7. Енергія магнітного поля

Основні формули

1. Енергія W магнітного поля, створюваного струмом у замкнутому контурі з індуктивністю L, визначається формулою

, де I – струм в контурі.

2. Об'ємна густина енергії однорідного магнітного поля довгого соленоїда (енергія одиниці об’єму):

Приклади розв’язування задач

Задача 1. На стержень з немагнітного матеріалу довжиною l = 50 см намотаний в один шар провід так, що на кожний сантиметр довжини стержня припадає 20 витків. Визначити енергію W магнітного поля в середині соленоїда, якщо струм I в обмотці дорівнює 0,5 А. Площа S перетину стержня дорівнює 2 см².

Розв’язання

Дано: l = 50 см I = 0,5 A S = 2 см²_ W -?

Енергія магнітного поля соленоїда з індуктивністю по обмотці якого тече струм силою I, виражається формулою (1) Індуктивність соленоїда у випадку немагнітного сердечника залежить тільки від числа витків на одиницю :

довжини і від об’єму сердечника де μ_о – магнітна постійна,

μ – магнітна проникність (у даному випадку μ=1). Підставивши вираз індуктивності L у формулу (1), одержимо

Враховуючи, що V = lS, запишемо

Зробивши обчислення одержимо W = 126мкДж.

Задача 2. На залізний сердечник довжиною l = 50 см і площею перетину S=2 см² намотаний в один шар провід так, що на кожний сантиметр довжини стержня приходиться 20 витків.

Визначити енергію магнітного поля в сердечнику при силі струму I, що дорівнює 0,5 А.

Розв’язання

Дано: n = 2000м I = 0,5А S = 2см² l = 0,5м _ W -?

Енергію магнітного поля в сердечнику соленоїда можна знайти так: , деL – індуктивність соленоїда, n – число витків на одиницю довжини соленоїда, тобто n = N/l, де N – число витків соленоїда; співвідношення між B і H: В = μμоН, μ = В/μоН.

Тоді напруженість Н магнітного поля всередині соленоїда можна знайти так:

Н = nI = 2·10³·0,5 = 10³ A/м.

За графіком на рис. 25 (додаток 1) можна знайти індукцію В, вона дорівнює 1,3 Тл.

Таким чином, енергія магнітного поля в осереді соленоїда

Задача 3. При якій силі струму I у витках соленоїда густина енергії ω магнітного поля в центрі соленоїда дорівнює 20 Дж/м³? Довжина l соленоїда 50 см, число витків N = 10.

Розв’язання

Дано: l = 0,5м N = 10 ω = 20 Дж/м³ I -?

Об'ємна густина енергії магнітного поля (1) Напруженість магнітного поля в центрі прямого соленоїда можна знайти за формулою

(2)

Підставляючи формулу (2) у (1), одержимо

Звідси визначаємо струм в соленоїді:

Обчислення:

Задача 4. По обмотці довгого соленоїда зі сталевим сердечником тече струм силою I = 2 А. Визначити об'ємну густину ω енергії магнітного поля в сердечнику, якщо число n витків на кожному сантиметрі довжини соленоїда дорівнює 7 см^-1.

Розв’язання

Дано: I = 2 A n = 7 см-1_ W -?

Об'ємна густина енергії магнітного поля визначається за формулою (1) Напруженість Н магнітного поля знайдемо за формулою H = nI.

Підставивши сюди значення n (n =7 см^-1 =700 м^-1 ) і I, знайдемо Н = 1400 А/м. Магнітну індукції визначимо за графіком (рис. 25, додаток 1) залежності В від Н.

Знаходимо, що напруженості Н = 1400 А/м відповідає магнітна індукція В = 1,2 Тл.

Зробивши обчислення за формулою (1), знайдемо об'ємну густину енергії.

ω=840 Дж/м³.

Задача 5. Залізний сердечник довжиною l = 20 см малого перерізу (d<<l) містить N = 200 витків. Визначити магнітну проникність μ заліза при силі струму I = 0,4 А.

Розв’язання

Дано: l = 20 см	Магнітна проникність μ зв'язана з магнітною індукцією В і напруженістю Н магнітного поля співвідношенням
N = 200 витків I = 0,4 А μ -?	В = μμоН (1) Ця формула не виражає лінійної залежності В від Н, тому що μ є функцією Н. Тому для визначення

магнітної проникності користуються графіком (див. додаток 1).

З формули (1) виразимо магнітну проникність μ:

μ = В/( μ_оН) (2)

Напруженість Н обчислимо за формулою Н = nI, де n – число витків на одиницю довжини соленоїда, n = N/l. Тоді

За графіком знаходимо, що напруженості Н = 400А/м відповідає магнітна індукція В = 1,05Тл. Підставивши знайдені значення В і Н в формулу (2) одержимо значення μ = 2,09·10³.