

М(x) – величина змінна; тільки в випадку чистого згину М(x) =const.

Перший інтеграл диференціального рівняння (3) набирає вигляду

. (4)

Цей вираз визначає закон зміни кутів повороту в довільному перерізі балки.

Інтегруючи вдруге, знайдемо вираз для прогинів в довільному перерізі балки

. (5)

Для обчислення інтегралів спочатку треба написати аналітичні вирази для згинаючого моменту і жорсткості. Сталі величини С і D знаходимо за допомогою граничних умов.

3. Метод початкових параметрів. При визначенні деформації балок аналітичним методом зручно користуватися загальними (універсальними) рівняннями переміщень методу початкових параметрів.

Рис.8.2

Розглянемо одночасну дію навантажень на балку (рис.8.2).

Застосовуючи спосіб додаван- ня дії сил і диференціальні залежності, які існують для будь-якого перерізу балки між M, Q і q, одержимо так зване “універсальне” рівняння прогинів:

.

(6)

Диференціюючи рівняння прогинів, одержимо “універсальне” рівняння кутів повороту поперечних перерізів балки

. (7)

Початкові параметри y(0) і y(0) визначаються з умов на опорах балки.

Аналізуючи рівняння початкових параметрів (6) і (7), легко прийти до висновку, що вони побудовані таким чином, що для визначення зміщень зігнутої балки в будь-якому перерізі початок координат один і той самий, а члени рівняння, які з‘явились на тій чи іншій ділянці балки, діятимуть на всіх наступних ділянках. Причому, якщо розподілене навантаження на будь-якій ділянці закінчилося, на наступних ділянках з ростом величини х відсутність навантаження треба скомпенсувати введенням фіктивного навантаження (вплив цього навантаження відображується останнім членом в “універсальних” рівняннях).

У рівняннях (6) і (7) слід враховувати тільки ті члени, які залежать від навантажень, розташованих між початком координат і розглядуваним перерізом бруса (балки).