4. Метод гаусса

Рассмотрим еще один метод решения систем линейных алгебраических уравнений – метод Гаусса, который применим к любой системе линейных алгебраических уравнений. Иногда этот метод называют методом последовательного исключения неизвестных. Заметим, что при использовании этого метода мы также автоматически будем вычислять ранг матрицы системы.

Итак, пусть задана система mлинейных алгебраических уравнений сnнеизвестными:

(6)

В матричном виде система (6) записывается АХ=В, где А – прямоугольная матрица размера mn:

А=, а Х и В – матрицы-столбцы: Х=, В=.

Если в результате преобразований матрицы системы получится треугольная матрица, то система будет иметь вид:

где

Из последнего уравнения можно найти , а затем, подставляя найденноев предпоследнее уравнение, найтии т.д. В итоге будем иметьединственноерешение,, …,. В этом случае ранг матрицы А системы уравнений равенn.

Если в результате преобразований матрицы системы получится трапециевидная матрица, то система примет вид:

где

В этом случае k<n, следовательно, система уравнений будет неопределенной, то есть будет иметьбесконечное множество решений, так как она содержитn–kсвободных переменных:

Придавая свободным переменным ,, …,произвольные значения, будем иметь каждый раз новое решение исходной системы уравнений, то есть решений будет бесконечное множество. В этом случае ранг матрицы А системы равенk.

Если в результате преобразований получено уравнение, в котором коэффициенты при всех неизвестных равны нулю, а свободный член отличен от нуля, то такая система будет несовместной, то есть не иметь решения.

Следует отметить, что треугольная или трапециевидная форма системы уравнений получалась ввиду предположения, что коэффициентыотличны от нуля. Если же какой-либо из этих коэффициентов равен нулю, то система уравнений приобретет треугольную или трапециевидную форму лишь после надлежащего изменения нумерации неизвестных.

В заключение отметим, что метод Гаусса применяется и для однородных систем линейных алгебраических уравнений. В этом случае, если получаем треугольный вид системы уравнений, то она будет иметь единственное (нулевое) решение == …==0, если же получаем трапециевидный вид системы, то будем иметь бесконечное множество решений.

При решении системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса удобно выписать расширенную матрицу системы и все преобразования выполнять над строками и столбцами расширенной матрицы.

Рассмотрим примеры решения систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса.

Пример 1.

Решение.

Выпишем расширенную матрицу системы:

~ (не меняя первую строку, вычтем из второй

строки первую, из третьей вычтем первую строку, умноженную

на 3) ~ ~ (первую и вторую строки не меняем,

а из третьей вычтем вторую, умноженную на 4) ~ .

Получили матрицу А треугольного вида, причем на диагонали элементы отличны от нуля. Следовательно, ранг матрицы А равен 3, ранг расширенной матрицы также равен 3, и по теореме Кронекера-Капелли исходная система совместна, причем имеет единственное решение. Получим это решение.

Согласно последней матрице исходную систему можно записать в виде:

Из последнего уравнения имеем, что = –1. Подставляяво второе уравнение, получимПодставляяи

в первое уравнение, получим

Ответ:

Пример 2.

Решение.

Выпишем расширенную матрицу системы:

~ (первую и четвертую строки не меняем, из

второй строки вычтем первую, умноженную на 3, из третьей строки вычтем

первую) ~ ~ (первую и вторую строки не меняем, из третьей строки вычтем вторую, умноженную на, а из четвертой вычтем вторую, умноженную на) ~~

~ (первую, вторую и третью строки не меняем, к четвертой строке

прибавим третью) ~ .

В итоге получили трапециевидную матрицу А. Следовательно, если бы последняя строка расширенной матрицы была нулевой, то исходная система уравнений имела бы бесконечное множество решений.

Так как она дает уравнение , которое не имеет решения, то исходная система является несовместной, то есть не имеет решений.

Пример 3.

Решение.

Выпишем расширенную матрицу системы:

~ ~ (разделим третью

строку на 2)~~ (так как три строки одинаковые, то

две из них можно отбросить) ~ .

В итоге получили трапециевидную матрицу. Следовательно, исходная система уравнений неопределенная, то есть имеет бесконечное множество решений. Заметим, что ранг матрицы А равен двум.

Соответствующая система уравнений имеет вид:

В качестве свободных («лишних») переменных примем переменные и, так как минорсоответствует переменными. Получим:

Следовательно,

Подставим в первое уравнение:

Таким образом, найдено решение исходной системы линейных алгебраических уравнений.

Обозначив, получим решение исходной системы

Придаваяпроизвольные числовые значения, каждый раз будем иметь новое решение системы.

Более подробное изложение методов решения систем ЛАУ можно найти в книгах [ 1-4 ].