5. Расчет статически неопределимой балки при динамическом нагружении

Дано: на раму падает груз весом P с некоторой высоты h.

материал – сталь, [σ] = 160 МПа, E = 2·10⁵ МПа;

a = 0,6 м, b = 0,2 м, c = 0,8 м;

d = 11 см, P = 1 кН, h = 14 см;

Требуется:

1. раскрыть статическую неопределённость рамы;

2. определить динамический коэффициент;

3. определить динамические напряжения и прогибы;

Решение:

1. Раскрытие статической неопределенности рамы

Выбираем эквивалентную систему, отбрасывая реакцию катка и заменяя ее неизвестной силойX₁ (рис. 5.2, а).

а) построение грузовой эпюры

Определяем реакцию заделки A, проецируя все внешние силы на ось y (рис. 5.2, б):

Изгибающий момент от статической силы P на 2^ом участ-ке будет:

в сечении D момент равен 0, в сечении A:

Строим эпюру моментов от силы P (рис. 5.2, в).

б) построение эпюры моментов от единичной силы

Вместо неизвестной X₁ прикладываем единичную силу и рассматриваем ее действие на раму (рис. 5.2, г). Ре-акция заделки в этом случае равна:

Изгибающий момент от единичной силы равен:

в сечении C момент равен 0, в сечении A:

Строим эпюру моментов от единичной силы (рис. 5.2, д).

в) решение канонического уравнения

В сечении B приложения неизвестной реакции прогиб ра-вен 0 (т.к. катковая опора препятствует вертикальному пере-мещению), поэтому и в сечении C прогиб равен 0, т.е. суммар-ный прогиб от действия неизвестной реакции X₁ и силы P ра-вен 0:

где δ₁₁, δ_1P – прогибы от действия единичной силы и силы P.

Находим прогибы способом Верещагина:

где Ω_i – площадь фигуры на грузовой эпюре,η_i – ордината под центром тяжести этой фигуры на эпюре единичной силы.

Находим прогиб от единичной силы: площадью фигуры в формуле Верещагина будет площадь эпюры единичной силы, ординатой – ордината под центром тяжести эпюры единичной силы (2/3 высоты эпюры); поэтому:

Находим прогиб от силы P: площадью фигуры будет площадь грузовой эпюры, ординатой – ордината на эпюре единичной силы под центром тяжести грузовой эпюры (рис. 5.3); поэтому:

Тогда, решая каноническое уравнение получаем:

Неизвестная реакция X₁ равна по величине и направлена по направлению еди-ничной силы.

2. Определение статического прогиба и динамического коэффициента

а) построение эпюры изгибающих моментов

Определяем реакцию заделки A с учетом реакции отброшеной опоры (рис. 5.2, е):

Изгибающий момент на 1^ом участке равен:

в сечении C момент равен 0, в сечении D:

Изгибающий момент на 2^ом участке:

в сечении А момент равен:

Строим эпюру изгибающих моментов (рис. 5.2, ж).

б) построение эпюры единичной силы

В сечении D прикладываем единичную силу и рассматриваем ее действие на раму (рис. 5.2, з). Момент от единичной силы возникает только на 2^ом участке рамы:

в сечении D момент равен 0, в сечении A:

Строим эпюру изгибающего момента от единичной силы (рис. 5.2, и).

в) определение статического прогиба

Определяем статический прогиб с помощью интеграла Мора:

где M_и(P), M_и(1) – изгибающие моменты, возникающие под действием силы P и единичной силы.

В данном случае:

но т.к. на 1^ом участке единичная сила момента не создает, то первое слагаемое обращается в ноль:

с учетом моментов, создаваемых силой P и единичной силой на 2^ом участке получаем:

Учитывая, что сечение рамы круглое, находим его момент инерции:

тогда статический прогиб равен:

Вычисляем динамический коэффициент по приближенной формуле:

3. Определение динамических напряжений и прогибов

Динамические напряжения определяются как:

Учитывая, что сечение рамы круглое, находим его момент сопротивления:

Считая статический изгибающий момент максимальным, действующим в сечениях рамы, на-ходим максимальные динамические напряжения:

Таким образом, максимальные динамические напряжения превышают допустимые напряже-ния подбираем новое сечение рамы, исходя из условия прочности:

Округляем диаметр нового сечения рамы до стандартного выбранного из рядаRa 40 нормальных линейных размеров (ГОСТ 6636–69), тогда для нового сечения:

Максимальные динамические напряжения, возникающие в раме с новым сечением:

Определяем статический прогиб для рамы с новым сечением:

Пересчитываем динамический коэффициент:

Динамический прогиб в сечении падения груза будет:

21