ms

Задача 2. Розглянемо наступну задачу, текст якої взятий з [Прицкер]: У великому універмазі планується ввести систему управління запа-

сами радіоприймачів. Час між надходженнями замовлень на радіоприймачі має експоненціальний закон розподілу з математичним сподіванням 0,2 тижні. Якщо покупцю знадобився радіоприймач тоді, коли його в запасі немає, він у 80% випадків відправляється в інший найближчий магазин, представляючи тим самим продаж, що не відбувся для даного універмагу. У 20% таких випадків робиться повторне замовлення, і покупці чекають надходження наступної партії вантажу. Магазин використовує періодичну систему перегляду стана запасів, у якому запас проглядається кожні 4тижні і приймається рішення про необхідність здійснення замовлення. Стратегія прийняття рішення складається в розміщенні замовлення на доставку 72 радіоприймачів при досягненні контрольного рівня запасу. Поточний стан запасу визначається як наявний запас плюс замовлені раніше приймачі і мінус невдоволений попит. Якщо поточний стан запасів менше або дорівнює 18 радіоприймачам (контрольний рівень запасу), здійснюється розміщення замовлення. Час доставки (час між розміщенням замовлення і його одержання) постійний і складає 3 тижні. Початкові умови: стан запасу - 72 радіоприймача, невдоволеного попиту немає.

Визначити середню кількість радіоприймачів у запасі, частку нездійснених продаж, середній час між продажами, що не здійснилися, та частоту поповнень запасу.

Представимо модель розглядуваної системи засобами мереж Петрі. Виділимо події, які відбуваються в підсистемі обслуговування покупців:

*надійшов покупець;

*покупка радіоприймача;

*товар відсутній.

Подія «надійшов покупець» відбувається з часовою затримкою t=- 0,2×lnV. Подія «покупка радіоприймача» здійснюється за умов, що є замовлення в черзі покупців і є радіоприймач в запасі. Якщо ця подія не здійснюється, то здійснюється подія «товар відсутній». В результаті здійснення цієї події маркер надходить до позиції «замовлення?», з якої з імовірністю 0,8 надходить до позиції «невдоволений попит» і з імовірністю 0,2 - до позиції «замовлені радіоприймачі». Це відповідає умові задачі про те, що 80% покупців, які не змогли придбати радіоприймач, відправляються в інший магазин і тільки 20% покупців погоджуються очікувати надходження радіоприймачів до магазину і роблять замовлення.

Виділимо події, які відбуваються в підсистемі контролю та прийняття рішення про поповнення запасу:

*настав час контролю стану запасу;

*прийняття рішення про поповнення запасу;

291

здійснення контролю запасу;

контроль стану запасу закінчився.

Подія «настав час контролю запасу» відбувається кожні 4 тижні. Визначається поточне значення запасу за формулою:

k = «поточний запас» =

«запас» + «замовлені радіоприймачі» – «невдоволений попит»,

де «запас» – це кількість маркерів у позиції «запас», «замовлені радіоприймачі» – це кількість маркерів у позиції «замовлені радіоприймачі», «невдоволений попит» – це кількість маркерів у позиції «невдоволений попит».

Рішення про задовільний стан запасу приймається, якщо позиція «“поточний запас» містить більше 19 маркерів. Інакше приймається рішення про незадовільний стан запасу і здійснюється подія «прийняття рішення про поновлення запасу».

Виділимо події, які відбуваються в підсистемі поповнення запасу:

доставка товару.

Доставка товару здійснюється за умови, що є рішення про поповнення запасу, протягом 3 тижнів. Кількість доставлених товарів складає 72 радіоприймачі.

Після таких міркувань отримуємо мережу Петрі, яка представлена на рисунку 8.10. За умовою задачі метою моделювання є визначення середньої кількості радіоприймачів у запасі та середній час між продажами, що не здійснилися. Середню кількість радіоприймачів в запасі знайдемо, спостерігаючи середню кількість маркерів у позиції «запас»:

де М(запас)і –значення маркірування в позиції «запас» протягом часу ti, Tmod – загальний час моделювання.

Середній час між продажами, що не здійснилися, знайдемо, спостерігаючи відношення часу моделювання до загальної кількості невдоволеного попиту:

Tнездійсн = Тmod .

M (загальний _ невдоволений _ попит)

Частку нездійснених продаж знайдемо, спостерігаючи загальний невдоволений попит у відношенні до загального попиту на радіоприймачі:

= M (загальний _ невдоволений _ попит) . Pнездійсн M (загальний _ попит)

Частоту поповнень запасу знайдемо спостерігаючи кількість поповнень запасу у відношенні до часу моделювання:

H= M (загальний _ невдоволений _ попит) .

Тmod

292

замовлені радіоприймачі

Рисунок 8.10. Модель системи постачання та продажу радіоприймачів, представлена мережею Петрі

На рисунку 8.11 представлена реалізація моделі системи в системі PTRSIM та результати моделювання.

