4. Закон повного струму, магнітний потік, магнітна індукція у феромагнетику

Основні формули

1. Закон повного струму для струму провідності: циркуляція вектора напруженості Н магнітного поля вздовж замкнутого контуру, що охоплює струм І, виражається формулою:

де– алгебраїчна сума струмів, охоплених контуром,Н_l – проекція вектора напруженості на напрямок дотичної до елемента контуру dl, І – струм, охоплений контуром, n – число контурів.

2. Магнітний потік Ф через плоский контур площею S:

у випадку неоднорідного поля:

де інтегрування проводиться по всій площині.

у випадку однорідного поля:

деα – кут між вектором нормалі n до контуру та вектором магнітної індукції В, В_n – проекція вектора В на нормаль n. (B_n = Bcosα).

3. Потокозчеплення, тобто повний магнітний потік, зчеплений з усіма витками соленоїда або тороїда.

4. Магнітна проникність  феромагнетика зв'язана з магнітною індукцією В поля у ньому і напруженістю Н співвідношенням:

.

5. Зв'язок між магнітною індукцією В поля у феромагнетику і напруженістю Н виражається графічно (див. рис. 25).

6. Магнітна індукція на осьовій лінії тороїда:

, деІ- сила струму в обмотці тороїда; N- число її витків; l – довжина осьової лінії тороїда; магнітна проникність речовини серцевини тороїда.

Приклади розв’язування задач

Задача 1. По прямому, довгому мідному провіднику протікає постійний струм І силою 500 А. Переріз провідника – круг радіусом 2 см. Визначити напруженість магнітного поля в середині провідника і на відстані r₁ = 0.5 см від осі і поза ним на відстані r₂ = 5 см від осі (рис. 15). Врахувати, що розподіл струму по перерізу провідника рівномірний.

Розв’язання

Дано: R = 2см I0 = 500A r1 = 5·10-3м r2 = 5·10-2м Н1 -? Н2 -?

Для визначення напруженості магнітного поля нескінченного провідника з струмом потрібно використати закон повного струму. . В силу симетрії задачі лінії напруженості повинні мати вигляд кілець

зцентрами, які лежать на осі провідника. В силу симетрії робимо висновок, що на однакових відстанях від осі провідника (тобто в усіх точках контурівL₁ і L₂) напруженість повинна бути однаковою і рівною відповідно Н₁ і Н₂. Для точок в середині контуру L₁:

де І₁- сила струму, що проходить крізь переріз, охоплений контуром L₁, j= I₀/- густина струму,- площа поперечного перерізу контуруL₁.

Враховуючи, що , отримуємо, звідки.

Аналогічно для точок поза провідником:

Підрахуємо:

Задача 2. Визначити індукцію В і напруженість Н магнітного поля на осі тороїда без серцевини, по обмотці якого, що має N = 200 витків, проходить струм І = 5 А. Зовнішній діаметр d₁ тороїда дорівнює 30 см, внутрішній d2 = 20 см.

Розв’язання

Дано: N = 200 витків I = 5 A d1 = 30 cм d2 = 20 cм В -? Н -?

Для визначення напруженості магнітного поля всередині тороїда знайдемо циркуляцію вектора вздовж лінії магнітної індукції поля:. Із умови симетрії слідує, що лінії магнітної індукції тороїда є колами і що в усіх точках цієї лінії напруженості однакові. Тому у виразі циркуляції напруженість Н можна винести за знак інтеграла, а

інтегрування проводити в межах від 0 до 2r, де r – радіус кола, утвореного лініями індукції, вздовж якого визначається циркуляція, тобто:

(1)

По другому, згідно з законом повного струму циркуляція вектора напруженості магнітного поля дорівнює сумі струмів, охоплених контуром, вздовж якого визначається циркуляція:

(2)

Прирівнявши праві частини рівнянь (1) і (2), отримаємо:

. (3)

Лінія, що проходить вздовж тороїда, охоплює повне число витків тороїда. Сила струму в усіх вітках однакова. Тому формула (3) приймає вигляд:

(4)

Для середньої лінії тороїда .Підставивши цей вираз r у формулу (4), знайдемо:

(5)

Магнітна індукція В₀ у вакуумі зв'язана з напруженістю поля співвідношенням В₀ ₀Н. Звідси:

. (6)

Підставивши значення величин у вирази (5) і (6), отримаємо:

Задача 3. Чавунне кільце має повітряний зазор довжиною l₀ = 5 мм. Довжина l середньої лінії кільця рівна 1 м. Скільки витків N має обмотка на кільці, якщо при силі струму у ній І = 4 А індукція магнітного поля у повітряному зазорі дорівнює 0,5 Тл.? Розсіюванням магнітного потоку у повітряному зазорі можна знехтувати. Явище гістеризису не враховувати.

Розв’язання

Дано: l0 = 5 мм I = 4 A B = 0,5 Тл l = 1 м N -?

Нехтуючи розсіюванням магнітного потоку, ми можемо прийняти, що індукція магнітного поля у повітряному зазорі дорівнює індукції магнітного поля у чавуні. На підставі закону повного струму запишемо: . По графіку (див. додаток) знаходимо, що при В = 0,5 Тл напруженість у чавуні дорівнює 1,2 кА/м.

Оскільки для повітря = 1, то напруженість Н магнітного поля у повітряному зазорі:

.

Шукане число витків:

Задача 4. Рамка, площа якої , обертається в однорідному магнітному полі з частотоюn = 2 об/с. Вісь обертання знаходиться у площині рамки і перпендикулярна до силових ліній магнітного поля. Напруженість магнітного поля Н = 7,96_·10^-4 А/м. Знайти максимальний магнітний потік.

Розв’язання

Дано: S = 16см2 n = 2об/с H = 7,96·10-4А/м μ = 1 Фmax -?

Магнітний потік пронизуючий рамку, в загальному випадку може бути визначений по формулі: Ф = ВScos, де - кут між напрямом вектора індукції В і нормаллю до площини рамки. В загальному випадку цей кут+ де t – змінна фаза, яка визначає положення рамки у даний

проміжок часу;_початкова фаза. Тоді Ф=BScost₀). За умовою задачі задана частота обертання n, яка може бути зв'язана з кутовою швидкістю  співвідношенням n.

Тоді Ф=BScos(nt_ Оскільки n = 2об/с, то залежність Ф від часу t має вигляд:

Ф=BScos(4t_

Максимальний магнітний потік вектора індукції буде пронизувати рамку при умові, що cos(4t_тобто, якщо кут _ в момент

t = 0: