Использование f-cтатистики

Однако оценка параметров конкретного уравнения является лишь отдельным эта­пом длительного и сложного процесса построения эконометрической модели. Первое же оцененное уравнение очень редко является удовлетворительным во всех отношениях. Обычно приходится пос­тепенно подбирать формулу связи и состав объясняющих перемен­ных, анализируя на каждом этапе качество оцененной зависимости. Этот анализ качества включает статистическую и содержательную составляющую. Проверка статистического качества оцененного урав­нения состоит из следующих элементов:

• проверка статистической значимости каждого коэффициента урав­нения регрессии;

• проверка общего качества уравнения регрессии;

• проверка свойств данных, выполнение которых предполагалось

при оценивании уравнения.

Под содержательной составляющей анализа качества понимается рассмотрение экономического смысла оцененного уравнения рег­рессии: действительно ли значимыми оказались объясняющие фак­торы, важные с точки зрения теории; положительны или отрица­тельны коэффициенты, показывающие направление воздействия этих факторов; попали ли оценки коэффициентов регрессии в пред­полагаемые из теоретических соображений интервалы. Рассмотрим оценку общего качества уравнения.

Если существует статистически значимая линейная связь вели­чин х и у, то коэффициент R² близок к единице. Однако он может быть близким к единице просто в силу того, что обе эти величины имеют выраженный временной тренд, не связанный с их причин­но-следственной взаимозависимостью. Точную границу приемлемости показателя R² указать сразу для всех случаев невозможно. Нужно принимать во внимание и число степеней свободы уравнения, и наличие трендов переменных, и со­держательную интерпретацию уравнения. Для определения статистической значимости коэффициента де­терминации R² проверяется нулевая гипотеза для F-статистики, рас­считываемой по формуле:

F=, где m - число объясняющих переменных, n- число наблюдений.

Смысл проверяемой гипотезы заключается в том, что все коэффициенты ли­нейной регрессии, за исключением свободного члена, равны нулю. Если они действительно равны нулю для генеральной совокупнос­ти, то уравнение регрессии должно иметь вид , а коэффициент детерминации R² и F-статистика Фишера также равны нулю. При этом их оценки для случайной выборки, конечно, отличаются от нуля, но чем больше такое отличие, тем менее оно вероятно. Логика проверки нулевой гипотезы заключается в том, что если произошло событие, которое было бы слишком маловероятным в том случае, если данная гипотеза действительно была бы верна, то эта гипотеза отвергается.

Величина F, если предположить, что выполнены предпосылки относительно отклонений е_i, имеет распределение Фишера с (т; п-т-1) степенями свободы.

Если F>F(,₁,₂), то гипотеза о равенстве нулю всех коэффициентов линейной регрессии отвергается.

Форма проведения: Решение данных задач студентами самостоятельно на местах и при необходимости у доски.

Тема № 9 Изучение взаимосвязей непараметрическими методами

Задача 1

Найти выборочный коэффициент ранговой корреляции Спримена по данным ранга объектов выборки объема n = 10:

х	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
у	6	4	8	1	2	5	10	3	7	9

Методические рекомендации:

1. Найти разности рангов, возвести их в квадрат.

2. Определить искомый коэффициент ранговой корреляции Спирмена

Задача 2

При уровне значимости 0,05 проверить, является ли ранговая корреляционная связь, вычисленная в задаче1 , значимой.

Методические рекомендации:

1. Найти критическую точку двусторонней области распределения Стьюдента при α=0,05 и степенями свободы n-2.

2. Вычислить критическую точку и сравнить с коэффициентом ранговой корреляции.

Задача 3

Найти выборочный коэффициент ранговой корреляции Кендалла по данным ранга объектов выборки объема n = 10:

х	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
у	9	10	8	3	2	5	4	1	6	7

Методические рекомендации:

1. Найти сумму рангов.

2. Определить искомый коэффициент ранговой корреляции Кендалла

Задача 4

При уровне значимости 0,05 проверить, является ли ранговая корреляционная связь, вычисленная в задаче 3 , значимой.

Методические рекомендации:

1. Найти критическую точку по таблице функции Лапласа.

2. Вычислить критическую точку и сравнить с коэффициентом ранговой корреляции Кендалла.

Форма проведения: Решение данных задач студентами самостоятельно на местах и при необходимости у доски.

Основная литература: [5, С.281-343], [7, С.73-114], [11, С.34-54.], [12,С.65-79],[13] [14]

Дополнительная литература: [20] [32]

Тема № 10. Множественная линейная регрессия

Задача 1

Анализируется зависимость объема производства продукции предприятиями отрасли черной металлургии от затрат труда и расхода чугуна. Для этого по 20 предприятиям собраны следующие данные: у - объем продукции предприятия в среднем за год (млн тенге.), х₁ - среднегодовая списочная численность рабочих предприятия (чел.), х₂ - средние затраты чугуна за год (млн т).