293

При зменшенні інтервалу надходження покупців до 0,1 тижня загальний невдоволений попит збільшився до 5786 радіоприймачі при загальній кількості попиту 9903 радіоприймачів. Отже, частка нездійснених продаж збільшилась до 58%, а середній час між нездійсненими продажами зменшився до 0,2 тижня. Спостережуваний середній запас радіоприймачів зменшився майже вдвічі (до 20 радіоприймачів). Максимальне спостережуване значення запасу зменшилось до 74 радіоприймачів. Частота поповнень запасу збільшилась до 0,07 поповнень/тиждень.

При збільшенні інтервалу між контролями запасу до 8 тижнів показники моделі майже не змінились. Але при збільшенні інтервалу між контролями запасу до 12 тижнів частка нездійснених продаж збільшилась до 51%, середній час між нездійсненими продажами збільшився до 2,5 тижнів. Частота поповнень запасу зменшилась до 0,04 поповнень/тиждень, внаслідок чого спостережуваний середній запас радіоприймачів зменшився майже вдвічі (до 21 радіоприймача) та максимальне спостережуване значення запасу зменшилось до 72 радіоприймачів.

При зменшенні кількості товарів, які доставляються, вдвічі частка нездійснених продаж збільшилась незначно до 23%, середній час між нездійсненими продажами збільшився також незначно до 1,2 тижні. Проте частота поповнень запасу зменшилась до 0,01 поповнень/тиждень, внаслідок чого спостережуваний середній запас радіоприймачів зменшився більше ніж удвічі (до 16 радіоприймачів) та максимальне спостережуване значення запасу зменшилось до 72 радіоприймачів.

Зменшення контрольного рівня запасу до 9 радіоприймачі призводить до збільшення частки нездійснених продаж до 30% і збільшення середнього часу між нездійсненими продажами до 1,5 тижні. Частота поповнень запасу зменшилась незначно до 0,05 поповнень/тиждень, внаслідок чого спостережуваний середній запас радіоприймачів зменшився більше до 28 радіоприймачів та максимальне спостережуване значення запасу зменшилось до 72 радіоприймачів.

На рисунку 8.12 представлений графік змінювання стану запасів при початкових значеннях параметрів.

Рисунок 8.12. Графік змінювання стану запасів при початкових значеннях параметрів, представлений засобами системи PTRSIM

295

З наведених результатів перевірки моделі слідує, що модель функціонує у відповідності до задуму, і реалізація моделі в системі PTRSIM є успішною. Побудована модель може бути використана для дослідження оптимальної стратегії контролю та поповнення запасів товарів.

Задача 3. Розглянемо наступну задачу, текст якої взятий з [Томашевський,2001]:

Експериментальна роботизована гнучка виробнича система має два верстати із числовим пультом керування, три роботи, пункт прибуття і склад оброблених деталей. Деталі прибувають на пункт прибуття кожні 40 секунд згідно з експоненціальним законом розподілу, захоплюються одним з вільних роботів і переміщуються ним до першого верстата, після чого робот звільняється. Після завершення обробки на першому верстаті деталь захоплюється одним з роботів і переміщується на другий верстат, а після обробки на другому верстаті – одним з роботів переміщується на склад оброблених деталей. Кожний з верстатів може одночасно обробляти до трьох деталей.

Час переміщення робота між пунктом прибуття і першим верстатом, першим і другим верстатом, другим верстатом і пунктом зберігання оброблених деталей складає відповідно 6, 7, і 5 секунд незалежно від того, холостий це хід, чи ні. Роботу потрібний час 8±1 секунд на захоплення або вивільнення деталей. Час обробки на першому верстаті розподілений за нормальним законом із середнім значення 60 секунд і має стандартне відхилення 10 секунд. Середній час обробки на другому верстаті дорівнює 100секунд і має експоненціальний закон розподілу.

Визначить найкращий (з точки зору підвищення пропускної здатності гнучкої виробничої системи) спосіб закріплення роботів до операцій. Можливі варіанти закріплення:

1)по одному роботу на кожний з трьох шляхів переміщення деталей (пункт прибуття – перший верстат, перший верстат – другий верстат, другий верстат, склад);

2)кожний робот може використовуватися на кожному шляху переміщення деталей.

Знайдіть коефіцієнти завантаження роботів і верстатів, максимальну та середню кількість деталей в очікуванні, середній час обробки деталі та середній час очікування деталі.

Розв’язання. Представимо процес проходження деталі за допомогою блоків Arena (рисунок 8.13). Вважатимемо спочатку, що три роботи закріплені по одному на кожний з трьох шляхів переміщення деталей.

