Самостійна робота студентів – вирішення задач

СРС-1

Таблиця варіантів

(номер варіанту відповідає порядковому номерустудента в робочому журналі викладача)

Варіант	Номери задач
0	1.03	1.17	1.21	1.38	1.45	1.54	1.62	1.76
1	1.07	1.13	1.20	1.39	1.42	1.58	1.61	1.74
2	1.09	1.10	1.22	1.30	1.46	1.57	1.63	1.71
3	1.05	1.14	1.27	1.39	1.44	1.52	1.66	1.75
4	1.02	1.15	1.26	1.37	1.43	1.51	1.69	1.70
5	1.00	1.19	1.23	1.34	1.47	1.56	1.65	1.72
6	1.06	1.16	1.28	1.31	1.49	1.55	1.60	1.73
7	1.01	1.18	1.25	1.32	1.40	1.53	1.67	1.79
8	1.08	1.12	1.24	1.36	1.41	1.59	1.64	1.78
9	1.04	1.11	1.29	1.35	1.48	1.50	1.68	1.77

ЗАДАЧІ ДЛЯ САМОСТІЙНОГО РОЗВ'ЯЗУВАННЯ

1.00. Залежність пройденого тілом шляху S від часу t дається рівнянням S = At – Bt² + Ct³, де А = 2 м/с, В = 3 м/с² і С= 4 м/с³. Знайти: а) залежність швидкості v і прискорення a від часу t; б) відстань S, пройдену тілом, швидкість v і прискорення a через час t = 2 с після початку руху.

1. Залежність пройденого тілом шляху S від часу t дається рівнянням S = A – Bt + Ct³ , де А = 6 м , В = 3 м/с і С = 2 м/с³. Знайти середню швидкість < v > і середнє прискорення < a > тіла для інтервалу часу 1с  t 4с

2. 1.02. Залежність пройденого тілом шляху S від часу t дається рівнянням S = A + Bt+ Ct², де А = 3 м, В = 2 м/с, С = 1 м/с². Знайти середню швидкість < v> і середнє прискорення < a > за другу і третю секунди його руху.

1.03. Рівняння руху матеріальної точки (пройдений шлях x за час t) має вигляд: x = At + Вt²+ Сt³, де А = 5 м/с, B = 0,2 м/с², C = 0,1 м/с³. Визначити швидкість точки в моменти часу t₁ = 2 с і t₂ = 4 с, а також середню швидкість в інтервалі часу від t₁ до t₂ .

1.04. Визначити шлях, який проходить частинка, що рухається по прямолінійній траєкторії впродовж 10 с, якщо її швидкість змінюється за законом v = 30 + 2t. В момент часу t_o = 0, S = 0.

1.05. Швидкість матеріальної точки, що рухається вздовж осі X, визначається рівнянням v_x= 0,2 – 0,1 t. Знайти координату точки в момент часу t = 10 с, якщо в початковий момент часу вона знаходилась в точці x_o= 1.

1.06. Рух двох матеріальних точок виражається рівняннями: x₁=А₁+ B₁t +С₁t² та x₂ = А₂ +B₂t +С₂t², де A₁= 20 м; А₂ = 2 м; В₁= В₂ = 2 м/с; С₁ = – 4 м/с²; C₂ = 0,5 м/с² . В який момент часу t швидкості цих точок будуть однаковими? Визначити швидкості v₁ і v₂ та прискорення a₁ і a₂ точок в цей момент.

1.07. Рух двох матеріальних точок виражається рівняннями: x₁= А₁t +B₁t² +С₁t³ та x₂ = А₂ t + B₂t² +С₂t³, де A₁ = 4 м/с; В₁ = 8 м/с²; С₁ = –16 м/с³ ; А₂ = 2 м/с; В₂ = – 4 м/с²; C₂ = 1 м/с³. В який момент часу t прискорення цих точок будуть однакові? Знайти швидкості v₁ і v₂ точок в цей момент.

1.08. Рух точки по прямій задано рівнянням x = At+Вt², де А =2м/с; В = – 0,5 м/с² . Визначити середню швидкість <v> руху точки в інтервалі часу від t₁ = 1 с до t₂= 3 с.

1.09. Рух точки по прямій задано рівнянням x= Аt+Вt², де А= 6м/с; В = – 0,125 м/с². Визначити середню швидкість < v > руху точки в інтервалі часу від t₁ = 2 с до t₂= 6 с .

1.10. Літак для зльоту повинен мати швидкість v = 100 м/с. Визначити час розбігу і прискорення, якщо довжина розбігу S = 600 м. Рух літака при цьому вважати рівноприскореним.