Ниже представлены результаты корреляционного анализа этого массива данных.

Матрицы парных коэффициентов корреляции:

для исходных переменных

	у	х1	х2
у	1,00
х1	0,78	1,00
х2	0,86	0,96	1,00

для натуральных логарифмов исходных переменных

	lny	ln x1	ln x2
lny	1,00
ln x1	0,86	1,00
ln x2	0,9	0,69	1,00

Задание

1. Поясните смысл приведенных выше коэффициентов.

2. Используя эту информацию, опишите ваши предположения относительно:

а) знаков коэффициентов регрессии в уравнениях парной линейной регрессии у по х₁ (у = а + bх₁) и у по х₂ (у=а + bх₂);

б) статистической значимости коэффициентов регрессии при переменных х₁ и х₂ в линейном уравнении множественной регрессии и в уравнении множественной регрессии в форме функции Кобба Дугласа.

3. Определите значения коэффициентов детерминации в уравнениях парной линейной регрессии у= а + bх₁ и у = а + bх₂. Какое из этих уравнений лучше?

4. Определите частные коэффициенты корреляции для линейного уравнения множественной регрессии.

5. Найдите уравнение множественной линейной регрессии в стандартизованном масштабе и сделайте выводы.

Задача 2

По 25 территориям страны изучается влияние климатических условий на урожайность зерновых у (ц/га). Для этого были отобраны две объясняющие переменные:

х₁ - количество осадков в период вегетации (мм); х₂ - средняя температура воздуха ( ⁰С).

Матрица парных коэффициентов корреляции этих показателей имеет следующий вид:

	у	х1	x2
у	1,0
х1	0,6	1,0
х2	-0,5	-0,9	1,0

Зэдание

1. Определите частные коэффициенты корреляции результата с каждым из факторов. Прокомментируйте различие полученных парных и частных коэффициентов корреляции результатов.

2. Исследователь, анализирующий данную зависимость, намерен определить на основе приведенной выше матрицы, какое уравнение регрессии лучше строить:

а) парную линейную регрессию.у на х₁

б) парную линейную регрессию.у на х₂;

в) множественную линейную регрессию.

Как бы вы ответили на эти вопросы?

3. Постройте уравнение регрессии в стандартизованном масштабе и сделайте вьшоды.

Задача 3

По 30 наблюдениям матрица парных коэффициентов корреляции оказалась следующей:

	у	х1	х2	х3
у	1,0
х1	0,3	1,0
х2	0,6	0,1	1,0
х3	0,4	0,15	0,8	1,0

Зэдание

1. Постройте уравнение регрессии в стандартизованном виде и сделайте выводы.

2. Определите показатель множественной корреляции (нескорректированный и скорректированный).

3.Оцените целесообразность включения переменной х₁ в модель после введения в нее переменных х₂ и х₃.

Задача 4

По 20 предприятиям отрасли были получены следующие результаты регрессионного анализа зависимости объема выпуска продукции у (млн тенге.) от численности занятых на предприятии х₁ (чел.) и среднегодовой стоимости основных фондов х₂ (млн тенге.):

Коэффициент детерминации	0,81
Множественный коэффициент корреляции	?
Уравнение регрессии	ln y = ? +0,48 ln x1 +0,62 ln x2
Стандартные ошибки параметров	2 0,06 ?
t-критерий для параметров	1,5 ? 5

Задание

1. Напишите уравнение регрессии, характеризующее зависимость у от х₁ и х₂.

2. Восстановите пропущенные характеристики.

3.С вероятностью 0,95 постройте доверительные интервалы для коэффициентов регрессии.

4.Проанализируйте результаты регрессионного анализа.

Задача 5

По 30 предприятиям отрасли были получены следующие результаты регрессионного анализа зависимости объема выпуска продукции у (млн тенге.) от численности занятых на предприятии х₁ (чел.) и среднегодовой стоимости основных фондов х₂ (млн тенге):

Коэффициент детерминации	?
Множественный коэффициент корреляции	0,85
Уравнение регрессии	y = ? +0,48 x1 +20 x2
Стандартные ошибки параметров	2 0,06 ?
t-критерий для параметров	1,5 ? 4

Задание

1. Восстановите пропущенные характеристики.

2. С вероятностью 0,95 постройте доверительные интервалы для коэфициентов регрессии.

3. Проанализируйте результаты регрессионного анализа.

Форма проведения: Решение данных задач студентами самостоятельно на местах и при необходимости у доски.