Надходження деталей моделює блок Create з параметрами

Name=pributtya, Entity type=detal, Type=Random(Expo), Value=40, Units=seconds. Захоплення деталі роботом, переміщення її до першого ве-

296

рстата та вивільнення робота моделює блок Process з параметрами

Name=do verstata 1, Type=Standard, Action=Seize Delay Release, Resources=Robot 1, Delay Type=Uniform, Units=Seconds , Minimum=22, Maximum=24. Зауважимо, що в ресурсах указуються всі ресурси, що необхідні для обслуговування однієї деталі. В даному випадку це тільки один ресурс «Робот 1», але можна було б додати, наприклад ресурс «Працівник 1». Одночасно з переліком ресурсів в блоці Resources створюються рядки, що описують властивості цих ресурсів. Тут, наприклад, можна змінити кількість одночасно обслуговуваних деталей, що задає параметр Сapacity. Але в даному випадку робот переміщує деталі по одній, тому залишаємо параметр Сapaсity рівним 1.

Рисунок 8.13. Модель робототехнічної системи, представлена засобами пакету Arena

Обробку деталі першим верстатом моделює блок Process з парамет-

рами Name=obrobka 1, Type=Standard, Action=Seize Delay Release, Resources=verstat 1, Delay Type=Normal, Units=Seconds , Value=60, Std Dev=10 (рис. 8.14). Щоб верстат обслуговував одночасно три деталі, потрібно зайти в блок Resources і встановити параметр Сapacity=3 для ресур-

су з ім’ям verstat 1.

Захоплення деталі роботом, переміщення її до другого верстата та вивільнення робота моделює блок Process з параметрами Name=do verstata 1, Type=Standard, Action=Seize Delay Release, Resources= Robot 2, Delay Type=Uniform, Units=Seconds , Minimum=22, Maximum=24 (див. рис 8.14).

297

Обробку деталі другим верстатом моделює блок Process з парамет-

рами Name=obrobka 2, Type=Standard, Action=Seize Delay Release, Resources=verstat 1, Delay Type=Expression, Units=Seconds , Expression=Expo(100) (див. рис 8.14). В блоці Resources потрібно встано-

вити Сapacity=3 для ресурсу з ім’ям verstat 2.

Захоплення деталі роботом, переміщення її до складу та вивільнення робота моделює блок Process з параметрами Name=do sklada, Type=Standard, Action=Seize Delay Release, Resources=Robot 3, Delay Type=Uniform, Units=Seconds, Minimum=19, Maximum=23 (див. рис 8.14).

Вивільнення деталі з процесу обслуговування здійснюється блоком

Despose.

Рисунок 8.14. Параметри блоків Process

В результаті імітації побудованої моделі протягом 8 годин отримані такі результати (рис. 8.15, 8.16, 8.17):

кількість оброблених деталей – 716 деталей; середнє завантаження першого верстата – 0,51;

середня кількість деталей на обробці на першому верстаті – 1,52; максимальна кількість деталей на обробці на першому верстаті – середнє завантаження другого верстата – 0,81; середня кількість деталей на обробці на другому верстаті – 2,43;

максимальна кількість деталей на обробці на другому верстаті – середнє завантаження першого робота – 0,56; середнє завантаження другого робота – 0,55; середнє завантаження третього робота – 0,55; середній час обробки однієї деталі – 314 с;

середній час очікування однієї деталі – 90с, з них в очікуванні вільного робота – 6с, в очікуванні вільного першого верстата – 4с, в очікуванні вільного другого верстата – 80с;

298

Рисунок 8.15. Звіт про результати моделювання Сategory by Replication

Рисунок 8.16. Звіт про результати моделювання Processes

Рисунок 8.17. Звіт про результати моделювання Resources

299

Змінимо закріплення роботів до операцій так, що кожний з вільних роботів може використовуватися на кожному шляху переміщення деталей. Для цього в моделі, яка складена, параметр Resources для процесів do verstata 1, do verstata 1, do sklada, потрібно задати як множина ресурсів, тобто тип Set, з ім’ям Set Robot (рисунок 8.18). Потім за допомогою блоку Set задати елеме-

нти множини ресурсів Robot 1, Robot 2, Robot 3. (рисунок 8.19).

Рисунок 8.18. Параметри блоку Resources для альтернативної моделі

Рисунок 8.19. Параметри блоку Set

В результаті імітації альтернативної моделі протягом 8 годин отримані такі результати:

кількість оброблених деталей – 745 деталей; середнє завантаження першого верстата – 0,52;

середня кількість деталей на обробці на першому верстаті – 1,56; середнє завантаження другого верстата – 0,80; середня кількість деталей на обробці на першому верстаті – 2,40; середнє завантаження першого робота – 0,57; середнє завантаження другого робота – 0,60; середнє завантаження третього робота – 0,54; середній час обробки однієї деталі – 356 с;

середній час очікування однієї деталі – 137с, з них в очікуванні вільного робота – 35с, в очікуванні вільного першого верстата – 1с, в очікуванні вільного другого верстата – 101с.

Таким чином, в результаті моделювання установлено, що з точки зору зменшення часу очікування деталі, а також середнього часу обробки однієї деталі вдалим являється закріплення роботів по одному роботу на кожний з трьох шляхів. Запропонований альтернативний спосіб закріплення роботів призводить до збільшення часу обробки деталі на 12%.

300