1.11. Автомобіль рухається зі швидкістю v₁ = 25 м/с . На шляху S = 40 м проводиться гальмування, після якого швидкість зменшилась до v₂ = 15 м/с. Вважаючи рух автомобіля рівносповільненим, знайти модуль прискорення і час гальмування.

1.12. Визначити час піднімання ліфта у висотному будинку, вважаючи його рух при розгоні і гальмуванні рівнозмінним з прискоренням a = 1 м/с², а на середній ділянці – рівномірним зі швидкістю v = 2 м/с. Висота підйому h = 60 м. 1.13. Визначити початкову швидкість тіла, кинутого вертикально вгору, якщо відмітку висоти h = 60 м воно проходило двічі з проміжком часу t = 4 с . Опір повітря не враховувати.

1.14. Тіло, кинуте вертикально вниз із початковою швидкістю v_o =19,6 м/с, за останню секунду пройшло n = ¼ частину всього шляху. Визначити час падіння тіла і його кінцеву швидкість.

1.15. Визначити кутове прискорення маховика, частота обертання якого за час здійснення N = 20 повних обертів зросла рівномірно від n₁=1 об/с до n₂ =5 об/с.

1.16. Диск радіусом r = 10 см, що знаходився в стані спокою, почав обертатися з постійним кутовим прискоренням  = 0,5 рад/с. Знайти тангенціальне a_ , нормальне a_n і повне прискорення точок на ободі диска в кінці другої секунди після початку обертання.

1.17. Диск обертається з кутовим прискоренням  = –2 рад/с. Скільки обертів N зробить диск при зміні частоти обертання від n₁ = 4 с ^–1 до n₂ =1,5 с ^–1. Знайти час t, протягом якого це станеться.

1.18. Колесо обертається з кутовим прискоренням  = 2рад/с. Через час t = 0,5 с після початку руху повне прискорення точки, що лежить на ободі колеса a =13,6 см/с² . Знайти радіус R колеса.

1.19. Точка рухається по колу радіусом R = 10 см з постійним тангенціальним прискоренням a_= 5 см/с. Через який час після початку руху нормальне прискорення точки буде дорівнювати тангенціальному?

1.20. Похила площина, що утворює кут  = 25^o з площиною горизонту, має довжину l = 2 м. Тіло, рухаючись рівноприскорено, зісковзнуло з цієї площини за час t = 2 с. Визначити коефіцієнт тертя k тіла і площини.

1.21. Через нерухомий блок перекинута тонка нерозтяжна нитка, на кінцях якої підвішені два вантажі масами m₁ = 200 г і m₂ = 300 г. Який шлях пройде кожен з вантажів за 1 с? Вважати, що блок обертається без тертя. Масою блока знехтувати.

1.22. Щоб визначити коефіцієнт тертя k між дерев'яними поверхнями, брусок поклали на дошку і стали піднімати один кінець дошки доти, доки брусок не почав ковзати по дошці. Це сталося, коли кут нахилу дошки становив  = 14^o. Чому дорівнює k ?

1.23. Аеростат масою m = 250 кг почав опускатись із прискоренням а = 0,20 м/с². Визначити масу баласту, яку потрібно скинути за борт, щоб аеростат одержав таке ж прискорення, спрямоване вгору. Опором повітря знехтувати.

1.24. В нижній точці мертвої петлі реактивний літак рухається зі швидкістю v = 1200 км/год. Визначити, якого перевантаження (відношення сили тиску на сидіння до сили тяжіння) зазнає пілот, якщо діаметр петлі 1 км.

1.25. Нерухомий блок підвішений до динамометра. Через блок перекинутий невагомий шнур, на кінцях якого укріплені вантажі масами m₁=2 кг і m₂= 8 кг. Яким буде показ динамометра при русі вантажів?

1.26. Дві гирі, які мають маси m₁= 3 кг і m₂= 6,8 кг, висять на кінцях нитки, перекинутої через нерухомий блок. Легка гиря знаходиться на 2 м нижче від важкої. Гирі почали рухатись без початкової швидкості. Через який час вони будуть на однаковій висоті?

1.27. Кліть вагою Р = 310⁴ Н піднімається з прискоренням a = 0,49 м/с. Визначити силу натягу канату, за допомогою якого піднімається кліть. Якою буде сила натягу канату за рівномірного руху кліті вгору і вниз?

1.28. Автомобіль, маса якого m = 1000 кг, рухається зі швидкістю v₁ = 36 км/год по опуклому мосту, радіус кривини якого R = 50 м. З якою силою тисне автомобільсля початку руху нормальне прискорення точки буде дорівнювати тангенціальному?

