Тема 14. Складний опір.

Лекція 24. Загальний випадок складного опору. Косий згин. Визначення загальних напружень та прогинів при косому згині. Позацентровий розтяг (стиск) бруса великої жорсткості.

Під складним опором розуміють різні поєднання вже розглянутих напружених станів брусу (розтяг, стиск, зсув, кручення, згин в одній з головних площин).

Отже, складним опором є одночасний згин у двох площинах (косий згин), одночасний розтяг чи стиск із згином і, зокрема, позацентровий розтяг-стиск, одночасне кручення і згин з розтягом (чи стиском) або без нього.

Принципово нового в задачах на складний опір при досить жорстких брусах немає, оскільки спільна дія різних силових факторів приводить до напруженого стану, який може бути наслідком підсумовування напружених станів, викликаних кожним зовнішнім силовим фактором, виходячи із закону незалежності дії сил.

Уміючи визначати нормальні і дотичні напруження в окремих характерних точках перерізу бруса як алгебраїчну суму напружень, викликаних тією чи іншою комбінацією сил, і, знаючи способи переходу до головних напружень, можна потім перевірити міцність розглядуваного елемента за тією чи іншою теорією міцності.

Також можна визначити сумарну деформацію чи переміщення бруса, додаючи переміщення, які віиникають при дії окремих складових простих навантажень розглядуваної комбінації, що діють на брусу.

Лекція 25. Поєднання згину з крученням. Сумісна дія кручення і осьової сили. Розрахунки за різними теоріями міцності.

Часто на практиці задачі на складний опір можна розподілити на кілька окремих випадків складного опору, таких, наприклад, як згинання з крученням; сумісна дія кручення і осьової сили.

Як найпростіший приклад складного опору, зумовленого спільною дією згину і кручення, необхідно розглянути будь-яку ділянку вала. Його небезпечним перерізом буде опорний переріз, де одночасно виникають максимальний згинаючий момент і крутячий момент. При розрахунку треба брати до уваги лише нормальні напруження згину і дотичні напруження кручення. Міцність стержня при сумісній дії кручення і згину треба перевіряти за однією з теорій міцності, в залежності від очікуваного характеру руйнування стержня.

При сумісній дії кручення і осьової сили у поперечних перерізах стержня виникають дотичні напруження, зв‘язані з крутячими моментами, і нормальні напруження, зв‘язані з поздовжньою силою.

Тут головні напруження в небезпечній точці вала визначаються відповідно до схеми дії нормальних і дотичних напружень на гранях виділеного елемента. Потім вибираємо відповідну теорію міцності.

Розв’язання задач по темі “Складний опір”.

Задача 14.1. Для балки прямокутного перерізу (рис.14.1) визначити положення нейтральної осі, ; ƒ_max, якщо задано: Р, q, е, ,h, Е, α.

Розв’язання. Знайдемо проекції сили Р та інтенсивності рівномірного розподіленого навантаження q на головні центральні осі інерції поперечного перерізу у і z:

;;

;.

Складові максимального згинаючого моменту в перерізі під силою будуть такі:

;

.

Від згинаючого моменту М_У, який діє в головній площині інерції балки zx, будуть розтягуватись волокна, що лежать ліворуч від осі у, а стискатись – волокна, що лежать праворуч від неї (рис.14.1,а). Від згинаючого моменту М_Z, який діє в головній площині інерції балки ух, розтягнутими будуть волокна, що лежать нижче від осі z , а стиснутими - волокна, що лежать вище від неї. Таким чином, найбільше розтягальне напруження σ_max виникає в точці А середнього перерізу балки, а найбільше стискаюче напруження σ_min – у точці В.

Вони будуть дорівнювати:

.

Положення нейтральної осі балки nn можна визначити з рівняння:

.

Очевидно, що чим більше відношення , тим більше кут β відрізняється від кута α. Якщо, наприклад, площина дії силрх буде діагональною площиною балки, то і, тобто нейтральна площинаnx буде другою діагональною площиною балки. У випадку, що розглядається, , а тому, як це показано на рис.14.1,б. На цьому рисунку також показана епюра σ.

Від навантажень М_у і М_Z значення для прогинів посередині балки будуть, відповідно, такими:

;

.

Тоді сумарний прогин посередині балки буде дорівнювати:

.

Напрямок прогину показано на рис.14.1,б.

Рис.14.1

Задача 14.2. На брус діє стискаюча сила Р=64 кН (рис.14.2). Координати точки прикладання сили у_Р=2 см, z_Р=1 см. Розміри поперечного перерізу бруса см,h=8 см. Визначити: σ_max, σ_min, у₀, z₀.

Розв’язання. У поперечному перерізі бруса виникають сили

кН;кН м;

кН м.

Оскільки в І квадранті перерізу від усіх зусиль напруження стискаючі, то σ_min буде у правому верхньому куті перерізу, а σ_max – у лівому нижньому куті (рис14.2).

Тоді

.

Ураховуючи, що см²;

см³;

см³,

знаходимо

,

або σ_max=40 МПа, σ_min=-80 МПа.

Рівняння нейтральної осі в даному випадку запишемо так:

.

Тоді, враховуючи це рівняння, визначаємо відрізки, що відсікаються нейтральною лінією nn, відповідно, на осях у і z:

см;

см.

Положення нейтральної осі і епюра для σ показані на рис.14.2.

Рис.14.2

Задача 14.3. На брус діє навантаження: q=2 кН/м, Р₀=240 кН, Р₁= 160 кН, Р₂=4 кН. Брус має такі розміри: см,h=16 см, м (рис.14.3). Визначити σ_max, σ_min і положення нейтральної осі.

Розв’язання. В небезпечному, жорстко закріпленому перерізі бруса

Н;

Н м;

Н м.

Знаки напружень у точках небезпечного перерізу бруса від N_x, M_y, M_Z, показані на рис.14.3.

Тоді МПа.

Запишемо рівняння нейтральної осі у вигляді:

.

В задачі, що розглядається, N_X<0, М_у>0, М_Z<0, а см² і см².

Ураховуючи ці дані, отримаємо відрізки, що відсікаються нейтральною лінією nn на осях z і у:

м=3,53 см;

см.

На рис.14.3 через кінці цих відрізків проведена нейтральна лінія nn і побудована епюра нормальних напружень.

Рис.14.3