Основная литература: [4, С.90-175], [10], [14]

Дополнительная литература: [20],[22],[23],[25], [32]

1. Понятие об эконометрическом исследовании, его этапы. Виды переменных.

2. Генеральная совокупность и выборка. Репрезентативность выборки.

3. Распределение Стьюдента. Работа с таблицами t-распределения Стьюдента.

4. Корреляция. Корреляционный анализ в Excel .

5. Проверка гипотез о корреляции случайных величин.

6. Парная линейная регрессия. Графическая и аналитическая интерпретации метода наименьших квадратов.

7. Анализ статистической значимости коэффициентов линейной регрессии.

8. Построение линейной регрессии в Excel. Функция ЛИНЕЙН().

9. Множественная линейная регрессия.

10. Понятие коэффициента детерминации.

11. F- статистика. Определение значимости коэффициента детерминации R²

Тема № 11 Анализ временных рядов

Задача 1

В таблице приводятся данные о потреблении и личных доходах населения за 1985-1991 гг.

Показатель	1985 г.	1986 г.	1987г.	1988 г.	1989 г.	1990 г.	1991 г.
Потребление, тыс. долл.	300	310	325	340	350	370	385
Личные доходы, тыс. долл.	335	340	360	378	400	417	430

Задание

Постройте уравнение линейной регрессии, используя метод первых разностей.

Охарактеризуйте тесноту связи между рядами по их уровням, по первым разностям. Сделайте выводы.

Задача 2

По данным за 30 лет изучается зависимость рентабельности продукции компании у{ (%) от численности занятых ручным трудом х( (чел.). Были получены следующие варианты уравнений регрессии:

а) по уровням временных рядов:

Ŷ_t = 2 - 0,5Χ_t + ε_t R² = 0,9025 d = 0,8;

б) по первым разностям уровней:

∆Ŷ_t =3 + 0,1 ∆Х_t+ε_t R² =0,49 d = 1,2;

в) по вторым разностям уровней:

∆²Ŷ_t = 15 - 0,062∆²Х_t + ε_t R² = 0,7225 d= 2,1;

г) по уровням рядов с включением фактора времени:

Ŷ_t= -7 - 0,02Χ_t+ 0,3t + ε_t R² = 0,95 d = 2,2.

t_ф= -(3,1) (3,7)

В таблице приведены известные коэффициенты автокорреляции первого порядка.

Ряд	По уровням ряда	По первым разностям уровней ряда	По вторым разностям уровней ряда
xt	0,99	0,80	0,05
yt	0,86	0,86	0,10

Задание

1. Определите коэффициенты корреляции по уровням временных рядов, по первым разностям временных рядов и по вторым разностям временных рядов. Охарактеризуйте тесноту связи между временными рядами рентабельности продукции и численности занятых ручным трудом. Обоснуйте ваш выбор одной из мер тесноты связи.

2. Исследуйте полученные уравнения регрессии на автокорреляцию в остатках.

Выберите наилучшее уравнение регрессии и дайте интерпретацию его параметров.

Форма проведения: Решение данных задач студентами самостоятельно на местах и при необходимости у доски.

Основная литература: [4, С.90-175], [10], [14]

Дополнительная литература: [20],[22],[23],[25], [32

Тема № 12 Система одновременных уравнений

Системы эконометрических уравнений.

Даны системы эконометрических уравнений.

Требуется:

1. Применив необходимое и достаточное условие идентификации, определите, идентифицируемо ли каждое из уравнений модели.

2. Определите метод оценки параметров модели.

3. Запишите в общем виде приведенную форму модели.

Варианты индивидуальных заданий.

Вариант 1.

Модель протекционизма Сальватора (упрощенная версия):

где

–доля импорта в ВВП;

–общее число прошений об освобождении от таможенных пошлин;

–число удовлетворенных прошений об освобождении от таможенных пошлин;

–фиктивная переменная, равная 1 для тех лет, в которые курс доллара на международных валютных рынках был искусственно завышен, и 0 – для всех остальных лет;

–реальный ВВП;

–реальный объем чистого экспорта;

–текущий период;

–предыдущий период.

Вариант 2.

Макроэкономическая модель (упрощенная версия модели Клейна):

где

–потребление;

–инвестиции;

–доход;

–налоги;

–запас капитала;

–текущий период;

–предыдущий период.

Вариант 3.

Макроэкономическая модель экономики США (одна из версий):

где

–потребление;

–ВВП;

–инвестиции;

–процентная ставка;

–денежная масса;

–государственные расходы;

–текущий период;

–предыдущий период.

Вариант 4.

Модель Кейнса (одна из версий):

где

–потребление;

–ВВП;

–валовые инвестиции;

–государственные расходы;

–текущий период;

–предыдущий период.