1.20. Похила площина, що утворює кут ( = 25o з площиною горизонту, має довжину l = 2 м. Тіло, рухаючись рівноприскорено, зісковзнуло з цієї площини за час t = 2 с. Визначити коефіцієнт тертя k тіла і площини.

1.21. Через нерухомий блок перекинута тонка нерозтяжна нитка, на кінцях якої підвішені два вантажі масами m1 = 200 г і m2 = 300 г. Який шлях пройде кожен з вантажів за 1 с? Вважати, що блок обертається без тертя. Масою блока знехтувати.

1.22. Щоб визначити коефіцієнт тертя k між дерев'яними поверхнями, брусок поклали на дошку і стали піднімати один кінець дошки доти, доки брусок не почав ковзати по дошці. Це сталося, коли кут нахилу дошки становив ( = 14o. Чому дорівнює k ?

1.23. Аеростат масою m = 250 кг почав опускатись із прискоренням а = 0,20 м/с2. Визначити масу баласту, яку потрібно скинути за борт, щоб аеростат одержав таке ж прискорення, спрямоване вгору. Опором повітря знехтувати.

1.24. В нижні т^очці мертвої петлі реактивний літак рухається зі швидкістю v = 1200 км/год. Визначити, якого перевантаження (відношення сили тиску на сидіння до сили тяжіння) зазнає пілот якщо діаметр петлі 1 км.

1.25. Нерухомий блок підвішений до динамометра. Через блок перекинутий невагомий шнур, на кінцях якого укріплені вантажі масаи m1=2 кг і m2= 8 кг. Яким буде показ динамометра при русі вантажів?

1.26. Дві гирі, які мають маси m1= 3 кг і m2= 6,8 кг, висять на кінцях нитки, перекинутої через _нерухомий блок. Легка гиря знаходиться на 2 м нижче від важкої. Гирі почали рухатись без початкової шви_дкості. Через який час вони будуть на однаковій висоті?

1.27. Кл_іть вагою Р = 3(104 Н піднімається з прискоренням a = 0,49 м/с. Визначити силу натягу канату, за допомогою якого піднімається кліть. Якою буде сила натягу канату за рівномірного руху кліті вгору і вниз?

1.28. Автомобіль, маса якого m = 1000 кг, рухається зі швикістю v1 = 36 км/год по опуклому мосту, радіус кривини якого R = 50 м. З якою силою тисне автомобіль38. Маховик масою m₁ = 1 кг укріплений на шківі радіусом r = 5 см і масою m₂ = 200 г, який приводиться в обертання з допомогою гирі, що опускається, масою m₃ = 500 г, прив'язаної до кінця намотаної на шків мотузки. Через який час швидкість маховика досягне n = 5 об/с? Вважати, що вся маса маховика розподілена по його ободу на відстані R= 40 см від осі обертання. Тертям та масою мотузки знехтувати.

1.39. На барабан радіусом R = 10 см намотана нитка, до кінця якої прив'язаний вантаж масою m = 0,5 кг. Знайти момент інерції барабана, якщо вантаж опускається з прискоренням а = 1,0 м/с .

1.40. Молот масою m = 20 кг, піднятий на висоту h = 1,2 м, вільно падає на ковадло. Знайти середню силу удару молота в ковадло, якщо удар непружний, а тривалість удару t = 0,005с?

1.41. З якою швидкістю v₁ повинна летіти куля масою m₁ = 1кг, щоб після її удару об візок з піском, який стоїть на рейках, візок дістав швидкість u = 2 cм/c? Маса візка m₂ = 30 кг, куля рухається паралельно до рейок, удар повністю непружний.

1.42. Дві однакових платформи рухаються одна за одною (без тертя) з однією і тією ж швидкістю v_o. На задній платформі знаходиться людина масою m. В певний момент людина перескочила на передню платформу зі швидкістю u відносно своєї платформи. Знаючи, що маса кожної платформи дорівнює М, знайти швидкості, з якими будуть рухатись обидві платформи після стрибка людини.

1.43. На краю нерухомої платформи маси М знаходиться двоє людей, маса кожного з них дорівнює m. Нехтуючи тертям, знайти швидкість платформи після того, як обоє людей зіскочать з однією й тією ж горизонтальною швидкістю u відносно платформи: а) одночасно; б) один за одним.

1.44. На платформі установлено безвідкатну гармату, з якої робиться постріл вздовж залізничного полотна під кутом  = 45^o до горизонту. Визначити початкову швидкість снаряду, якщо відомо, що після пострілу платформа відкотилась на відстань S = 3 м. Маса платформи з гарматою M = 210⁴ кг, маса снаряду m = 10 кг, коефіцієнт тертя кочення між колесами платформи і рейками k = 0,002.

1.45. Яка енергія пішла на деформацію двох кульок масами m₁ = m₂ = 4 кг, що зіткнулися, якщо вони рухались назустріч одна одній зі швидкостями v₁ =3 м/с і v₂=8 м/с, а удар був прямий і непружний.

1.46. Дві кулі масами m₁ = 0,2 кг і m₂ = 0,8 кг, підвішені на двох паралельних нитках довжиною l = 2 м, дотикаються одна до одної. Менша куля відводиться на кут  = 90^о від початкового положення і відпускається. Знайти швидкість куль після зіткнення, вважаючи удар абсолютно непружним. Яка частина механічної енергії піде на нагрівання куль?

1.47. Після вибуху гранати, що летіла зі швидкістю v = 8 м/с, утворились два осколки. Осколок, маса якого становила 0,3 від маси гранати, продовжував рухатись у попередньому напрямку зі швидкістю v₁ = 30 м/с. Визначити швидкість другого осколка.

1.48. На підніжку вагонетки, що рухається прямолінійно зі швидкістю v = 2 м/с, стрибає людина масою m = 60 кг у напрямку, перпендикулярному до ходу вагонетки. Маса вагонетки М = 240 кг. Визначити швидкість вагонетки разом з людиною.

1.49. Два човни масою М = 100 кг кожен ідуть паралельним курсом назустріч один одному з однаковою швидкістю v = 5 м/с. Коли човни зустрічаються, з першого човна на другий перекидають вантаж масою m = 25 кг, а потім з другого човна в перший перекидають такий же вантаж. Визначити швидкості човнів.

1.50. Якою кінетичною енергією володіло тіло масою m = 2 кг, якщо воно піднялось по похилій площині з кутом нахилу  = 30^о на висоту h = 1 м? Коефіцієнт тертя між тілом і похилою площиною k = 0,1.

1.51. На тонкій нитці підвішений пружинний пістолет так, що ствол розміщений горизонтально. На який кут відхилиться нитка після пострілу, якщо куля масою m = 20 г при вильоті зі ствола має швидкість v = 10 м/с? Маса пістолета М = 200 г.

1.52. Знайти роботу, яка виконується при підніманні вантажу масою m = 10 кг по похилій площині з кутом нахилу  = 45^о на відстань S = 2 м, якщо час піднімання вантажу t = 2 c, а коефіцієнт тертя k = 0,1.

1.53. Парашутист масою m = 70 кг здійснює затяжний стрибок і через час t = 14 c має швидкість v = 60 м/с. Вважаючи рух парашутиста рівноприскореним, знайти роботу по подоланню опору повітря.

1.54. Кулька для гри в настільний теніс радіусом r = 15 мм і масою m = 5 г занурена у воду на глибину h = 30 см. Коли кульку відпустили, вона вистрибнула з води на висоту h₁ = 10 cм. Яка кількість тепла виділиться внаслідок тертя кульки і води?

1.55. Яку роботу потрібно здійснити, щоб маховик у вигляді диска масою m = 100 кг і радіусом R = 0,4 м, який знаходився у стані спокою, став обертатися з частотою n = 20 об/c ?

1.56. Обчислити кінетичну енергію диска масою т = 2 кг, що котиться без ковзання по горизонтальній поверхні зі швидкістю v = 2 м/с.

1.57. Куля котиться без ковзання по горизонтальній поверхні. Повна кінетична енергія кулі Т = 14 Дж. Визначити кінетичну енергію Т₁ поступального і Т₂ обертового руху кулі.

1.58. Однорідний тонкий стрижень довжиною l = 1 м може вільно обертатися відносно горизонтальної осі, що проходить через його кінець. Стрижень відхилили на кут  = 60^о і відпустили. Визначити кутову швидкість  і лінійну швидкість v нижнього кінця стрижня в момент проходження ним положення рівноваги.

1.59. Кінетична енергія маховика, що обертається, дорівнює Т = 1 кДж. Під дією постійного гальмівного моменту маховик почав обертатись рівносповільнено і, зробивши N = 80 обертів, зупинився. Визначити момент сил тертя.

1.60. Точка здійснює коливання за законом х = А sint. В певний момент часу зміщення точки виявилось рівним х₁ = 5 см. Коли фаза коливань збільшилась удвічі, зміщення стало рівним х₂= 8 см. Знайти амплітуду А коливань.

1.61. Точка здійснює гармонічні коливання. Найбільше зміщення точки х_max=10 см, найбільша швидкість v_max= 20 cм/c. Знайти циклічну частоту коливань  і максимальне прискорення точки a_max .

1.62. Початкова фаза гармонічного коливання  = 0. При зміщенні точки від положення рівноваги х₁ = 2,4 см швидкість точки v₁ = 3 см/с, а при зміщенні х₂ = 2,8 см її швидкість v₂ = 2 cм/c. Знайти амплітуду А і період Т цього коливання.

1.63. Точка здійснює гармонічне коливання. Період коливання Т = 2с, амплітуда А = 5 см, початкова фаза  = 0. Знайти швидкість v в момент часу, коли зміщення точки від положення рівноваги х = 2,5 см.

1.64. Визначити амплітуду вимушених коливань вантажу масою т = 0,2кг, підвішеного на пружині жорсткістю k = 20 Н/м, якщо діє змушуюча сила з амплітудою А = 2 Н і частотою удвічі більшою від власної частоти коливань вантажу, а коефіцієнт згасання  = 0,5 с^–1.

1.65. Визначити період коливань вантажу на пружинній вазі, якщо у стані рівноваги він зміщує стрілку ваги на х = 2 см від нульової поділки, яка відповідає ненавантаженій пружині.

1.66. Кулька масою т = 200 г підвішена на пружині i коливається з частотою  = 5 Гц. Визначити коефіцієнт жорсткості пружини.

1.67. У скільки разів зменшиться повна енергія коливань секундного маятника за t = 5 хв, якщо логарифмічний декремент згасання  = 0,031?

1.68. Амплітуда коливань камертона за час t = 15 c зменшилась у 100 разів. Знайти коефіцієнт згасання коливань.

1.69. Знайти частоту коливань вантажу масою т = 0,2 кг, підвішеного на пружині і зануреного в олію, якщо коефіцієнт тертя в олії r = 0,5 кг/c, а жорсткість пружини k = 50 Н/м.

1.70. Знайти швидкість поширення звукових коливань в повітрі, довжина хвилі яких  = 1 м, а частота коливань  = 340 Гц. Чому дорівнює максимальна швидкість зміщення частинок повітря, якщо амплітуда коливань А = 0,2 мм?

1.71. На якій відстані від джерела коливань, які здійснюються за законом синуса, в момент часу t = T/2 зміщення точки від положення рівноваги дорівнює половині амплітуди? Швидкість поширення коливань v = 340 м/с. Період коливань Т = 10^–3 с.

1.72. У скільки разів зміниться довжина ультразвукової хвилі при переході хвилі зі сталі у мідь, якщо швидкості поширення ультразвуку у міді і сталі відповідно дорівнюють v₁ = 3600 м/c і v₂ =5500 м/с?

1.73. Дві точки знаходяться на відстані х = 50 см одна від одної на прямій, вздовж якої поширюється хвиля із швидкістю v = 50 м/с. Період коливань Т= 0,05 с. Знайти різницю фаз  коливань у цих точках.

1.74. Плоска звукова хвиля має період Т = 3 мс, амплітуду А = 0,2 мм і довжину хвилі  = 1,2 м. Для точок середовища, віддалених від джерела коливань на відстань х = 2 м, знайти зміщення (х,t), швидкість і прискореннядля моменту часуt = 7 мс. Початкову фазу коливань вважати рівною нулю.

1.75. Визначити різницю фаз  коливань джерела хвиль, що знаходиться в пружному середовищі і точки цього середовища, яка знаходиться на відстані х = 2 м від джерела. Частота коливань дорівнює  = 5 Гц; хвилі поширюються із швидкістю v = 40 м/c.

1.76. Хвиля поширюється в пружному середовищі зі швидкістю v = 100 м/c. Найменша відстань між точками середовища, фази яких протилежні, дорівнює х = 1 м. Визначити частоту  коливань.

1.77. Визначити швидкість v поширення хвилі у пружному середовищі, якщо різниця фаз коливань двох точок середовища, які знаходяться одна від одної на відстані х= 10 см, дорівнює  = /3. Частота коливань  = 25 Гц.

1.78. Знайти зміщення х від положення рівноваги точки пружного середовища, віддаленої від джерела коливань на відстань l = /12, для моменту часу t=T/6. Амплітуда коливань А = 0,05 м.

1.79. Зміщення від положення рівноваги точки, яка віддалена від джерела коливань на відстань l = 4 см, в момент часу t = T/6 дорівнює половині амплітуди. Знайти довжину біжучої хвилі.